沪科版九年级数学上册 第23章 解直角三角形 单元测试卷

第23章解直角三角形（单元测试卷沪科版）考试时间：120分钟，满分：120分一、选择题：共10题，每题3分，共30分。1．的值等于（   ）A．1B．C．D．2．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的C．保持不变D．扩大为原来的4倍3．比较和的大小（   ）A．B．C．D．不确定4．如图，在中，，，，则的值为（   ）A．B．C．D．5．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米A．B．C．D．6．在Rt中，，，，则的值为（    ）A．B．C．D．107．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为30°，则他耗能（　　）（参考数据：，） A．B．C．D．8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ）A．B．C．D．9．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）A．B．1C．2D．10．在中，、均为锐角，且，则是（    ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：共8题，每题3分，共24分。11．一个人沿坡面向上走了10米，而升高了米，那么这个坡的坡比．12．在中，三边之比为，则．13．如图，在中，，，，则的面积为．（结果保留根号） 14．如图，在中，，，，则的度数为．15．如图，在中，，，．点D在上，，连接，则．16．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有．17．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么．18．如图，在Rt中，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连结，则的最小值为． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。19．（5分）如图中，，试求出的三个三角函数值．20．（5分）（1）计算：（2）计算：21．（6分）如图，在中，于D，若求 22．（6分）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】23．（6分）根据下列条件解直角三角形．(1)在中，；(2)在中，．24．（6分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：；(2)若，求的值．25．（7分）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，．（参考数据：，）(1)求步道的长度（精确到个位）；(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 26．（7分）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）(1)计算台阶的高度；(2)求孔子雕像的高度．27．（8分）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． (1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度；(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）28．（10分）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：(1)在图①，______，______，______；在图②中，______，______，______；通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______；在图②中，______，______；通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 第23章解直角三角形（单元培优卷沪科版）考试时间：120分钟，满分：120分一、选择题：共10题，每题3分，共30分。1．的值等于（   ）A．1B．C．D．【答案】C【详解】解：如图，中，，，则，，∴，故选：C．2．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的C．保持不变D．扩大为原来的4倍【答案】C【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关，∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变故选：C．3．比较和的大小（   ）A．B．C．D．不确定【答案】A【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，∴，∴．故选：A．4．如图，在中，，，，则的值为（   ） A．B．C．D．【答案】D【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，故选：D．5．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米A．B．C．D．【答案】D【详解】在中，，∵坡面米，坡角，∴该山坡的高度，故选：D．6．在Rt中，，，，则的值为（    ）A．B．C．D．10【答案】D【详解】解：如图， ∵，∴设，，∴由勾股定理得：，解得：x=2，∴，故选：．7．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为30°，则他耗能（　　）（参考数据：，）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：，故选：B．8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出，，得到 ∴为直角三角形，且∴故选：A．9．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）A．B．1C．2D．【答案】B【详解】解：由题意得，，∴，过B作，垂足为P，∴，∴，，∴，，设，则， ∴，解得，∴观测站到的距离是1．故选：B．10．在中，、均为锐角，且，则是（    ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【详解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故选：C．二、填空题：共8题，每题3分，共24分。11．一个人沿坡面向上走了10米，而升高了米，那么这个坡的坡比．【答案】【详解】∵向上行走了10米，上升高度为6米，∴行走的水平距离=米，∴此斜坡的坡度，故答案为：12．在中，三边之比为，则．【答案】【详解】∵，设， 且，∴是直角三角形，且，∴，故答案为：．13．如图，在中，，，，则的面积为．（结果保留根号）【答案】【详解】解：过点作，交的延长线于点，，∴，在中，，∴，∵，∴，故答案为：．14．如图，在中，，，，则的度数为．【答案】/105度【详解】过点A作，如图， ∵，∴，∵在中，，解得：∵∴∴∴∴故答案为：．15．如图，在中，，，．点D在上，，连接，则．【答案】【详解】解：如图，过点作于点E，，．设，则，由勾股定理得：，，解得：或（舍），，，， ，在中，，故答案为：．16．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有．【答案】①②④【详解】解：∵在中，，∴，∴，∴，故①正确；，故②正确；故③错误；∵，∴故④正确；故答案为①②④．17．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么．【答案】【详解】解：设，， ∴，∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，∴，∵，∴，∴．故答案为：．18．如图，在Rt中，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连结，则的最小值为．【答案】/【详解】解：取的中点Q，连接，∵F为的中点，∴，∵，∴，∴∵， ∴∵，∴当E、F、Q三点共线的时，的值最小，∴．故答案为：．三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。19．（5分）如图中，，试求出的三个三角函数值．【答案】，，【详解】解：中，，，，，．20．（5分）（1）计算：（2）计算：【答案】（1）（2）【详解】解：（1）原式（2）原式 21．（6分）如图，在中，于D，若求【答案】【详解】解：，于，，，．，即．，设为，则为．．在中，，．22．（6分）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】【答案】旗杆的高约为米【详解】解：由题意得，于E，米，， 在中，（米），（米），答：旗杆的高约为米．23．（6分）根据下列条件解直角三角形．(1)在中，；(2)在中，．【答案】(1)，，(2)，，，【详解】（1）解：根据勾股定理可得，，，；（2）解：，，，，．24．（6分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：；(2)若，求的值．【答案】(1)见解析(2)3【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，，∴，，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴．25．（7分）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，．（参考数据：，）(1)求步道的长度（精确到个位）；(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？【答案】(1)848米(2)走点A经过点B到点C的路线较近【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G， 则，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴；答：步道的长度约为848米．（2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下：由（1）可知，，∴，∴，∵，∴小王从点A经过点B到点C较近．26．（7分）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）(1)计算台阶的高度；(2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为，∴，，即台阶的高度为；（2）解：如图所示，设的对边为，作于F，∴由题意得，四边形是矩形，∴，，设，则，在中，，∴，∴，∴，即，解得，经检验，是原方程的解，答：孔子雕像的高度约．27．（8分）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． (1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度；(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)遮阳宽度为；(2)点E下降的高度为．【详解】（1）解：由对称性可知，，在中，，，，，答：遮阳宽度为；（2）解：如图，过点E作于点F，，，，，，，在中，，当时，，当时，，∴点E下降的高度为，答：点E下降的高度为．28．（10分）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______；在图②中，______，______，______；通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；(2)在图①中，______，______；在图②中，______，______；通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．【答案】(1)；；证明见解析(2)；；证明见解析【详解】（1）解：，，，，，，规律：对于任意锐角有，故答案为：，，1，，，1；证明：如图所示，在中，，，，，．（2）解：，， ，规律：对于任意锐角有，证明：如图，，，．故答案为：，，，．