专题02 函数及其应用、指对幂函数（5大易错点分析 解题模板 举一反三 易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题02函数及其应用、指对幂函数易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）已知函数的具体解析式求定义域的方法法1：若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.函数解析式的常见求法法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换.法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可.法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．第二步：当出现的形式时，应从内到外依次求值．第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。结论：复合函数：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数.抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出.(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.易错提醒：函数的概念①一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为.②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为，④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；④零次幂或负指数次幂的底数不为零；⑤三角函数中的正切的定义域是且； ⑥已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.基本初等函数的值域①的值域是.②的值域是：当时，值域为；当时，值域为．③的值域是.④且的值域是.⑤且的值域是.分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．例1．函数的定义域为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意得，解得，则定义域为，故选：C.变式1：设，若，则（    ）A．14B．16C．2D．6【答案】A【详解】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意；若，则，可得，解得；综上所述：.所以.故选：A.变式2：已知集合，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意得，所以．故选:C.变式3：已知函数，则下列正确的是（    ）A．B．C．D．的值域为【答案】B【详解】对选项A，，故A错误；对选项B，，故B正确．对选项C，因为，所以，，故C错误；对选项D，当时，，函数的值域为，当时，， 函数的值域为，又因为时，，所以当时，函数的值域为，综上，函数的值域为，故D错误．故选：B1．已知函数，则（    ）A．B．3C．D．【答案】B【详解】因为函数，则,令，则，又因为，所以，所以，故选：B.2．给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】对于A，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；对于B，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；对于C，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合； 对于D，令，则，所以，令，所以，所以，所以，符合.故选：D.3．已知函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】令，则，且，则，可得，所以.故选：B.4．已知函数满足，则可能是（    ）．A．B．C．D．【答案】D【详解】对于A，，则，，不满足；对于B，，则，，不满足；对于C，，则，，不满足； 对于D，，当时，，故；当时，，故，即此时满足，D正确，故选：D5．设集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由，即，解得，所以，由，所以，所以，所以．故选：D．6．集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意可得：，，所以.故选：B.易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值） 1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。3.函数的单调定义中的、有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。4.求函数的单调区间必须先求定义域。5.判断函数单调性常用以下几种方法：方法1：定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论.方法2：图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性.方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断；6.求函数最值（值域）的常用方法方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.结论：1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：结论1：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； 结论2：若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；结论3：若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；结论4：若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．易错提醒：1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，符号一致那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，符号相反那么就说在区间上是减函数．①属于定义域内某个区间上；②任意两个自变量，且；③都有或；④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的最值前提：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足条件：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最大值（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最小值例．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A．B．C．D．【答案】C【详解】设函数，则函数是由二次函数与指数函数复合而成的.当时，由于函数单调递减，而二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递减，则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意；当时，函数单调递增，要使函数在区间上单调递增，则二次函数在区间上单调递增，又其对称轴为，故，所以.故选：C.变式1．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.故选：A.变式2．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的 ，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为对任意的，且，都有，即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，所以有，所以函数是上的减函数，又因为为奇函数，即有，有，所以有，所以为偶函数，所以在上单调递增．当，即时，有,由，得，所以，解得，此时无解；当，即时，由，得，所以，解得或．综上所述，不等式的解集为．故选：C. 变式3．定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】根据题意：当时，，当时,可得函数在单调递增.则，在同一坐标系中画出与图象.得，则不等式的解集为，故选：B.   1．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】易知函数的定义域为，则，因为，，所以，又因为，所以，即恒成立，故函数是上的单调递增函数，因为，所以，即，当时，左边成立，故符合题意；当时，有，解得：，综上所述：的取值范围为：.故选：D.2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】D 【详解】因为对任意的，都有，此时，则，所以在单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，所以当和时，；当和时，.由，即，所以或或或，所以或或或无解，所以原不等式解集为故选：D3．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】函数，则，即，解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则在上单调递减，所以不等式，即，等价于，解得，即实数的取值范围是.故选：D4．已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的， ，满足，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，又所以，且，所以当时，；当时，，所以由可得或或，解得或，即不等式的解集为．故选：C.5．已知函数，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由，得．因为的定义域为R，，所以为奇函数，因此．又，所以．当时，单调递增，而为奇函数，所以在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，故的取值范围为．故选：D.6．为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】对任意的，都有，则，令，则在上单调递增，因为为定义在上的偶函数，所以，即为偶函数，又，由，可得，即，所以，所以的解集为，故选：A.7．函数，其中，则满足的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，当时，，则， 所以，函数在上单调递减，故，当时，，显然函数在上为减函数，此时，.因为，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故，综上可知，函数在上为减函数，令，则函数在上单调递减，又因为，所以，等价于，结合函数的单调性可得，故原不等式的解集为.故选：A.8．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】当时，，则，同理，当时，，则，且，可知函数为奇函数；当时，，则，令，则，所以在单调递增，即，即，所以在单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增. 则，即，即，可得，且，所以，解得，所以解集为.故选:A9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】A选项，根据可得，在R上单调递增，因为，所以，A正确；B选项，因为，，且，总有，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为，所以，B正确；C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.  故选：ABD 10．设函数，则（    ）A．的一个周期为B．在上单调递增C．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线【答案】BD【详解】对A：，故不是的周期，A错误；对B：令，则，则，∵，则，∴在上单调递增，且，又∵在上单调递增，故在上单调递增，B正确；对C：∵，则，∴，则，又∵在上单调递增，且，∴在上最大值为，即在上有最大值，C错误；对D：，故图象的一条对称轴为直线，D正确.故选：BD.11．已知函数，则（    ）A．函数为奇函数 B．当时，或1C．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为D．若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为【答案】ABD【详解】对于选项，由，可知函数为奇函数，故选项正确；对于选项，由，解得或，故B选项正确；对于选项，由，有，当时，函数仅有一个零点0，当时，必有，有，可得，故C选项错误；对于选项D，由，可知满足题意只需当时，，有，即，所以，由，有，则，可知当时，和恒成立，，有.故D选项正确.故选：ABD.易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别（函数的奇偶性、周期性、对称性）1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数④函数或函数．注意：关于①式，可以写成函数或函数．偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．④常数函数2.周期性技巧结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 证明：也可理解为：平移个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的距离为，结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：先向左平移个单位得令如同结论1结论4：定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：，结论5:定义在上的函数，对任意的，有且，(其中是常数，)则函数是周期函数，是函数的一个周期.另一种题干出现的信息：①若的图象关于直线都对称，则等价于且，则为周期函数且.②若为偶函数且图象关于直线对称，则为周期函数且证明：向左平移个单位，得，同理，利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.秒出周期 结论6:若定义在上的函数对任意实数，恒有成立()，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：由函数，向右平移个单位得口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很.结论7:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：如同结论4，结论8:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：结论9:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：得 结论10:①若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：函数满足且，则利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.秒出周期结论11:①若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：函数满足且，则3.对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．结论：1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有.(2)如果函数是偶函数，那么.2.函数周期性常用结论 对定义域内任一自变量的值:(1)若，则.(2)若，则.(3)若，则.3.对称性的三个常用结论(1)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称.(2)若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称.(3)若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称.易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别1．函数的奇偶性由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．2．函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．例．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为是奇函数，所以，则．又是偶函数，所以，所以．故选：C. 变式1．已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（    ）A．B．C．是以4为周期的函数D．的图象关于对称【答案】B【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，因为是奇函数，所以，将换成，则有，A：令，所以，因此本选项正确；B：因为，所以函数关于点对称，由，可得，的值不确定，因此不能确定的值，所以本选项不正确；C：因为，所以，所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；D：因为，所以，因此有，所以函数的图象关于对称，由上可知是以4为周期的函数，所以的图象也关于对称，因此本选项正确，故选：B.变式2．已知函数，下列结论中：①当时，的最小值为3；②函数是奇函数；③函数的图象关于点对称；④是图象 的一条切线，正确结论的个数是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】①当时，,,当且仅当即时等号成立，所以最小值是3，正确；②函数，记，其定义域是，，因此是奇函数，正确；③的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得的图象，因此的图象关于点对称，正确；④，由得或，，，因此直线和都是函数图象的切线，④正确，故选：D．变式3．已知定义域为的函数满足，，当时，，则的值为（    ）A．B．C．1D．2【答案】C【详解】因为，，所以，所以，所以4为函数的周期，所以．故选：C．1．已知函数的定义域为，，当时，，则的值为（    ）A．B．C．1D．2 【答案】B【详解】由可得函数为奇函数，又可知，所以，可得，即，因此是周期为的奇函数，则，代入计算可得.故选：B2．定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（    ）A．B．C．0D．2【答案】C【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，又函数是偶函数，则，变形可得，则有，进而可得，所以函数是周期为4的周期函数，则.故选：C.3．已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（    ）A．的周期为4B．C．D．【答案】ACD【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称，所以，所以①，而②， 两式相加得，则③，所以，所以是的一个周期，A选项正确.由③令得，由①令得，由②令得，则，所以，所以，C选项正确.由①令得，由，得，两式相减得，即，且关于对称，，所以④，所以，所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误.由④令得，所以，所以，所以D选项正确.故选：ACD.4．已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（    ）A．B．关于点对称C． D．【答案】BD【详解】假设，则，都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，所以A错误；因为为偶函数，所以，即，令，则，所以关于点对称，故B正确；因为均为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，因为，所以，所以，所以，，又，，所以，所以无法确定的值，所以C错误；又，，所以，又，所以，由知函数周期为4，则的周期也为4，则    ，所以D正确.故选：BD5．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误； 因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.故选：BCD.6．已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（    ）A．的图象关于对称B．函数为偶函数C．D．若时，，则时，【答案】ACD【详解】由可知函数关于直线轴对称，故A正确；由可得，又，所以，故函数为奇函数，故B错误；因为，所以，故为函数周期，又，所以，故C正确；由知函数关于成中心对称， 当时，设为函数图象上任意一点，则在函数图象上，且，所以，即，故D正确.故选：ACD7．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（    ）A．函数是奇函数B．函数的图象关于轴对称C．函数是最小正周期为2的周期函数D．若函数满足，则【答案】ABD【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；因为，所以，又，所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；因为，所以，那么，所以也是周期为4的函数，，因为，所以，，所以，所以，故D正确.故选：ABD.8．已知定义在上的偶函数满足，且当时， 是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ）A．B．直线为函数图象的一条对称轴C．函数在区间上存在3个零点D．若在区间上的根为，则【答案】AB【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确；对于B，因为为偶函数，所以，又，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，又在区间上的根为，所以，故D错误.故选：AB.易错点四：遗漏幂函数的特征及二次函数弦长公式（幂函数与二次函数）1、根据图象高低判断幂指数大小的方法幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大、图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，图象越远离轴(不包括幂函数，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大图低")，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴.2、对于函数，若是二次函数，就隐含，当题目未说明是二次函数时，就要分和两种情况讨论.在二次函数中，的正负决定抛物线开口的方向的大小决定开口大小)确定抛物线在轴上的截距，与确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象 的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端点），4、二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.结论：1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3.一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如下所示.①， 限定条件②限定条件③限定条件在区间内没有实根限定条件 限定条件限定条件限定条件限定条件 在区间内有且只有一个实根限定条件限定条件在区间内有两个不等实根限定条件4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.易错提醒：幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）两点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.例1若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】设函数，则函数是由二次函数与指数函数复合而成的.当时，由于函数单调递减，而二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递减，则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意；当时，函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增，又其对称轴为，故，所以.故选：C.变式1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，又在上单调递减，，解得：.故选：B.变式2．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】在上单调递增；∴，解得；所以实数a的取值范围为．故选：A．变式3．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A．B．C．D．【答案】B【详解】由题可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立解得，又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，(i)若，则对称轴，解得；(ii)若，在单调递增，满足题意；(iii)若，则对称轴恒成立；综上，，故选：B.1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减； 为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，解得或，所以实数的取值范围是。故选：D2．若幂函数在上单调递减，则（     ）A．2B．C．D．-2【答案】C【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或.当时，，在上单调递增，不合题意;当时，，在上单调递减，符合题意，故.故选：C.3．已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为函数在上为奇函数,所以，解得，又，，解得，解得，所以，，由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，则不等式，即，等价于， 所以，解得，即不等式的解集为.故选：C4．已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为当时，，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，，则所以.  故选：A5．已知的解集是，则下列说法正确的是（    ）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或 D．当时，，的值域是，则的取值范围是【答案】ABD【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，于是得，即，对于A，不等式化为：，解得，A正确；对于B，，，当且仅当，即时取“=”，B正确；对于C，，令，则在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，C不正确；对于D，当时，，则，，依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，从而得或，因此，D正确.故选：ABD6．已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ）A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是C．若有4个不同的零点，则D．若有4个不同的零点，则的取值范围是【答案】BCD【详解】解：令得，即所以零点个数为函数与图像交点个数，故，作出函数图像如图， 由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误；有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确；有4个不同的零点，此时关于直线对称，所以，故C选项正确；由C选项可知，所以，由于有4个不同的零点，a的取值范围是，故，所以，故D选项正确.故选：BCD7．已知函数(即，)则（    ）A．当时，是偶函数B．在区间上是增函数C．设最小值为，则D．方程可能有2个解【答案】ABD【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上， 此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.故选：ABD8．已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】BCD【详解】当,，当且仅当时,等号成立，当时,为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足,且,即，解得,故选：BCD.9．设，函数的图象可能是（    ）A．B． C．D．【答案】BD【详解】由题意，函数，令，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，且可得在递减，在上递增，且；当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，此时选项B符合题意；当当时，即时，此时函数有两个零点，不妨设另个零点分别为且，此时函数在单调递减，在上单调递增，可得在递减，在上递增，且，则在递减，在上递增，且，此时选项D符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD.故选：BD.10．关于的方程，下列命题正确的有（    ）A．存在实数，使得方程无实根 B．存在实数，使得方程恰有2个不同的实根C．存在实数，使得方程恰有3个不同的实根D．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根【答案】AB方程化为关于的二次方程.当时，方程无实根，故原方程无实根.当时，可得，则，原方程有两个相等的实根.当时，方程有两个实根，由可知，，.因为，所以无实根，有两个不同的实根.综上可知：A，B项正确，C，D项错误.故选：AB易错点五：根式奇偶讨论（指对数函数考点）指数1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂 ，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。对数：1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.|3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线.5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.6.比较对数值的大小(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:第一步：求出函数的定义域；第二步：判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；第三步：判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性结论：1.画指数函数，且的图象，应抓住三个关键点:2.在第一象限内，指数函数且的图象越高，底数越大.3.有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如的函数的定义域就是的定义域.求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域.若 的范围不确定，则需对进行讨论.求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域.(2)判断复合函数的单调性令，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数.换底公式的两个重要结论(1)(2).其中，且，且.对数函数，且的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限.易错提醒：根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.例．设函数的定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（    ）A．为偶函数B．C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减【答案】AC【详解】因为函数的定义域为，且，所以，所以函数是以为周期的周期函数，又因函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以， 所以为偶函数，故A正确；当时，，，故B错误；因为为偶函数且的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故C正确；因为当时，，而函数在都是减函数，所以函数在是减函数，又因为偶函数，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：AC.变式1、设偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】BC【详解】因为函数为偶函数，所以；又因为偶函数在上单调递增，则，所以，，且由函数为偶函数知在上单调递减，故对于选项A和B，∵，在上单调递减，∴，故A错误，B正确； 对于选项C和D，∵，，函数为偶函数，在上单调递减，∴，故C正确，D错误.故选：BC.变式2、已知函数，则（    ）A．的最小值为1B．，C．D．【答案】ACD【详解】，当且仅当时，取得最小值1，A正确．因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误．因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确．因为，所以，所以，D正确．故选：ACD变式3、已知，则下列不等关系正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】由可知，若，则，则不成立，又时，，故，又，则可看作的图象与直线交点的横坐标，作出与的图象如图，   结合图象可知，故A错误，B正确；由，，得，故，C正确；令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，由于，故，即，故，D正确，故选：BCD1．下列说法正确的是（    ）A．函数的图像恒过定点B．“”的必要不充分条件是“”C．函数的最小正周期为2D．函数的最小值为2【答案】AB【详解】对于A，令，则，即，所以函数的图像恒过定点，故A正确；对于B，不能推出，而能推出，所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确；对于C，因为，令等价于， 所以①，令等价于，所以②，由①②可得：，所以函数的最小正周期为4，故C错误；对于D，函数，令，则，由双勾函数的性质知在上单调递增，故，故函数的最小值为2错误，故D错误.故选：AB.2．某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（    ）A．函数的图象关于轴对称B．当时，是增函数，当时，是减函数C．函数的最小值是D．函数与有四个交点【答案】AC【详解】的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；当时，，由的性质可知其在上是减函数，在上是增函数，所以由复合函数单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，又是偶函数，图像关于轴对称，故B不正确；当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数，所以函数的最小值是，故C正确； 由函数定义可得，函数与不可能有四个交点，故D不正确.故选：AC.3．给出下列说法，错误的有（    ）A．若函数在定义域上为奇函数，则B．已知的值域为，则的取值范围是C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为D．已知函数，则函数的值域为【答案】ABD【详解】选项A：函数在定义域上为奇函数，则，即，即，即，整理得，即，所以，解得，当时，，该函数定义域为，满足，符合题意，当时，，由可得，此时函数定义域为，满足，符合题意，综上所述，选项A说法错误；选项B：因为的值域为，所以函数的值域满足，所以，解得，所以B说法错误；选项C：由得，所以的定义域为，选项C说法正确；选项D：因为函数，所以，，当时，， 令，，则，即函数的值域为，选项D说法错误；故选：ABD4．给出下列说法，错误的有（    ）A．若函数在定义域上为奇函数，则B．已知的值域为，则a的取值范围是C．已知函数满足，且，则D．已知函数，则函数的值域为【答案】ABD【详解】对于A，函数为奇函数，所以，，即，即，即，整理可得，即，所以，，解得，当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意，当时，，由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意.综上所述，，故A错误；对于B，因为的值域为，则函数的值域满足，则，解得，故B错误；对于C，函数满足，则，故的周期为，因为，则，故C正确；对于D，因为，， 由，得，解得，即函数的定义域为．则，又，故函数的值域为，故D错误：故选：ABD.5．已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（    ）A．函数在上单调递减B．若函数在内满足恒成立，则C．存在实数，使得的图象与直线有7个交点D．已知方程的解为，则【答案】BCD【详解】因为，所以函数为奇函数，函数的图象如图所示，  对于选项A，函数在上不单调，故A错误；对于选项B，，结合图象可知，故B正确： 对于选项C，令，即，由，解得或，将代入中，得到，分析可得，当时，的图象与直线有7个交点，故C正确；对于选项D，当方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得.分析图象可知，当时，方程的解为3个，，又因为，，所以，故D正确.故选：BCD.6．下列选项正确的是（    ）A．B．若正实数a，b满足，则C．的最小值为D．已知正实数a、b，若，则的最小值为9【答案】BD【详解】当时，,A选项错误;,,,B选项正确;,当即,C选项错误;正实数a、b，若，则,,即时取等号，D选项正确.故选:BD.7．已知函数，实数，满足，，则（    ） A．B．C．D．【答案】BC【详解】∵，∴，∴或，又∵，∴，∴，故A不正确，B正确；又由有意义知，从而，于是.所以.从而.又，所以，故.解得或（舍去）.把代入解得.所以，，故C正确，D不正确.故选：BC.8．已知函数，则（   ）A．当时，的定义域为RB．一定存在最小值C．的图象关于直线对称D．当时，的值域为R【答案】AC 【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，此时对称轴为直线，故C正确；对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.故选：AC.