高考数学方法技巧第15讲 三角函数求值问题（解析版）

第15讲三角函数求值问题【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.这也是解决三角函数问题的前提和出发点.在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.方法一切化弦，弦化切万能模板内容使用场景一般三角求值类型解题模板第一步利用同角三角函数的基本关系tansin，将题设中的切化成弦的形式；cos第二步计算出正弦与余弦之间的关系；第三步结合三角恒等变换可得所求结果.21例1若tan，tan，则sin(22)（）33713011130339A．B．C．D．13013065130【来源】全国Ⅱ卷高三高考数学（理）冲刺预测试题【答案】C【分析】根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.22323【详解】由tan知，sin,cos，或sin,cos，3131313132312则sin22sincos2，1313132225cos212sin12()131311313由tan知，sin,cos，或sin,cos，310101010133则sin22sincos2，101052124cos212sin12()，1051245333则sin(22)sin2cos2cos2sin213513565故选：C1/23 2costan8【变式演练1】【安徽省淮北市高三下学期二模】若，则的值为（）tan8cos811A．B．0C．D．133【答案】A【解析】【分析】cos1tantan88根据齐次式化简得到，代入数据计算得到答案.cos1tantan88【详解】2tan，则tantan2，tan88coscoscossinsin1tantan8888121.123coscoscossinsin1tantan8888故选：A.【点睛】本题考查了和差公式，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力.【变式演练2】已知tan3，则sin22cos2（）1A．B．1C．1D．22【来源】“陕西名校”高三5月检测数学（理）试题【答案】C【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；【详解】解：因为tan3，所以sin22cos22/23 222sincos2cos2sin222sincos2cos2sin22cossin22tan22tan21tan2232231213故选：C方法二统一配凑万能模板内容使用场景一类特殊三角求值类型解题模板第一步观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2【黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三第一次模拟】若540,0,sin,cos，则cos的值为（）22325235251152575A．B．C．D．525525【答案】B【解析】【分析】54先根据0,0，确定,的范围，再根据sin，cos，223223325235得到cos，sin，然后由coscos，利用两角和的余弦公322322332式求解.【详解】3/23 因为0,0，22所以,，1232332312525因为sin，所以cos，32532543因为cos，所以sin，235235所以coscos，22332coscossinsin，2332233242535115.555525故选：B【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.π1π【变式演练3】已知sin，则sin2（）6367227A．B．C．D．9999【来源】河北省衡水市饶阳中学高三5月数学精编试题【答案】A【分析】ππ1令t+，则t，sint，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；663【详解】ππ1πππ解：令t+，则t，sint，所以sin2=sin2t663666π27sin2tcos2t(12sint).29故选：A.3【变式演练4】【江西省吉安、抚州、赣州市高三一模】已知tan，则sin2（）6534/23 881515A．B．C．D．17171717【答案】D【解析】【分析】3设，可得22，可得出tan，利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求得635sin2的值.3【详解】设，则22，6332sincos2tan15tantan，sin22sincos．22265cossin1tan17故选：D.【点睛】本题考查利用三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.方法三公式活用万能模板内容使用场景一般求值题解题模板第一步观察已知式与待求式的特征；第二步选择合适的公式进行化简；第三步注意一些公式逆用的情况使用．21tan105例3【河北省张家口市高三下学期第二次模拟】（）21tan1051133A．B．C．D．2222【答案】D【解析】【分析】5/23 2sin105211tan105cos2105利用同角三角函数的关系可得，进一步通分化简得到原式为221tan105sin10512cos10522cos105sin105，再由余弦的二倍角公式结合诱导公式和特殊角的三角函数值可得到答案.【详解】222sin105cos105sin105211tan105cos2105cos2105223cos105sin105cos210cos3022221tan105sin105cos105sin1052122cos105cos105故选：D【点睛】本题考查同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2【变式演练5】若3sin22sin0，则cos2（）427272222A．或B．C．或D．210101022【来源】贵州省瓮安中学高三6月关门考试数学（理）试题【答案】A【分析】2由二倍角公式得3sincossin0，化简得出sin0或tan3，再由三角恒等变换得出π2cos2cos2sin2，再分别讨论sin0，tan3两种情况即可．42【详解】32由题可得sin2sin022所以3sincossin0，即sin3cossin0所以sin0或tan3πππ2又cos2cos2cossin2sincos2sin24442π222所以当sin0时，cos212sin2sincos；4222π21tan2tan72当tan3时，cos222．421tan1tan106/23 故选：A【变式演练6】【广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】若sin78m，则sin6（）m11mm11mA．B．C．D．2222【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得cos12sin78m，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得cos12sin(9012)sin78m，又由余弦的倍角公式，可得2，12sin6m1m所以sin6，故选B.2【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【反馈练习】π32sinπ21．已知sin(0)，则（）410sincos271641164127A．B．C．D．2120520521【来源】湖南省永州市高三高考押题卷数学试题（一）【答案】C【分析】π3238本题首先可根据sin得出sincos，然后两边同时平方，得出sincos，再然410525241后根据sincossincos得出sincos，最后通过诱导公式以及二倍角公式即可得出5结果.【详解】7/23 π323因为sin，所以sincos，41052298两边同时平方，得sincos2sincos，sincos0，2525因为0，所以sin0，cos0，241则sincossincos12sincos，516sinπ2sin22sincos251641，sincossincossincos412055故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换的求值问题，考查的公式有两角差的正弦公式、同角三角函数关系、诱导公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.12．已知sin，则sin2的值为（）6361177A．B．C．D．3999【来源】江苏省南通学科基地高三高考数学全真模拟试题（五）【答案】C【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可．【详解】27sin2cos2cos22sin1.662369故选：Csin1sin23．若tan2，则（）sincos6226A．B．C．D．5555【答案】C【分析】22将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1sincos)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2即可得到结果．【详解】8/23 将式子进行齐次化处理得：22sin1sin2sinsincos2sincossinsincossincossincos2sinsincostantan422．222sincos1tan145故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．114．已知,为锐角，tan,tan，则tan2（）63122913139A．-B．-C．D．139913【来源】湖南省衡阳市第八中学高三下学期考前预测（二）数学试题【答案】A【分析】由正切的二倍角公式求得tan2，再由tan2tana2可求.666【详解】2tan1214因为tan2tan2，6122131tan1124所以tan2tana26614tantan266339.14131tantan216633故选：A.tan32222c5．设asin46，bcos35sin35，，则a，b，c的大小关系为（）21tan32A．bcaB．cabC．abcD．bac【来源】江苏省淮安市高三下学期5月模拟数学试题【答案】D9/23 【分析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性，可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小.【详解】222因为sin45sin46sin60，所以有sin45sin46sin60，222321a3；即()sin46()，所以2224222因为cos35sin3512sin35，而sin30sin35sin45，121211所以有sin35，所以012sin35，即0b；4222tan3212tan321因为tan64，而tan64tan603221tan3221tan3223所以c；2232332c3，即ca显然，ba，而c()()，所以2444所以bac故选：D126．若cos，则cos2（）6332277A．B．C．D．9999【来源】安徽省宿州市泗县第一中学高三下学期最后一卷文科数学试题【答案】C【分析】2先根据诱导公式计算出sin的值，然后根据二倍角的余弦公式求解出cos2的值.33【详解】1∵cos.631∴cossinsin，626332227∴cos212sin1，3399故选：C.【点睛】10/23 关键点点睛：解答本题的关键在于诱导公式以及二倍角公式的熟练使用，要具备一定的转化技巧；本例还2可以通过直接将cos2变形进行求解：32cos2cos2cos212cos.3366237．已知角满足sincossincos，则tan（）228122A．B．C．D．1222【来源】河南省商丘市第一高级中学高三5月月考理科数学试题【答案】D【分析】sin21由已知条件可得sin2(sincos)2，而sin21，sincos2，由此可得①或sincos2sin213②，从而可求出2k，然后代入tan中化简可得结果sincos2428【详解】2解：因为sincossincos2所以sin2(sincos)2，因为sin21，sincos2，sin21sin21所以①或②，sincos2sincos22由①解得sincos，22由②有sin2sincos11知不可能，得2k，kZ，433所以tantanktan1.28884故选：D128．已知sincos，则cos（）241132A．B．C．D．9889【来源】甘肃省天水市第一中学高三下学期第九次模考数学（理）试题11/23 【答案】B【分析】由已知利用两角差的余弦公式即可化简求解．【详解】1解：因为sincos，22222121121则cos()(cossin)(sincos)()．4222228故选：B．39．已知cos，a0，则cos（）45227272A．B．C．D．10101010【来源】浙江省宁波市效实中学高三下学期高考模拟测试数学试题【答案】D【分析】利用角的变换，再根据两角差的余弦公式即可求解.44【详解】3解：因为a0，所以，44433又cos0，所以，454424所以sin，45所以coscoscoscossinsin444444324272.525210故选：D.212cos1532（）10．已知m2sin18，若mn4，则mn1111A．B．C．D．4242【来源】云南省昆明市第一中学高三第九次考前适应性训练数学（理）试题【答案】B【分析】12/23 212cos15322由m2sin18，mn4，可求得n4cos18，然后将m,n代入中利用三角函数恒等变换mn公式化简可得结果【详解】2222因为m2sin18，mn4，所以n4m44sin184cos18，212cos153cos306cos54sin361因此，mn2sin182cos182sin362sin362故选：B.1tanπ211．已知,0，2sin21cos2，则（）21tan2A．25B．35C．25D．26【来源】河南省安阳市高三三模拟考试理科数学试题【答案】C【分析】由二倍角公式化简计算即可得出结果.【详解】2由2sin21cos2可得4sincos112sin，π2,0则2sincossin，又，sin0，222故2cossin，又sincos1，25sin5解得：，5cos5sin122251tancoscossincossin12222221sin5525所以：==52.22cos551tansincos+sincossin21+222225cos2故选：C.5312．若sin，则sin2的值为（）4513/23 7117A．B．C．D．255525【来源】贵州省毕节市高三二模数学（理）试题【答案】D【分析】3根据诱导公式，先得到sin，再由二倍角公式与诱导公式，即可得出结果.45【详解】533由sin可得sin，45452187所以sin2cos22sin11.242525故选：D.113．已知sin，则cos2（）6337227A．B．C．D．9339【来源】四川省雅安市高三三模数学（理）试题【答案】D【分析】根据cos2cos2，结合余弦的倍角公式，即可求解.36【详解】1由题意知sin，6327又由cos2cos2cos212sin.33669故答案为：D.114．已知cos，则cos2（）3337788A．B．C．D．9999【来源】云南省红河州高三三模数学（理）试题【答案】A【分析】利用换元法令，再利用诱导公式和倍角公式，即可计算得到答案；314/23 【详解】1令，则，cos，33327所以cos2cos2cos2cos22cos1，3339故选：A.【点睛】利用三角恒等变换进行求值时，注意整体思想的应用.tan101115．设sin20m，cos20n，化简（）21tan1012sin10mmnnA．B．C．D．nnmm【答案】A【分析】直接利用三角恒等变换求解.【详解】因为sin20m，cos20n，tan1011所以，21tan1012sin10osin10cos101，ocos10sin10cos202osin10cos101，oocos10sin10cos10sin10cos20o12sin10cos101，22ocos10sin10cos201sin201，cos20cos20sin20m，cos20n故选：Aπ2cos23π16．已知7，则cos（）π3sin61122A．B．C．D．2475【来源】河南省安阳市高三一模数学（理）试题15/23 【答案】B【分析】π1利用二倍角公式对条件进行化简得sin，再进行配角求值，即可得到答案；64【详解】π2π∵cos212sin，36π2cos23∴7πsin62ππ即得212sin7sin，66ππ化简得4sin1sin20，66ππ1∵sin1,1，∴sin，664ππππ1∴coscossin.36264故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换的求值，求解时注意角的配凑，即整体法的运用.π17．已知cosαcosα1，则cos（）361123A．B．C．D．3223【来源】内蒙古包头市高三第二次模拟考试数学（文）试题【答案】D【分析】33根据两角差的余弦公式即可得出coscoscossin3cos1，然后即可求出3226cos的值.6【详解】πcosαcosα1,316/23 133331coscossincossin3cossin3cos1,22222263cos.63故选：D.2318．已知3sincos，则sin2（）361122A．B．C．D．3333【来源】陕西省西安交通大学附属中学高三下学期第四次模拟考试理科数学试题【答案】A【分析】利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．【详解】23因为3sincos，3313所以sincos，2233即sin，63则sin2sin2，626221cos212sin1.6633故选：A312319．已知(,)，若sin2sincos，则sincos（）222573733A．或-B．C．-D．55555【答案】B【分析】23由正弦的二倍角公式得sincossincos，再根据同角三角函数的关系可得252(sincos)123sincos，令sincost，建立方程解之可得选项.225【详解】17/23 12323由sin2sincos，可得sincossincos，225252(sincos)123所以sincos，2252t123令sincost，所以t，225221733即t2t0，解得t或-.又(,)，所以2(2,3)，所以sin20，2555272324当t时，sin22(t)0，符合题意；52525323167当t时，sin22(t)0，不符合题意，所以t，525255故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值.3220．已知cos，则sin2cos的值为（）6462121137A．B．C．D．1428【来源】江苏省南京市高三下学期5月第三次模拟考试数学试题【答案】D【分析】2将看成一个整体，将sin2cos化简后代入即可的出答案.66212【详解】3令=，则=+，cos，6642221+cossin2cos=sin2cos=2cos116212222故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换.属于基础题.熟记二倍角公式与降次公式是解本题的关键.1cos2121．已知角满足，则tan（）1sin22A．1或3B．1C．1或3D．3【来源】陕西省西安中学高三下学期第九次模拟考试文科数学试题【答案】A18/23 【分析】利用二倍角公式可得出关于tan的方程，由此可解得tan的值.【详解】21cos212cos121，2221sin2cos2sincossin12tantan22可得tan2tan30，解得tan1或tan3.故选：A.33122．已知x0,，sinxcosxcosxsinx，则tan4x（）8833A．3B．C．D．123【来源】宁夏回族自治区石嘴山市高三二模数学（理）试题【答案】C【分析】根据正余弦倍角公式即可化简求解．【详解】331由sinxcosxcosxsinx得811cos2x11cos2x11sin2xsin2xsin4x222282又因为x0,，所以4x0,823则4x，故tan4x63故选：C23．已知2sinsintan1，则tan（）4211A．2B．2C．D．22【来源】宁夏中卫市高三第二次优秀生联考数学（理）试题【答案】A【分析】根据三角的恒等变换公式即可求解．【详解】19/23 解：因为2sinsintan1，422所以sincos2sin1．22因为cos12sin，2所以sincoscos，即sin2cos，所以tan=-2，故选：A．22sin22cos224.【九师联盟高三押题信息卷】若sin2cos，则__________.sin41【答案】12【解析】【分析】由已知条件求得tan的值，进而利用二倍角的正切公式求出tan2，再利用二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值.【详解】2tan4sin2cos，tan2，则tan2.21tan32422222222sin22cos2sin22cos2sin22cos2tan2231.sin4sin42sin2cos22tan2412231故答案为：.12【点睛】本题考查三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.1tan，则225．【河北省衡水中学高三上学期七调】已知cossin2的结果为____.28【答案】5【解析】【分析】222转化条件得2sincos，cossin22cos，求出cos后即可得解.20/23 【详解】1sin1tan，即2sincos，2cos22212224sincoscoscos1即cos，452228cossin2cos2sincos2cos.58故答案为：.5【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.sin12cos3sin226．【辽宁省辽南协作校高三（5月份)高考数学（理科)模拟】若23，则2_____.sinsin22【答案】-3【解析】【分析】sin利用二倍角公式化简2，可求出tan的值，将所求利用二倍角公式化简，再利用齐次式求出结果即sin22可.【详解】2sincos2cossin222因为，所以tan6，则222sinsinsin222224sin6sincos4tan6tan2cos3sin2222223.222sinsintan222故答案为：3.【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式，考查齐次式的应用，属于基础题.1027【.重庆市第八中学高三6月三诊】若0,，且sin2cos，则tan________.224【答案】221/23 【解析】【分析】10225先把sin2cos两边平方得到sin4sincos4cos，利用弦切互化所得方程可22以化成关于tan的方程结合0,，解出tan后可求tan的值．24【详解】10225由sin2cos可以得到sin4sincos4cos，2222sin4sincos4cos5故，22sincos22tan4tan45也就是，2tan121整理得到2tan．3tan8tan30，故tan3或3又0,，所以tan321+tan13tan241tan13故答案为：2【点睛】本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.28.【吉林省示范高中高三第四次模拟】若tantantan3，则tantan____.【答案】2【解析】【分析】根据两角和的正切公式，代入已知条件，即可求解.22/23 【详解】由tantantan3，tantan3因为tan()，所以3，解得tantan2.1tantan1tantan故答案为：2.【点睛】本题主要两角和的正切函数公式的应用，其中解答中熟记两角和的正切公式，正确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.23/23