人教版九年级数学上册 期中模拟卷01【测试范围：九年级上册第21章-第24章】

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷01（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。5．难度系数：0.75。一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．一元二次方程3x2−8x+5=0中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　）A．3，8，5B．3，−8，5C．−3，−8，−5D．−3，8，−52．抛物线y=3(x一2)2+1的对称轴是（   ）A．直线x=-2B．直线x=-1C．直线x=1D．直线x=23．若关于x的一元二次方程x2+2x+m−1=0有一个根为−1，则m的值为（    ）A．−2B．−1C．1D．24．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=4，则线段OP的长为（　　）A．6B．43C．4D．85．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB=2，AC=5，则AD的长为（    ） A．5B．52C．25D．52−26．抛物线y=2(x−1)2+c过−2,y1，0,y2，52,y3三点，则y1，y2，y3大小关系是（    ）A．y2>y3>y1B．y1>y2>y3C．y2>y1>y3D．y1>y3>y27．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（      ）A．156°B．78°C．39°D．24°8．将抛物线y=3x2+2向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　)A．y=3(x+1)2+5B．y=3(x−1)2+5C．y=3(x+1)2−1D．y=3(x−1)2−19．若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）A．k>2B．k≥2C．k<1D．k≤110．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A=90°，AB=5，BC=13，则⊙O的半径是（    ）  A．1B．3C．2D．2311．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共157．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（    ）A．1+x2=157B．1+x+x2=157C．1+x2=157D．x+x2=15712．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②2a−b=0 ；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤当y<0时，−1<x<3．其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．若点B与点A2,−3关于原点对称，则点B的坐标为．14．某农场去年种植西瓜5亩，总产量为10000kg．今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到30000kg．已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，则平均亩产量的增长率为．15．⊙O的半径为6cm，若圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是．16．若正多边形的中心角为30°，则该正多边形的边数为．17．用半径为30cm，圆心角为120∘的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为．18．如图，以G(0,3)为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（5分）用公式法解方程：3x2+5x+1=0．20．（5分）解方程：x2−2x−8=0．21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,2，C3,4． (1)请画出△ABC关于原点对称的ΔA1B1C1并写出点C1的坐标；(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的ΔAB2C2；(3)在△ABC旋转到ΔAB2C2的过程中，点C经过的路径长度为________．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．  (1)若∠BAC=40°，求∠BAF的度数；(2)若AC=8,BC=6，求AF的长．23．（10分）快手、抖音等各大娱乐APP软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐为主的主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并从十月份该主播就开始盈利36000元，十二月的盈利达到43560元，且从十月到十二月，每月的盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？24．（10分）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，AH交⊙O于点D．   (1)求证：直线HC是⊙O的切线；(2)若HC=8，DH=4，求⊙O的直径．25．（12分）【综合与实践】【问题情境】在学习了数学活动《车轮做成圆形的数学道理》后，数学学习小组的同学们利用计算机软件继续模拟并探讨各种不同类型的图形的滚动问题．【实践探究】同学们首先选择了以下四种正多边形沿水平地面的滚动，研究了以一个顶点为支点完成一次完整旋转的过程．例如，在图一中，等边三角形ABC围绕顶点C，中心从O顺时针旋转到O1再到O2的过程．我们定义这个旋转过程为正多边形绕一个顶点的一次旋转．（1）我们学习了图二中正方形绕一个顶点的一次旋转角度为90°，即是正方形的中心角度数，也是外角度数．那么等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正n边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；【深入探究】同学们继续模拟并探究，如果不是沿着水平地面滚动又会是怎样的情况？（2）如图五，半径为2的正五边形ABCDE在另一个相同半径的正五边形的边上顺时针滚动，初始时正五边形ABCDE绕顶点E的一次旋转中，中心O旋转到O1 ，则这一次旋转的旋转角度是多大？沿正五边形滚动一周后回到原来的位置，中心O的运动路径长为多少？【问题解决】如果将正多边形变化为其他图形又会是怎样的情况呢？（3）如图六，点A,B,C为⊙O上的点，AC=BC=22，∠ACB=90°，由弦BC,AC及弧AB组成的类似扇形的图形ACB沿着水平地面顺时针滚动一周，直接写出圆心O的运动路径的长．26．（12分）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OA=OC=3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△ACD的形状并说明理由；（3）如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求△CAN面积S与n的函数关系式及S的最大值；（4）在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAB=∠ABC，若存在，请直接写出点N的坐标若不存在，请说明理由． 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷01（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。5．难度系数：0.75。一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．一元二次方程3x2−8x+5=0中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　）A．3，8，5B．3，−8，5C．−3，−8，−5D．−3，8，−5【答案】B【详解】解：3x2−8x+5=0的二次项系数是3，一次项系数是−8，常数项是5．故选：B．2．抛物线y=3(x一2)2+1的对称轴是（   ）A．直线x=-2B．直线x=-1C．直线x=1D．直线x=2【答案】D【详解】解：∵y=3x−22+1，∴抛物线对称轴为x=2．故选：D．3．若关于x的一元二次方程x2+2x+m−1=0有一个根为−1，则m的值为（    ）A．−2B．−1C．1D．2【答案】D【详解】解：∵一元二次方程x2+2x+m−1=0有一个根为−1，∴将−1代入方程得：−12+2×−1+m−1=0，解得：m=2， 故选：D．4．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=4，则线段OP的长为（　　）A．6B．43C．4D．8【答案】D【详解】连接OA，∴OA=OB=4，∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，∴OP=2OA=8，故选D．5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB=2，AC=5，则AD的长为（    ）A．5B．52C．25D．52−2【答案】D【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∴∠ACE=90°，AC=CE=5,AB=DE=2，∴AE=AC2+CE2=52+52=52，∴AD=AE−DE=52−2， 故选：D．6．抛物线y=2(x−1)2+c过−2,y1，0,y2，52,y3三点，则y1，y2，y3大小关系是（    ）A．y2>y3>y1B．y1>y2>y3C．y2>y1>y3D．y1>y3>y2【答案】D【详解】解：在二次函数y=2(x−1)2+c，对称轴x=1，在图象上的三点(−2,y1)，(0,y2)，(52，y3)，点(−2,y1)离对称轴的距离最远，点(0,y2)离对称轴的距离最近，∴y1>y3>y2，故选：D．7．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（      ）A．156°B．78°C．39°D．24°【答案】C【详解】解：∵∠BOC=78°，∴∠BAC=12∠BOC=39°．故选：C．8．将抛物线y=3x2+2向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　)A．y=3(x+1)2+5B．y=3(x−1)2+5C．y=3(x+1)2−1D．y=3(x−1)2−1【答案】B【详解】解：∵抛物线y=3x2+2的顶点坐标为0,2，∴抛物线y=3x2+2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为1,5，∴平移后抛物线的解析式为y=3(x−1)2+5．故选：B．9．若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k>2B．k≥2C．k<1D．k≤1【答案】C【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则Δ=(−2)2−4×1×k>0，解得：k<1，故选：C．10．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A=90°，AB=5，BC=13，则⊙O的半径是（    ）  A．1B．3C．2D．23【答案】C【详解】解：连接OF，OD，OB，如图，设⊙O的半径为r，∵∠A=90°，AB=5，BC=13，∴AC=BC2−AC2=12，∵F点、D点为切点，∴OF⊥AC，OD⊥AB，又∵∠A=90°，∴四边形ADOF为矩形，又∵OF=OD，∴四边形ADOF为正方形，∴AD=AF=OD=OF=r，∴BD=AB−AD=5−r，CF=AC−AF=12−r， 在Rt△ODB和Rt△OEB中，OD=OEOB=OB，∴Rt△ODB≌Rt△OEBHL，∴BE=BD=5−r，同理可证CE=CF=12−r，∴BC=BE+CE=5−r+12−r=17−2r，∵BC=13，∴17−2r=13，∴r=2，即⊙O的半径为2．故选C．11．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共157．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（    ）A．1+x2=157B．1+x+x2=157C．1+x2=157D．x+x2=157【答案】B【详解】解：设主干长出x个支干，则x个支干长出x2个小分支，根据题意，得1+x+x2=157，故选：B．12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②2a−b=0；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤当y<0时，−1<x<3．其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【详解】解：由图象知，a<0，且抛物线与x轴的两个交点坐标分别为−1,0,3,0， ∴y=ax+1x−3，∴y=ax2−2ax−3a，∴b=−2a,c=−3a，∴b>0,c>0，∴abc<0，故①符合题意；2a−b=2a+2a=4a<0，故②不符合题意；4a+2b+c=4a−4a−3a=−3a>0，故③符合题意；3a+c=3a−3a=0，故④不符合题意；当y<0时，x<−1或x>3，故⑤不符合题意；从而正确的有①③，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．若点B与点A2,−3关于原点对称，则点B的坐标为．【答案】(−2,3)【详解】解：根据题意，关于原点对称点的坐标的特点是横纵坐标变为原来点坐标的相反数，∴点B的坐标为(−2,3)．故答案为：−2,314．某农场去年种植西瓜5亩，总产量为10000kg．今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到30000kg．已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，则平均亩产量的增长率为．【答案】50%【详解】解：设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，根据题意得：51+2x×100005×1+x=30000，整理得：2x2+3x−2=0，解得：x1=0.5=50%，x2=−2（不符合题意，舍去），∴平均亩产量的增长率为50%．故答案为：50%．15．⊙O的半径为6cm，若圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是．【答案】相交 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是4cm，⊙O的半径为6cm，又∵4<6，∴直线l与⊙O相交．故答案为：相交．16．若正多边形的中心角为30°，则该正多边形的边数为．【答案】12【详解】解：由题意得：30°=360°n，解得：n=12；∴正多边形的边数为：12；故答案为：12．17．用半径为30cm，圆心角为120∘的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为．【答案】10cm/10厘米【详解】解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得2πr=120π×30180，解得：r=10，故答案为：10cm．18．如图，以G(0,3)为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．【答案】33−3【详解】解：连接AC，作GM⊥AC，连接AG，∵GO⊥AB，∴OA=OB在Rt△AGO中，AG=6,OG=3， ∴AG=2OG，OA=62−32=33，∴∠GAO=30°,∠AGO=60°，∵GC=GA=6，∴∠ACG=∠CAG，∵∠AGO=∠ACG+∠CAG，∴∠ACG=∠CAG=30°，∴AC=2AO=63,MG=12GC=3，∴AM=33，∵CF⊥AE，∴点F在以AC为直径的圆M上移动，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM=FM−MG=33−3，故答案为33−3．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（5分）用公式法解方程：3x2+5x+1=0．【详解】解：a=3,b=5,c=1，（1分）Δ=b2−4ac=52−4×3×1=13>0，（2分）∴x=−b±b2−4ac2a=−5±136（4分）解得：x1=−5+136,x2=−5−136．（5分）20．（5分）解方程：x2−2x−8=0．【详解】解：x2−2x−8=0，因式分解得：x−4x+2=0，(2分)∴x−4=0或x+2=0，(4分) 解得：x1=4，x2=−2．（5分）21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,2，C3,4．(1)请画出△ABC关于原点对称的ΔA1B1C1并写出点C1的坐标；(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的ΔAB2C2；(3)在△ABC旋转到ΔAB2C2的过程中，点C经过的路径长度为________．【详解】（1）解：如图所示，ΔA1B1C1即为所求．∵点C1是点C（3，4）关于原点对称的点，∴C1−3,−4；（2分)（2）解：如图所示，ΔA2B2C2即为所求．(5分) （3）解：∵点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（1，1），∴AC=4−12+3−12=13，∴CC2=90×π×13180=13π2．（8分）22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．  (1)若∠BAC=40°，求∠BAF的度数；(2)若AC=8,BC=6，求AF的长．【详解】（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，∴∠ABC=90°−∠BAC=90°−40°=50°，（2分）∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠FBE=∠ABC=50°，AB=BF，（4分）∴∠BAF=∠BFA=12180°−∠ABF=12180°−50°=65°；（5分）（2）∵∠C=90°，AC=8,BC=6，∴AB=AC2+BC2=82+62=10，（7分）∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠BEF=∠C=90°，BE=BC=6，EF=AC=8，∴AE=AB−BE=10−6=4，（8分) ∵∠AEF=180°−∠BEF=180°−90°=90°，∴在Rt△AEF中，AF=AE2+EF2=42+82=45．(10分）23．（10分）快手、抖音等各大娱乐APP软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐为主的主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并从十月份该主播就开始盈利36000元，十二月的盈利达到43560元，且从十月到十二月，每月的盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？【详解】解：（1）设每月的平均增长率为x．（1分）根据题意可知：360001+x2=43560．（4分）解得x1=0.1，x2=−2.1（舍去）．（5分）答：每月的平均增长率为10％．（6分）（2）由（1）知：元月份的盈利将达到：43560×1+10％=47916元．（10分）24．（10分）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，AH交⊙O于点D．  (1)求证：直线HC是⊙O的切线；(2)若HC=8，DH=4，求⊙O的直径．【详解】（1）证明:连接OC,   ∵AC平分∠HAB，∴∠DAC=∠CAO，∵AO=CO，∴∠OAC=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，即AH∥OC，∵AH⊥CH，∴OC⊥CH，又OC是⊙O的半径；∴直线HC是⊙O的切线；（5分）（2）解：作OI⊥AH于点I，则AI=DI，  ∵∠OCH=∠CHI=∠OIH=90°，HC=8，DH=4，∴四边形OCHI是矩形，∴IH=OC=OA，OI=HC=8，∴AI=DI=IH−DH=OA−4，∵∠OIA=90°，∴OA−42+82=OA2， 解得OA=10，（8分）∴AB=2OA=20，（9分）∴⊙O的直径长为20．（10分）25．（12分）【综合与实践】【问题情境】在学习了数学活动《车轮做成圆形的数学道理》后，数学学习小组的同学们利用计算机软件继续模拟并探讨各种不同类型的图形的滚动问题．【实践探究】同学们首先选择了以下四种正多边形沿水平地面的滚动，研究了以一个顶点为支点完成一次完整旋转的过程．例如，在图一中，等边三角形ABC围绕顶点C，中心从O顺时针旋转到O1再到O2的过程．我们定义这个旋转过程为正多边形绕一个顶点的一次旋转．（1）我们学习了图二中正方形绕一个顶点的一次旋转角度为90°，即是正方形的中心角度数，也是外角度数．那么等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正n边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；【深入探究】同学们继续模拟并探究，如果不是沿着水平地面滚动又会是怎样的情况？（2）如图五，半径为2的正五边形ABCDE在另一个相同半径的正五边形的边上顺时针滚动，初始时正五边形ABCDE绕顶点E的一次旋转中，中心O旋转到O1，则这一次旋转的旋转角度是多大？沿正五边形滚动一周后回到原来的位置，中心O的运动路径长为多少？ 【问题解决】如果将正多边形变化为其他图形又会是怎样的情况呢？（3）如图六，点A,B,C为⊙O上的点，AC=BC=22，∠ACB=90°，由弦BC,AC及弧AB组成的类似扇形的图形ACB沿着水平地面顺时针滚动一周，直接写出圆心O的运动路径的长．【详解】解：（1）依题意，一次旋转角度为正多边形形的中心角度数，也是外角度数．3603=120,3605=72∴等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为120°；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为72°；正n边形绕一个顶点的一次旋转角度为360n°故答案为：120；72，360n;（3分）（2）连接A1D，OD,OE,O1A1,O1E，∵ED=EA1,∠EDA1=∠EA1D=360°5=72°∴∠DEA1=180°−2×72°=36°，（4分）∵∠DOE=360°5=72°∴∠OED=12180°−72°=54°，同理可得∠A1EO1=54°（5分）∴这一次旋转的旋转角度是∠OEO1=2×54°+36°=144°；（6分）∴沿正五边形滚动一周后回到原来的位置，中心O的运动路径长5×144π×2180=8π；（8分）（3）如图所示，连接AB，OC， ∵AC=BC=22，∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，半径为12AB=122AC=2，（9分）第一部分的路径：当旋转到AB与底面垂直时，为以点A为圆心，2为半径，顺时针旋转了45°，则路径长为45180π×2=π2；第二部分的路径为：以2为半径的半圆向右滚动了半圈，则路径长为πr=2π；第三部分的路径为：以B为圆心，2为半径，顺时针旋转了45°，则路径长为45180π×2=π2；第四部分的路径为：以C为圆心，2为半径，顺时针旋转了90°，则路径长为90180π×2=π；∴圆心O的运动路径的长为π2+2π+π2+π=4π．（12分）26．（12分）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OA=OC=3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△ACD的形状并说明理由；（3）如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求△CAN面积S与n的函数关系式及S的最大值；（4）在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAB=∠ABC，若存在，请直接写出点N的坐标若不存在，请说明理由．【详解】解：（1）∵OA=OC=3，∴C0,−3，A−3,0．∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，C，∴9−3b+c=0c=−3，解得b=2,c=−3.∴抛物线的表达式是y=x2+2x−3．（2分）（2）△ACD是直角三角形，理由如下：（3分）∵y=x2+2x−3=x+12−4 ∴顶点D−1,−4．如答图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，过C作CF⊥DE于点F，∵A−3,0，B1,0，C0,−3，D−1,−4，∴OA=OC=3，OB=1，AB=4，AE=2，DE=4，CF=1，DF=1．∴AC2=OA2+OC2=32+32=18，AD2=AE2+DE2=22+42=20，CD2=CF2+DF2=12+12=2，∴AD2=AC2+CD2．∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．（5分）（3）设直线AC的表达式为y=kx+d，将A−3,0，C0,−3代入，得−3k+d=0d=−3，解得k=−1d=−3．∴直线AC的表达式为y=−x−3．（6分)如答图2，过点N作NG⊥x轴于点G，交直线AC于点M，过点C作CH⊥NG于点H．∵点N的横坐标为n，∴点Nn,n2+2n−3，点Mn,−n−3．∴NM=−n−3−n2+2n−3=−n2−3n．∴S△ANC=S△ANM+S△CNM=12NM⋅AG+12NM⋅CH=12NM⋅AG+CH，=12NM⋅AO=12−n2−3n×3=−32n2−92n=−32n+322+278，∵a=−32<0．∴当n=−32时，S△ANC的最大值是278．（8分） （4）存在．当点N在A点左侧时，∠NAB为钝角，当点N在A、B两点之间时，点N与点C关于x=−1对称，∴N点的坐标为−2,−3；(2分）当点N在B点右侧时，作一条直线l过A点，平行于BC，BC的表达式为y=3x−3，∴设l为y=3x+c，代入A−3,0，∴c=9，∴l的表达式为y=3x+9，联立y=3x+9y=x2+2x−3，解得：N点的坐标为4,21或−3,0（舍去）；∴点N的坐标为−2,−3或4,21．（12分）