高考数学重难点题型归纳第3讲 零点（原卷版）

第3讲零点10类【题型一】水平线法：参变分离【典例分析】已知函数函数，则下列说法错误的是（）A．若，则函数无零点B．若，则函数有零点C．若，则函数有一个零点D．若，则函数有两个零点【变式演练】1.已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是___2.已知函数f(x)=|log2x|,0<x≤213x2−83x+5,x>2，若函数g(x)=f(x)−m存在四个不同的零点，则实数m的取值范围是_______.3.已知函数f(x)=|log2x|,x>0|x+2|−1,x≤0,若函数y=f(x)−m+1有四个零点,零点从小到大依次为a,b,c,d,则a+b+cd的值为(　　)A．2B．−2C．−3D．3【题型二】基础图像交点法【典例分析】设函数，的零点分别为，则（）【变式演练】1.已知函数，则下列说法不正确的是（） A.当时，函数有零点B.若函数有零点，则C.存在，函数有唯一的零点D.若函数有唯一的零点，则2.设f(x)={4x−4(x≤1)x2−4x+3(x>1)，g(x)=log2x，则ℎ(x)=f(x)−g(x)的零点个数是__________．3.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.【题型三】分段函数含参【典例分析】已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3个元素，则a的取值范围是______.【变式演练】1.已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有（）A．2B．3C．4D．52.设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.3.已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【题型四】研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系【典例分析】 已知函数,则函数的零点个数为A.1   B.2C.3D.4【变式演练】1.已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.已函数，当时，，若在区间内，有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．【题型五】“放大镜”函数的交点【典例分析】已知函数为偶函数，且当时，，则当时，方程的根有（）个A．B．C．D．【变式演练】1.定义在上的函数满足：①当时，②.（i）_____； （ii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______.2.已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．3.对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取，都有；（2）函数在上单调递增；（3），对一切恒成立；（4）函数有个零点；（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.【题型六】函数变换：【典例分析】已知函数，若关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（）A．（-∞，7]B．（6，+∞）C．（2+∞）D．[8，+∞）【变式演练】1.设函数，若方程在区间内有且仅有两个根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数 的取值范围是___________.3.已知函数对于恒有，若与函数的图像的点交为，则=____________【题型七】对数函数绝对值“积定法”【典例分析】设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【变式演练】1.已知，是方程的两个解，则（）A.B.C.D.2.已知函数f(x)=log2x,x>0x2+2x+2,x≤0，方程f(x)−b=0有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4，且满足：x1<x2<x3<x4，则x32(8+x42)x1x3+x2x3的取值范围是（）A．(−∞,−2)B．[−3,−22]C．(−3,−2)D．(−∞,−22]3.已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是（）A．16B．13C．12D．10【题型八】高斯函数型【典例分析】 设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【变式演练】1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（）.A．2B．3C．4D．52.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（）A．B．0C．1D．23.高斯函数（表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（）A．B．C．D．【题型九】与三角函数结合【典例分析】设a∈R，函数f(x)，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3） 【变式演练】1.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．2.若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________.3.函数在上的所有零点之和等于______.【题型十】借助周期性【典例分析】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．【变式演练】1.定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为．A．B．C．D．2.已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________． 3.已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____【课后练习】1.已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．2.（多选题）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（）A．0B．C．D．13.（多选题）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（）．A．存在实数，使得函数恰有2个零点；B．存在实数，使得函数恰有4个零点；C．存在实数，使得函数恰有5个零点；D．存在实数，使得函数恰有8个零点；4.给出定义：若（其中为整数），则叫做与实数“亲密的整数”记作，在此基础上给出下列关于函数的四个说法：①函数在是增函数； ②函数的图象关于直线对称；③函数在上单调递增；④当时，函数有两个零点.其中说法正确的序号是__________.5.已知函数，其中，若与的图像有两个交点，则的取值范围是_________6.对于实数和，定义运算：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________.7.设函数则函数的零点个数为_______；若，且函数有偶数个零点，则实数的取值范围是____________．8.已知函数满足，函数有两个零点，则的取值范围为__________．9.设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.10.高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且 ）有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（　　）A．函数的值域是B．函数是周期函数C．函数的图象关于对称D．方程只有一个实数根12.已知函数，，，已知时，函数的所有零点和为21，则当时，函数的所有零点的和为__________．