高一上期末真题精选（压轴56题 18类考点专练）（原卷版）

专题高一上期末真题精选（压轴58题18类压轴专练）压轴01：集合及其运算中的新定义题压轴10：双变量函数值不等问题压轴02：一元二次不等式中的恒成立问压轴11：指数（对数）型复合函数中的题零点问题压轴03：一元二次不等式中的能成立问压轴12：指数（对数）型复合函数中的题恒成立问题压轴04：二次函数的最值问题（动轴定压轴13：指数（对数）型复合函数中的范围）能成立问题压轴05：二次函数的最值问题（定轴动压轴14：指数（对数）型复合函数中的范围）恒成立问题压轴06：根据函数单调性与奇偶性解不压轴15：三角函数中的零点问题等式（小题）压轴16：三角函数中的恒成立问题压轴07：根据函数单调性与奇偶性解不压轴17：三角函数中的存在性问题等式（大题，含指数，对数型复合函数，压轴18：三角函数中的新定义问题三角函数）压轴08：根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）压轴09：双变量函数值相等问题 压轴01集合及其运算中的新定义题（共5小题）*1．已知集合A,B都是N的子集，A,B中都至少含有两个元素，且A,B满足：①对于任意x,yA，若xy，则xyB；y②对于任意x,yB，若xy，则A.x若A中含有4个元素，则AB中含有元素的个数是（）A．5B．6C．7D．82．（多选）通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合X的子集为元素的族Γ，满足下列三个条件：（1）和X在Γ中；（2）Γ中的有限个元素取交后得到的集合在Γ中；（3）Γ中的任意多个元素取并后得到的集合在Γ中，则称族Γ为集合X上的一个拓扑.已知全集U1,2,3,4,A,B为U的非空真子集，且AB，则（）A．族P,U为集合U上的一个拓扑B．族P,A,U为集合U上的一个拓扑C．族P,A,B,U为集合U上的一个拓扑D．若族P为集合U上的一个拓扑，将P的每个元素的补集放在一起构成族Q，则Q也是集合U上的一个拓扑3．对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”．已知集合B7,3,1,1,2,3,4,5,6,7,13，则B的“小和数”为，B的“大和数”为．4．把一个集合M分成若干个非空子集A1，A2，L，An，如果满足：①AiAj1i,jn，②AAAM，那么这些子集的全体称为集合M的一个n*划分，记为A1,A2,,An.若集合12nM1,2,3，则集合M的一个*2划分为；利用余数构造集合的划分是解决子集中元素整除问题的常用手段.设S为集合M1,2,3,,2024的子集，并且S中任意两个元素之和不能被3整除，则S中元素个数的最大值为.5．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为TAMm，若集合A中只有一个元素，则TA0.(1)若A{2,3,4,5}，求TA；(2)若A{1,2,3,,9},Aiai,bi,ciA,AiAj(i,j1,2,3,ij)，A1A2A3A，求TA1TA2TA3的最大值，并写出取最大值时的一组A1,A2,A3； (3)若集合N*的非空真子集A1,A2,A3,L,An两两元素个数均不相同，且TTTT55，求n的最A1A2A3An大值.压轴02一元二次不等式中的恒成立问题（共4小题）21．已知关于x的不等式axa2x12x恒成立，则a的取值范围是（）A．0,4B．0,4C．0,4D．0,4242．已知a0，bR，若x0时，关于x的不等式ax2xbx50恒成立，则b的最小值为（）aA．2B．25C．43D．3223．已知函数h(x)axax2．(1)若对于任意xR，不等式h(x)1恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a<0时，解关于x的不等式h(x)(1a)x4．24．已知函数fxxa1x1aR(1)若不等式fx1b的解集为x2x3，求a,b的值；(2)若对任意的x2,4,fxa80恒成立，求实数a的取值范围. 压轴03一元二次不等式中的能成立问题（共3小题）21．若存在x2,1，使得不等式xkx20成立，则实数k的取值范围为（）A．22,B．,22C．3,D．3,2π2．若存在实数m，使得对于任意的xa,b，不等式msinxcosx2cosxm恒成立，则ba的最大4值为．3．已知二次函数fx的最小值为9，且1是其一个零点，xR都有f2xf2x．(1)求fx的解析式；(2)求fx在区间1,m上的最小值；(3)若关于x的不等式fxmx9在区间1,3上有解，求实数m的取值范围．压轴04二次函数的最值问题（动轴定范围）（共3小题）21．已知二次函数fx满足fx2fx2x2.(1)求函数fx的解析式；(2)若gxfx2m1x,x1,2，求gx的最小值. 2xx2．已知函数y22的定义域为M.2x(1)求M；2(2)当xM时，求函数fx2logxalogx的最大值.2223．已知二次函数fxxax1,aR.(1)若a2，求fx在1,2上的值域；(2)求fx在1,2上的最小值ga.压轴05二次函数的最值问题（定轴动范围）（共2小题）21．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx4axa1.(1)求fx的解析式；(2)当xt,t2时，求fx的最小值.2．已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x且f(0)1.（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）求f(x)在xt,t1,tR上最小值g(t)的表达式. 压轴06根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）（共5小题）1．已知函数fxmxx的图象经过点3,27，则关于x的不等式16fxfx150的解集为（）A．,3B．3,C．3,5D．5,2．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在,00,上的奇函数fx，对任意x1x20，都有fx1fx2，且f2=4，则不等式fx2x的解集为（）xx12A．2,00,2B．2,02,C．,22,D．2,2xx23．已知函数fxlog2x1x221.若faaf4a42，则实数a的取值范围是（）A．1,4B．,14,C．4,1D．,4U1,fx1fx24．已知fx是定义在R上的偶函数，若x1、x20,且x1x2时，2x1x2恒成立，xx12222且f28，则满足fmm2mm的实数m的取值范围为（）A．2,1B．0,1C．0,2D．2,25．已知定义域为[5,5]的函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(-x)+f(x)=0．若f(x)f(x)21x1,x20,5,当x1x2时，总有，则满足(2m1)f(2m1)(m4)f(m4)的实数m的取值xx12范围为（）A．1,1B．1,5C．2,3D．2,1 压轴07根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）（共3小题）x3a1．已知函数f(x)是奇函数．x133(1)求a的值，判断fx的单调性并说明理由；22(2)若对任意的x2,1，不等式fxmxfx40成立，求实数m的取值范围．17x2．已知函数fxlogaa0且a1).17x(1)判断fx的奇偶性并给出证明；2(2)若对于任意的xR，facosx1f2sinx3a10恒成立，求实数a的取值范围.3．已知函数fxlog2x1，gx是定义在R上的奇函数，且当0x1时，gxfx，且对任意xR，都有gxgx20．(1)求使得ftanx1f3tanx10成立的x的取值集合；(2)求证：gx为周期为4的周期函数，并直接写出gx在区间2,2上的解析式；．．．．2yy(3)若不等式gsinxsinx4aee对任意x,yR恒成立，求实数a的取值范围． 压轴08根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）（共3小题）3f(p1)f(q1)1．已知函数f(2x3)的图象关于直线x对称，且p,q[1,),221．2pq(1)求f(x)的单调区间；2(2)求不等式f(2x1)6xf(x1)3x的解集．2．定义在0，上的函数fx，对任意的，都有fmnfmfn成立，且当x1时，fx0．(1)求f1的值；(2)证明：fx在0，上为增函数；1(3)当f2时，解不等式fx1fx3．23．函数fx满足对一切x,yR有fxfyfxy1，且f20；当x2时，有fx0.(1)求f1的值;(2)判断并证明fx在R上的单调性；222(3)解不等式2fx2xfx2x220. 压轴09双变量函数值相等问题（共3小题）x1a211．已知函数fx为奇函数.x21(1)求a的值；x(2)若fxk2在x0,1上恒成立，求实数k的取值范围；ππ(3)设gxmcos2x2，若x10,,x21,，使得gx1fx2成立，求实数m的取值范围.32x2．已知函数��,��分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且fxgx2.(1)求函数��,��的解析式；x21(2)设hx2g2x4mfx4,pxx，对x1R,x21,，使得px1hx2，求实数m的取21值范围.． 3．“函数Fx的图象关于点m,n对称”的充要条件是“对于函数Fx定义域内的任意x，都有x2FxF2mx2n”，已知函数fx．x221(1)证明：函数fx的图象关于点1,对称；22(2)若函数gx的图象关于点0,2对称，且当x0,1时，gxxax2．若对任意x12,3，总存在x21,1，使得fx1gx2成立，求实数a的取值范围．压轴10双变量函数值不等问题（共4小题）xm8x1hxxloggxm2m1．已知函数fx,gx，设函数1．若对任意x1,x22,都有2x422fx1hx2成立，求实数m的取值范围．2．已知函数f(x)sin(2x)(0π).π1(1)若fx为偶函数，求函数g(x)lgfx的定义域；62π2πππ(2)若fx过点,1，设h(x)cosx2asinx，若对任意的x1,，x20,，都有hx1fx23，6222求实数a的取值范围． 3．函数�=�(�)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数�=�(�)为奇函数，可以将其推广为：函数�=�(�)的图象关于点Pa,b成中心对称的充要条件是函数yfxab为y关于x的奇函数，给定1函数fx，关于0,b中心对称．x31(1)求b的值;2(2)已知函数gxxmx，若对任意的x11,1，总存在x21,，使得gx1fx2，求实数m的取值范围．2gxnx（n0，且n1），4．已知不等式xmxn0的解集为x2x1，函数12hxlogmx1logmx（m0，且m1）．2(1)求不等式mxxn≥0的解集；(2)若对于任意的x11,1，均存在x23,9，满足gx1hx2，求实数的取值范围．压轴11指数（对数）型复合函数中的零点问题（共3小题）1f(x)x231．已知函数f(x)3log2x，g(x)2．xg(x)21232023(1)若m(x)，求mmmm的值；g(x)2024202420242024124n(2)令h(x)f(x)f(x)4n，且h(x)在区间1,4上有零点，求实数n的取值范围．93 x2．已知函数fxe，函数ygx与yfx互为反函数.2(1)若函数ygmx2x1的值域为R，求实数m的取值范围；(2)求证：函数xgxgx2x仅有1个零点x0，且gex0fx0lnx0.xx3．已知函数fx22，gxlog2x.xx44(1)若函数Fx，x1,2，求Fx的最值；fxπx(2)设函数hxgxsin，hx在区间0,上连续不断，证明：函数hx有且只有一个零点x0，且4πx05fsin.46 压轴12指数（对数）型复合函数中的恒成立问题（共3小题）21．已知函数fxlog1x1mx在R上为奇函数，m0.2(1)求实数m的值；2(2)存在xR，使fcosx2t1f2sinxt0成立.（i）求t的取值范围；tt1（ii）若gtn4210恒成立，求n的取值范围.xxx2．已知fxee，gxln2ae1ln2a2x.(1)求函数fx在区间0,上的最小值.(2)对于任意x1,x20,，都有gx1fx22成立，求实数a的取值范围.xx13．已知函数fxcos2x2asinx2a，gxm42m(m0)．(1)若fx的最小值为3，求实数a的值；11(2)当a时，若x1R，x20,1，都有gx2fx10成立，求实数m的取值范围．23 压轴13指数（对数）型复合函数中的能成立问题（共3小题）x1．已知定义在R上的函数fxlog2a1x(a0，且a1)为偶函数．(1)解不等式fx2；2fxxx4x29(2)设函数gx2m22m，命题p:x10,log23,x21,4，使gx1成立．是否存在实4x2数m，使命题p为真命题？如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．22．设函数fxalogxblogx1（a，b为常数且b0），f24且fx的最小值为0，当x022时，Fxfx，且Fx为R上的奇函数．(1)求函数Fx的解析式；x2,4,x1,1fx3x2m3x2logx成立，求实数m的取值范围．(2)12，有121x13．已知函数fx2．x2(1)用定义法证明fx在0,上单调递增；(2)求不等式f2x1fx2的解集；2(3)若x13.5,4，对x20,使不等式log2x12x14m1f2x2mfx2成立，求实数m的取值范围． 压轴14指数（对数）型复合函数中的新定义问题（共3小题）1．函数fx的定义域为D，若存在正实数k，对任意的xD，总有fxfxk，则称函数fx具有性质Pk.(1)判断下列函数是否具有性质P1，并说明理由.①fx2024；②gxx.x(2)已知a0，k为给定的正实数，若函数fxlog24ax具有性质Pk，求a的取值范围.（用含字母k的式子表示）2．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数fx，存在点x0，使得fx0x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点.现新定义：若x0满足fx0x0，则称x0为fx的次不动点.(1)求函数fx2x1的次不动点；xx1(2)若函数gxlog39a3在0，1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数a的取值范围. xy3．定义一种新的运算“”：x,yR，都有xylg1010.(1)对于任意实数a，b，c，试判断abc与acbc的大小关系；22222(2)若关于x的不等式x1axaxlg2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；(3)已知函数fxlgx4x42x3lg2，gx1xx，若对任意的x1R，总存在3x2,，使得gx1lg3m2fx2，求实数m的取值范围.2压轴15三角函数中的零点问题（共2小题）1．已知函数fx的定义域为R，且fxyfxyfxfy，f11．(1)若fxAcosx0π，求A与；(2)证明：函数fx是偶函数；(3)证明函数fx是周期函数；T(4)若fx的周期为T，在0,上是减函数，记fx的正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，L，证明fx2在区间0,2024T上有4048个零点，且x2x1x3x2x4048x4047． π2．已知函数f(x)Asin(x)0,.2(1)某同学打算用“五点法”画出函数f(x)再某一周期内的图象，列表如下：2ππ10πx333π3πx0π2π22sin(x)01010f(x)0300请填写上表的空格处，并写出函数f(x)的解析式；π(2)若函数f(x)3sin2x，将f(x)图象上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平3π32移个单位，得到函数g(x)的图象，若F(x)g(x)ag(x)1在(0,2025π)上恰有奇数个零点，求实数33a与零点的个数.压轴16三角函数中的恒成立问题（共3小题）π331．函数fx3sinx0,0的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点F0,，与x轴223π交于点B,C,M为最高点，△MBC的面积为．4(1)求函数fx的解析式；π(2)若对任意的x0,，都有fx3log3k3，求实数k的取值范围．3 ππ2．已知函数fxsin2x，.22π(1)当时，求函数yfx的对称中心；3ππ(2)若fx为奇函数，不等式fxfxm2在x0,上恒成立，求实数m的取值范围；62π2π(3)若fx过点,1，设gx2sinx3acosx4，若对任意的x10,π，x20,，都有62gx1fx23，求实数a的取值范围.3．已知fsin22msincos8．π(1)当m1时，求f的值；12(2)若f的最小值为732，求实数m的值；π8m16(3)对任意的,π，不等式f恒成立．求m的取值范围．4sincos 压轴17三角函数中的存在性问题（共2小题）21．已知函数fx2sinxcosx23cosx3．(1)求fx的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间；ππ(2)当x,时，求fx的最值．33π5π1ππ(3)当x,时，关于x的不等式afxfx4有解，求实数a的取值范围．662612π32．已知函数fxsinπxsinxcos2x.22(1)求函数fx的最小正周期；(2)求函数fx在0,π上的单调递减区间；2ππ(3)已知函数gx2fx3fx2a1在,上存在零点，求实数a的取值范围.62压轴18三角函数中的新定义问题（共2小题）1．对于函数yfx，xR，如果存在一组常数t1，t2，…，tk（其中k为正整数，且0t1t2tk）使得当x取任意值时，有fxt1fxt2fxtk0则称函数yfx为“k级周天函数”.(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①f1xsinx；②f2xx2；(2)求证：当3n2nZ时，gxcosx是“3级周天函数”；(3)设函数hxabcos2xccos5xdcos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在mR，使得hm4a，证明：存在nR，使得hn0. 4．已知函数fx，若在其定义域内存在实数x0和t，使得fx0tfx0ft成立，则称fx是“t跃点”函数，且称x0是函数fx的“t跃点”.x2(1)求证：函数fx3x是“1跃点”函数；32(2)若函数gxxax3在0,上是“1跃点”函数，求实数a的取值范围；(3)是否同时存在实数m和正整数n，使得函数hxcos2xm在0,n上有2023个“跃点”？若存在，请6求出所有符合条件的m和n，若不存在，请说明理由.