人教版七年级数学上册期末复习考点清单 专题05 一元一次方程（5个考点清单 12种题型解读）

专题05一元一次方程（考点清单，5个考点清单+12种题型解读）81 【清单01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫作方程．2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清单02】等式的基本性质等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。字母表达式为：．等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。字母表达式为：．细节剖析：等式的传递性【清单03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【清单04】一元一次方程的应用首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含81 x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．一元一次方程应用题解题一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．【考点题型一】一元一次方程及其解【例1】（2023秋•咸安区期末）【阅读材料】规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，所以方程为“和谐方程”．81 请根据上述规定解答下列问题：（1）下列关于的一元一次方程是“和谐方程”的有　　；（填写序号）①；②；③（2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，求的值；（3）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，并且它的解是，求，的值．【变式1-1】（2023秋•涪城区期末）下列各式中，属于方程的是　　A．B．C．D．【变式1-2】（2023秋•固始县期末）若方程的解为，则的值为　　A．10B．C．D．【变式1-3】（2023秋•昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是　　A．B．C．D．【变式1-4】（2023秋•成安县期末）已知是关于的一元一次方程，则　　A．B．C．D．【变式1-5】（2023秋•西安期末）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解．【变式1-6】（2023秋•东台市期末）定义：关于的方程与方程、均为不等于081 的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”．（1）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则　　；（2）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值；（3）若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值．【考点题型二】等式的性质【例2】（2023秋•寻乌县期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．（1）数对，是“同心有理数对”的是　　．（2）若是“同心有理数对”，求的值；（3）若是“同心有理数对”，则　　“同心有理数对”（填“是”或“不是”，说明理由．【变式2-1】（2023秋•怀仁市期末）下列各式进行的变形中，不正确的是　　A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式2-2】（2023秋•乳山市期末）等式中，若是正整数，则整数的取值是　　．81 【变式2-3】（2023秋•曲阳县期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系：　　（填“”“”“”．【变式2-4】（2023秋•皇姑区期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为15克，则当的质量为　　克时，天平处于平衡状态．【变式2-5】（2023秋•渝中区期末）如果，那么成立时应满足的条件是　　．【考点题型三】解一元一次方程【例3】（2023秋•雨湖区期末）七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了．（1）请你帮小红求出“”处的数字．（2）请你正确地解出原方程．【变式3-1】（2023秋•关岭县期末）解方程：（1）；（2）．【变式3-2】（2023秋•成安县期末）解下列方程：（1）；（2）．【变式3-3】（2023秋•泗洪县期末）．【变式3-4】（2023秋•通州区期末）已知代数式的值与代数式的值互为相反数，求的值．81 【变式3-5】（2023秋•沂南县期末）若式子的值比的值小2，求的值．【变式3-6】（2023秋•明水县期末）关于的方程与的解互为相反数．（1）求的值；（2）求这两个方程的解．【变式3-7】（2023秋•潮南区期末）阅读理解题：你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．阅读下列材料：问题：利用一元一次方程将化成分数．设，由，可知，即．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得，即．（1）填空：将直接写成分数形式为　　．（2）请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．【变式3-8】（2023秋•桂平市期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程：解方程：解：方程两边同时乘以4，得：①81 去分母，得：②去括号，得：③移项，得：④合并同类项，得：⑤系数化1，得：⑥（1）以上求解步骤中，第一步的依据是　　．（2）上述小蒙的解题过程从第　　步开始出现错误，错误的原因是　　．（3）请帮小蒙改正错误，写出完整的解题过程．【考点题型四】配套问题【例4】（2023秋•东港区期末）2023年8月8日，是全国第15个全民健身日，近年来，日照始终秉持“以人民为中心”的展思想，不断扩大城市体育服务供给量，打造“体育生活圈”，某工厂现需生产一批太空漫步器（如图），每套设备各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫步器？【变式4-1】（2023秋•黔南州期末）如图是学校手工艺社团编织的手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣．安排多少人编织花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？81 【变式4-2】（2023秋•九龙坡区期末）某车间有80名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务．每个工人每天能加工20个甲种零件或加工15个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件．该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求．（1）每天应安排多少工人加工甲种零件？（2）每天生产该轿车总加工费为15200元．已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？【变式4-3】（2023秋•榆阳区期末）在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面（图或剪10个圆柱底面（图．（1）七（1）班有男生、女生各多少人？（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套．【变式4-4】（2023秋•信州区期末）某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿．81 （1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少．（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题：①如果木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？②如果木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？【考点题型五】工程问题【例5】（2023秋•清原县期末）某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？【变式5-1】（2023秋•高阳县期末）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程．已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元1天和1200元1天．（1）求这项工程共需修整绿化带多少平方米？（2）此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的修整速度提高．且工资随之上涨了200元1天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？【变式5-2】（2023秋•桂林期末）某水利工程，甲工程队单独施工需要4081 天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成．（1）现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？（2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？【变式5-3】（2023秋•长清区期末）列方程解应用题：某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为260米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天．（1）求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？（2）雇佣甲工程队需要800元天，雇佣乙工程队需要1000元天，则共需支付两个工程队多少钱？【变式5-4】（2023秋•铁东区期末）某学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作完成这块广告牌的制作．（1）为完成这块广告牌的制作，师徒二人共合作了多少天？（2）若完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配这900元的报酬？81 【考点题型六】销售问题【例6】（2023秋•哈尔滨期末）杭州亚运会的吉祥物“琼琮”、“莲莲”、“痕底”分别代表了良渚古城遗址、西湖、世界遗产京杭大运河，以它们的形象制作的纪念品种类很多．丽才纪念品店恰好用3850元购进甲、乙两种带有这三个吉祥物图案的挂件，其中甲种挂件30个，乙种挂件20个，甲种挂件每个进价比乙种挂件每个进价少5元，且两种挂件每个售价均为120元．（1）求购进甲、乙两种挂件每个进价分别是多少元？（2）由于这两种挂件十分畅销，丽才纪念品店按原进价再次购进甲、乙两种挂件，其中甲种挂件的个数是乙种挂件个数的2倍．若两次购进的挂件全部售出共获利4750元，求丽才纪念品店第二次购进甲种挂件多少个？【变式6-1】（2023秋•南浔区期末）南浔区某学校举行迎新活动，需要购买灯笼进行装饰．某商家有、、三种型号的灯笼，已知种灯笼的单价比种灯笼的单价多9元，种灯笼单价20元盏．（1）学校决定购买种灯笼30盏，种灯笼40盏，且购买、两种灯笼的费用相同，请问、两种灯笼的单价分别是多少？（2）商家节日期间为了促销，种灯笼每盏降价6元，种灯笼每盏降价2元．购买三种灯笼的顾客，所有商品价格一律九折．根据灯笼价格变化，学校发现在、灯笼数量和总经费不变的情况下，可以增加购买种灯笼．问种灯笼可以购买多少盏？81 【变式6-2】（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表：商品进价（元件）售价（元件）利润率甲种4060乙种50（1）以上表格中，的值分别为　　，　　；（2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：顾客一次性购商品数量优惠措施甲种不超过15件不优惠超过15件全部按售价8.5折乙种不超过15不优惠超过15件但不超过25件全部按售价8.8折超过25件全部按售价8折小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案．81 【变式6-3】（2023秋•潜山市期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元．（1）种商品每件进价为　　元，每件种商品利润率为　　．（2）若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？（3）在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于400元不优惠超过400元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？【变式6-4】（2023秋•和平区校级期末）某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表；甲乙进价（元件）2030售价（元件）2540（1）该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利售价进价）．若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为件，请完成下面的表格并作答：单件售价（元进货量（件交易额甲①　　②　　乙40③　　④　　81 （2）经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？【考点题型七】积分问题【例7】（2023秋•平江县期末）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？【变式7-1】（2023秋•云梦县期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，崇德中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题：参赛者答对题数答错题数得分200100191941828814664101040（1）这次竞赛中答对一题得　　分，答错一题得　　分；（2）参赛学生得分为70分，求他答错了几道题？（3）参赛学生说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由．81 【变式7-2】（2023秋•东西湖区期末）用一元一次方程解决实际问题，第2小问和第3小问用算式解决不得分．习近平总书记说“绿水青山就是金山银山”，为了增强中学生环保意识，某学校组织全体中学生进行环保知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分200100191941828814664101040（1）填空：每答对一道题得　　分，每答错一道题扣　　分．（2）参赛者得76分，他答对了几道题？（3）参赛者说他得83分，你认为可能吗？请通过计算说明．【变式7-3】．（2023秋•闽侯县期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分200100191941828814664101040根据以上信息，请你算出：（1）填空：答对一题得　　分，答错一题扣　　分；81 （2）参赛者得76分，他答对了几题？（3）参赛者说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由．【考点题型八】分段计费问题【例8】（2023秋•余姚市期末）某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下：电价分类时段电价（元千瓦时）非峰谷电价全天24小时0.538峰谷电价高峰时段上午晚上0.568低谷时段晚上次日晨0.288现某居民户10月份用电100千瓦时．（1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电千瓦时，请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费．（2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？【变式8-1】（2023秋•云梦县期末）有下列两种移动电话计费方法：月使用费元主叫限定时间主叫超时费（元被叫套餐381000.2免费套餐683000.25免费（月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费）（1）若张老师选用套餐，9月份主叫时间150分钟，则他9月份的通话费用为　48　元．（2）若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间．81 （3）设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱．【变式8-2】．（2023秋•海门区期末）某公园门票价格规定如下表：购票张数张张100张以上每张票的价格13元11元9元某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班级为单位购票，则一共应付1240元．（1）求两个班各有多少学生；（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可节省多少钱？（3）若七年级（1）班单独组织去游园，请问600元能否满足全班同学的购票需求？请说明理由．【变式8-3】（2023秋•临江市期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动．已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：购买服装的套数48套以下48套至90套91套及以上每套服装的价格65元55元45元如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元．（1）如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？（2）甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？（3）如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？81 【变式8-4】（2023秋•惠城区期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校区“悠悠南湖情，拳拳家国心”元旦文艺晚会在南湖畔上演．一中师生用歌声舞姿表达热爱寄托情怀，回首2023，逐梦2024．若1班和2班共有94名学生（其中1班人数多于2班人数，且1班人数不够90名），统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的服装价格表：购买服装的套数1套—46套47套—90套91套及以上每套服装的价格60元50元40元如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元．（1）若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？（2）两个班各有多少名学生准备参加元旦演出？（3）如果1班有10名学生被调去参加合唱团的节目，不能参加班级演出，请你为这两个班设计一种最省钱的购买服装的方案．【考点题型九】方案决策问题【例9】（2023秋•陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：方案一：全部进行粗加工；81 方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？【变式9-1】（2023秋•环江县期末）环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案．方案一：全体人员打8折；方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折．（1）若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？（2）若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？【变式9-2】（2023秋•武功县期末）某服装厂生产夹克和恤，夹克每件定价100元，恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：（客户只能选择其中一种方案）方案一：买一件夹克送一件恤；方案二：夹克和恤都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件．（1）分别用含的代数式表示该客户按方案一、方案二购买所需要的费用；（2）求该客户购买多少件恤，按方案一和方案二购买所需要的费用相同？【变式9-3】．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为千米小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米小时，设客车行驶时间为（小时）（1）当时，客车与乙城的距离为　　千米（用含的代数式表示）81 （2）已知，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答）②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；方案二：在处换乘客车返回乙城．试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？【变式9-4】（2023秋•兴宾区期末）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为0.1万元；经粗加工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案：方案一；将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案利润最大，为什么？【变式9-5】（2023秋•青山区期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？81 【考点题型十】整体思想【例10】（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是．【变式10-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是．【变式10-2】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程．【变式10-3】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程．81 【考点题型十一】分类讨论思想【例11】（21-22七年级上·安徽宣城·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ）A．2B．-2C．-2或2D．0【变式11-1】（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知一元一次方程，则的值为（   ）A．1B．3C．1或3D．0或【变式11-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为．【变式11-3】（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值．【考点题型十二】数形结合思想【例12】（2023秋•沙市区期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”（1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用，，，，4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有　　种不同的票价．（2）【迁移应用】，，，，，六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出，，，，五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则队比赛了　　场．（3）【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了40081 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求，两市相距多少千米？【变式12-1】（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ）A．15秒B．25秒C．15秒或25秒D．15秒或20秒【变式12-2】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）数轴上A，B两点表示的数分别为，2，C是射线上的一个动点，以C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处．  （1）当点C是线段的中点时，线段．（2）若，则点C表示的数是．【变式12-3】（23-24七年级上·吉林·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧的一点，且与点的距离是14个单位长度．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数为_________，点表示的数为__________（用含的代数式表示）；81 (2)若点在数轴上，且与点的距离是4个单位长度，则点表示的有理数是__________；(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，求：①当为何值时，点与点重合？②直接写出运动多少秒时，点与点之间的距离为3个单位长度？【变式12-4】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．  (1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．81 专题05一元一次方程（考点清单，5个考点清单+12种题型解读）81 【清单01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫作方程．2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清单02】等式的基本性质等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。字母表达式为：．等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。字母表达式为：．细节剖析：等式的传递性【清单03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【清单04】一元一次方程的应用首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含81 x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．一元一次方程应用题解题一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．【考点题型一】一元一次方程及其解【例1】（2023秋•咸安区期末）【阅读材料】规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，所以方程为“和谐方程”．81 请根据上述规定解答下列问题：（1）下列关于的一元一次方程是“和谐方程”的有　　；（填写序号）①；②；③（2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，求的值；（3）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，并且它的解是，求，的值．【分析】（1）分别求出三个方程的解，再由“和谐方程”的定义判断即可；（2）由“和谐方程”的定义解答即可；（3）由“和谐方程”的定义及方程的解的定义解答即可．【解答】解：（1）①方程的解是，，即，所以方程不是“和谐方程”；②方程的解是，，即，所以方程是“和谐方程”；③方程的解是，，即，所以方程不是“和谐方程”；故答案为：②；（2）若关于的一元一次方程是“和谐方程”，则，解得；（3）若关于的一元一次方程是“和谐方程”，则，它的解是，，，，解得，．81 【点评】本题考查了新定义，一元一次方程的解，理解“和谐方程”的定义是解题的关键．【变式1-1】（2023秋•涪城区期末）下列各式中，属于方程的是　　A．B．C．D．【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：、不含未知数，不是方程，不符合题意；、不是等式，故不是方程，不符合题意；、不是等式，故不是方程，不符合题意；、是含有未知数的等式，是方程，符合题意．故选：．【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键．【变式1-2】（2023秋•固始县期末）若方程的解为，则的值为　　A．10B．C．D．【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．【解答】解：依题意，得，即，解得，．故选：．【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．【变式1-3】（2023秋•昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是　　A．B．C．D．【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．【解答】解：、是一元二次方程，故错误；、是一元一次方程，故正确；、是二元一次方程，故错误；81 、是分式方程，故错误；故选：．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【变式1-4】（2023秋•成安县期末）已知是关于的一元一次方程，则　　A．B．C．D．【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．所以，，解方程和不等式即可．【解答】解：已知是关于的一元一次方程，则，解得：，又系数不为0，，则．故选：．【点评】解题的关键是根据一元一次方程的未知数的次数是1这个条件，此类题目可严格按照定义解答．【变式1-5】（2023秋•西安期末）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解．【分析】依题意得方程的解为，根据一元一次方程根的定义可求出，进而得原方程为，然后再解原方程求出即可．【解答】解：依题意得：方程的解为，，，，，原方程为，去分母，方程两边同时乘以6，得：，81 去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键．【变式1-6】（2023秋•东台市期末）定义：关于的方程与方程、均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”．（1）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则　　；（2）若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值；（3）若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值．【分析】（1）根据“错位方程”的定义直接可得答案；（2）将“错位方程”组成方程组求解可得答案；（3）根据“错位方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．【解答】解：（1）与方程互为“错位方程”，．故答案为：2；（2）将写成的形式，将写成的形式，与方程互为“错位方程”，，，、的值分别是，6；（3）的“错位方程”为，由得，，当，得，81 与的解均为整数，与都为整数，也为整数，当时，，，都为整数，当时，，，都为整数，的值为．【点评】此题考查的是新定义，一元一次方程的应用，以及解二元一次方程组，能够正确理解概念是解决此题关键．【考点题型二】等式的性质【例2】（2023秋•寻乌县期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．（1）数对，是“同心有理数对”的是　　．（2）若是“同心有理数对”，求的值；（3）若是“同心有理数对”，则　　“同心有理数对”（填“是”或“不是”，说明理由．【分析】（1）根据：使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，判断出数对，是“同心有理数对”的是哪个即可．（2）根据是“同心有理数对”，可得：，据此求出的值是多少即可．（3）根据是“同心有理数对”，可得：，据此判断出是不是同心有理数对即可．【解答】解：（1），，，数对不是“同心有理数对”；，，81 ，是“同心有理数对”，数对，是“同心有理数对”的是．（2）是“同心有理数对”．，．（3）是“同心有理数对”，．，是“同心有理数对”．故答案为：；是．【点评】此题主要考查了等式的性质，以及同心有理数对的含义和判断，要熟练掌握．【变式2-1】（2023秋•怀仁市期末）下列各式进行的变形中，不正确的是　　A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【分析】根据等式的性质逐个判断即可．【解答】解：．，，故本选项不符合题意；．，，故本选项符合题意；．，，故本选项不符合题意；．，（等式两边都除以，故本选项不符合题意；．当时，由不能推出，故本选项不符合题意；81 故选：．【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．【变式2-2】（2023秋•乳山市期末）等式中，若是正整数，则整数的取值是　　．【分析】先解方程，得到一个含有字母的解，然后用完全归纳法解出的值．【解答】解：由关于的方程，得．是正整数，是整数，正整数解相应为：、，的值是：6或4．故答案为：6或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解．解答此题难点是对值进行完全归纳，注意不要漏解．【变式2-3】（2023秋•曲阳县期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系：　　（填“”“”“”．【分析】把等式变形为减等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．【解答】解：，移项得：，合并同类项得：，提取公因数得：，化简：，，，，故答案为：．【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质．【变式2-4】（2023秋•皇姑区期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为15克，则当81 的质量为　　克时，天平处于平衡状态．【分析】设的质量为克，则根据图形得出，再根据等式的性质求出方程的解即可．【解答】解：设的质量为克，则根据图形可知：，解得：，即当的质量是7.5克时，天平处于平衡状态．故答案为：7.5．【点评】本题考查了等式的性质，能根据题意得出方程是解此题的关键．【变式2-5】（2023秋•渝中区期末）如果，那么成立时应满足的条件是　　．【分析】根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．得到，即可求出的满足条件．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是根据等式的性质得到，再求出答案．【考点题型三】解一元一次方程【例3】（2023秋•雨湖区期末）七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了．（1）请你帮小红求出“”处的数字．（2）请你正确地解出原方程．【分析】（1）将代入中，进而求出“”处的数字；（2）将（1）中的值代入原方程，求解即可．【解答】解：（1）根据题意将代入中，得，81 即，解得，“”处的数字为2；（2）将代入原方程得，，去分母得，，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，．【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键．【变式3-1】（2023秋•关岭县期末）解方程：（1）；（2）．【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．【解答】解：（1）移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为1，可得：．（2）去分母，可得：，去括号，可得：，移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为1，可得：．【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键．【变式3-2】（2023秋•成安县期末）解下列方程：（1）；（2）．【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化“1”，从而可得答案；（2）先去括号，再去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化“1”，从而可得答案．81 【解答】解：（1），去括号得：，整理得：，解得：；（2），去分母得：，去括号得：，解得：．【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键．【变式3-3】（2023秋•泗洪县期末）．【分析】本题方程两边都含有分数系数，如果直接通分，有一定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式，难度就会降低．【解答】解：去分母，得，去括号，得，合并同类项，得，方程的两边同时除以3，得．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法．本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生害怕心理．因为看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简．【变式3-4】（2023秋•通州区期末）已知代数式的值与代数式的值互为相反数，求的值．【分析】根据题意，先列出方程，再求方程的解．【解答】解：的值与代数式的值互为相反数，．．81 ．【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键．【变式3-5】（2023秋•沂南县期末）若式子的值比的值小2，求的值．【分析】先根据题意得出方程，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：由题意，得，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化成1，得．【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．【变式3-6】（2023秋•明水县期末）关于的方程与的解互为相反数．（1）求的值；（2）求这两个方程的解．【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；（2）把的值代入两个方程的解计算即可．【解答】解：（1）由得：，依题意有：，解得：；（2）由，解得方程的解为，解得方程的解为．【点评】本题考查了同解方程的问题，先求出两个方程的解的表达式，然后根据互为相反数的和等于0列式求出的值是解题的关键．【变式3-7】（2023秋•潮南区期末）阅读理解题：81 你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．阅读下列材料：问题：利用一元一次方程将化成分数．设，由，可知，即．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得，即．（1）填空：将直接写成分数形式为　　．（2）请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答；（2）按照例题的解题思路进行计算，即可解答．【解答】解：（1）设，由，可知，即，解得：，即，故答案为：；（2）设，由，可知，即，解得：，即．【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，理解例题的解题思路是解题的关键．【变式3-8】（2023秋•桂平市期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程：解方程：解：方程两边同时乘以4，得：①去分母，得：②去括号，得：③81 移项，得：④合并同类项，得：⑤系数化1，得：⑥（1）以上求解步骤中，第一步的依据是　　．（2）上述小蒙的解题过程从第　　步开始出现错误，错误的原因是　　．（3）请帮小蒙改正错误，写出完整的解题过程．【分析】检查小蒙同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因，写出正确的解题过程即可．【解答】解：（1）第一步的依据是：等式的基本性质；（2）第②步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号；故答案为：等式的基本性质；②；去分母没有加括号．（3）解：方程两边同时乘以4，得：，去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化1，得：．【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．【考点题型四】配套问题【例4】（2023秋•东港区期末）2023年8月8日，是全国第15个全民健身日，近年来，日照始终秉持“以人民为中心”的展思想，不断扩大城市体育服务供给量，打造“体育生活圈”，某工厂现需生产一批太空漫步器（如图），每套设备各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫步器？81 【分析】设分配名工人生产架子，名工人生产脚踏板，根据题意得脚踏板的数量是架子的数量的2倍，列出方程，即可求解问题．【解答】解：设分配名工人生产架子，名工人生产脚踏板，由题意得，，解得，则生产脚踏板的人数为（人，每天生产太空漫步机的数量为（套，答：分配20名工人生产架子，25名工人生产脚踏板，才能使每天的生产的架子和脚踏板配套，每天生产太空漫步器1200套．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，本题的关键是理解题意得到脚踏板的数量是架子的数量的2倍进而列出方程解题．【变式4-1】（2023秋•黔南州期末）如图是学校手工艺社团编织的手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣．安排多少人编织花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？【分析】设安排人编织花心，则人编织花瓣，根据一朵花由1个花心和8个花瓣构成列出方程求解即可．81 【解答】解：设安排人编织花心，则人编织花瓣，根据题意得，，解得，此时（人，答：安排10人编织花心，则20人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确列出方程是解题的关键．【变式4-2】（2023秋•九龙坡区期末）某车间有80名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务．每个工人每天能加工20个甲种零件或加工15个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件．该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求．（1）每天应安排多少工人加工甲种零件？（2）每天生产该轿车总加工费为15200元．已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？【分析】（1）设每天应安排名工人加工甲种零件，则应安排名工人加工乙种零件，根据该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求，可列出关于的一元一次方程，解之可得出应安排加工甲种零件的人数，再将其代入中，即可求出应安排加工乙种零件的人数；（2）设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元，根据每天生产该轿车总加工费为15200元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设每天应安排名工人加工甲种零件，则应安排名工人加工乙种零件，根据题意得：，解得：，（名．答：每天应安排40名工人加工甲种零件，40名工人加工乙种零件；（2）设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元，根据题意得：，解得：．81 答：加工一件乙种零件的费用为12元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式4-3】（2023秋•榆阳区期末）在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面（图或剪10个圆柱底面（图．（1）七（1）班有男生、女生各多少人？（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套．【分析】（1）设该班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）先判断每小时剪出的筒身与桶底不配套，然后设男生向女生支援人，剪出的筒身与桶底正好配套，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）设该班有男生人，则女生有人，由题意，得，解得，答：该班有男生24人，女生26人；（2）因为男生一小时剪筒身，需要960个筒底，而，所以每小时剪出的筒身与筒底不配套，设男生向女生支援人，剪出的筒身与筒底正好配套，由题意，得，即，解得：，81 则男生向女生支援14人，剪出的筒身与筒底正好配套．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．【变式4-4】（2023秋•信州区期末）某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿．（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少．（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题：①如果木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？②如果木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？【分析】（1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建立方程求出其解即可．（2）①设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可．②设用木料制作桌面，则用木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得，解得：，答：制作桌面的木料为．（2）①设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得，解得：，制作桌腿的木料为：．答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套．②设用木料制作桌面，则用木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，由题意得，解得，，81 答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，寻找配套问题的等量关系建立方程是解决问题的关键．【考点题型五】工程问题【例5】（2023秋•清原县期末）某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？【分析】设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要天能够完成任务，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要天能够完成任务，根据题意得：，解得：．答：乙队还需要5天能够完成任务．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式5-1】（2023秋•高阳县期末）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程．已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元1天和1200元1天．（1）求这项工程共需修整绿化带多少平方米？（2）此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的修整速度提高．且工资随之上涨了200元1天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工程需要天，根据甲、乙单独完成这项工程需修整绿化带相等，列出方程，进而作答即可；（2）设甲工程队的工作时间为天，则乙工程队总工作时间为天，甲队修，整量乙队修整量，列出方程，再解即可．【解答】解：（1）乙工程队单独完成这项工程需要天，由题意得：，解得：，81 （平方米），这项工程共需修整绿化带960平方米；（2）设甲工程队的工作时间为天，则乙工程队总工作时间为天，，解得：，（天，乙队共修整14天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．【变式5-2】（2023秋•桂林期末）某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成．（1）现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？（2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？【分析】（1）设完成此项水利工程一共用了天，则甲工程队施工天，乙工程队施工天，利用甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量整个工程量（单位“1”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）利用甲工程队得到的施工费总施工费甲工程队完成的工程量占整个工程量的比例，即可求出结论．【解答】解：（1）设完成此项水利工程一共用了天，则甲工程队施工天，乙工程队施工天，根据题意得：，解得：．答：完成此项水利工程一共用了30天；（2）根据题意得：（万元）．答：甲工程队可以得到34万元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式5-3】（2023秋•长清区期末）列方程解应用题：某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为26081 米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天．（1）求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？（2）雇佣甲工程队需要800元天，雇佣乙工程队需要1000元天，则共需支付两个工程队多少钱？【分析】（1）设甲工程队整治河道天，则乙工程队整治河道天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出甲工程队整治河道的时间，再将其代入中，即可求出乙工程队整治河道的时间；（2）利用所需总费用雇佣甲工程队每天的费用甲工程队整治河道的时间雇佣乙工程队每天的费用乙工程队整治河道的时间，即可求出结论．【解答】解：（1）设甲工程队整治河道天，则乙工程队整治河道天，根据题意得：，解得：，（天．答：甲工程队整治河道10天，乙工程队整治河道15天；（2）根据题意得：（元．答：共需支付两个工程队23000元钱．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．【变式5-4】（2023秋•铁东区期末）某学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作完成这块广告牌的制作．（1）为完成这块广告牌的制作，师徒二人共合作了多少天？（2）若完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配这900元的报酬？【分析】（1）设两人合作需要天，根据总工作量徒弟完成部分师傅完成部分即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）利用获得的报酬完成的工作量总报酬，即可分别求出师徒获得的报酬．【解答】解：（1）设两人合作需要天，81 根据题意得：，解得：，答：师徒二人共合作了2天；（2）师傅共做了2天，徒弟做了3天，（元；（元，答：师傅得到报酬450元，徒弟得到报酬450元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【考点题型六】销售问题【例6】（2023秋•哈尔滨期末）杭州亚运会的吉祥物“琼琮”、“莲莲”、“痕底”分别代表了良渚古城遗址、西湖、世界遗产京杭大运河，以它们的形象制作的纪念品种类很多．丽才纪念品店恰好用3850元购进甲、乙两种带有这三个吉祥物图案的挂件，其中甲种挂件30个，乙种挂件20个，甲种挂件每个进价比乙种挂件每个进价少5元，且两种挂件每个售价均为120元．（1）求购进甲、乙两种挂件每个进价分别是多少元？（2）由于这两种挂件十分畅销，丽才纪念品店按原进价再次购进甲、乙两种挂件，其中甲种挂件的个数是乙种挂件个数的2倍．若两次购进的挂件全部售出共获利4750元，求丽才纪念品店第二次购进甲种挂件多少个？【分析】（1）设甲种挂件每个进价是元，则乙种挂件每个进价是元，利用总价单价数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出甲种挂件每个的进价，再将其代入中，即可求出乙种挂件每个的进价；（2）设丽才纪念品店第二次购进乙种挂件个，则丽才纪念品店第二次购进甲种挂件个，利用总利润每个的销售利润销售数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出丽才纪念品店第二次购进甲种挂件的数量．【解答】解：（1）设甲种挂件每个进价是元，则乙种挂件每个进价是元，根据题意得：，解得：，81 （元．答：甲种挂件每个进价是75元，乙种挂件每个进价是80元；（2）设丽才纪念品店第二次购进乙种挂件个，则丽才纪念品店第二次购进甲种挂件个，根据题意得：，解得：，（个．答：丽才纪念品店第二次购进甲种挂件40个．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•南浔区期末）南浔区某学校举行迎新活动，需要购买灯笼进行装饰．某商家有、、三种型号的灯笼，已知种灯笼的单价比种灯笼的单价多9元，种灯笼单价20元盏．（1）学校决定购买种灯笼30盏，种灯笼40盏，且购买、两种灯笼的费用相同，请问、两种灯笼的单价分别是多少？（2）商家节日期间为了促销，种灯笼每盏降价6元，种灯笼每盏降价2元．购买三种灯笼的顾客，所有商品价格一律九折．根据灯笼价格变化，学校发现在、灯笼数量和总经费不变的情况下，可以增加购买种灯笼．问种灯笼可以购买多少盏？【分析】（1）设种灯笼的单价为元，则种灯笼的单价为元，根据购买、两种灯笼的费用相同列出方程求解即可得到、两种灯笼的单价；（2）根据种灯笼降价又打折后的总价格种灯笼降价又打折后的总价格种灯笼打折后的总价钱原价购买种灯笼30盏，种灯笼40盏的价钱，把相关数值代入求解即可．【解答】解：（1）设种灯笼的单价为元，则种灯笼的单价为元，根据题意，得：．解得：．．答：种灯笼的单价为36元，种灯笼的单价为27元；（2）设种灯笼可以购买盏．．81 ．解得：．答：种灯笼可以购买25盏．【点评】本题考查一元一次方程的应用．根据所给条件判断出能解决问题的相等关系是解决本题的关键．【变式6-2】（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表：商品进价（元件）售价（元件）利润率甲种4060乙种50（1）以上表格中，的值分别为　　，　　；（2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：顾客一次性购商品数量优惠措施甲种不超过15件不优惠超过15件全部按售价8.5折乙种不超过15不优惠超过15件但不超过25件全部按售价8.8折超过25件全部按售价8折小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案．【分析】（1）利用甲种商品的利润率，即可求出的值，利用乙种商品的利润率，可列出关于的一元一次方程，解之即可求出的值；（2）设购进乙种商品件，则购进甲种商品件，利用总利润每件甲种商品的销售利润购进甲种商品的数量每件乙种商品的销售利润购进乙种商品的数量，可列出关于的一元一次方程，解之可求出购进乙种商品的数量，再将其代入中，即可求出购进甲种商品的数量；（3）设购买甲种商品件，则购买乙种商品件，分，，及81 四种情况考虑，利用总价单价数量，结合总价为2280元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：；，解得：．故答案为：75，；（2）设购进乙种商品件，则购进甲种商品件，根据题意得：，解得：，（件．答：购进甲种商品90件，乙种商品50件；（3）设购买甲种商品件，则购买乙种商品件．当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，，解得：，（件；当时，，解得：，（件，小华的爸爸共有2种购买方案，方案1：购买甲种商品24件，乙种商品16件；方案2：购买甲种商品30件，乙种商品10件．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式6-3】（2023秋•潜山市期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为6081 元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元．（1）种商品每件进价为　　元，每件种商品利润率为　　．（2）若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？（3）在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于400元不优惠超过400元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？【分析】（1）设种商品每件进价为元，种商品每件售价为60元，利润率为，列方程即可求出的值；根据利润率利润成本，可以求出每件种商品利润率；（2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据总利润为1580元，列方程求解即可；（3）若没有优惠促销，设小明在该商场购买同样商品要付元，分两种情况讨论：①当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时和②当打折前一次性购物总金额超过600元，分别列方程求解即可．【解答】解：（1）设种商品每件进价为元，种商品每件售价为60元，利润率为，可列方程：，解得：，每件种商品利润率，故答案为：40；．（2）设购进种商品件，购进种商品件，由题意可得：，解得：，答：购进种商品52件．（3）若没有优惠促销，设小明在该商场购买同样商品要付元，分两种情况讨论：81 ①当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时，可列方程：，解得：，②当打折前一次性购物总金额超过600元，可列方程：，解得：，答：若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付590或668元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系并利用方程思想求解．【变式6-4】（2023秋•和平区校级期末）某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表；甲乙进价（元件）2030售价（元件）2540（1）该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利售价进价）．若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为件，请完成下面的表格并作答：单件售价（元进货量（件交易额甲①　　②　　乙40③　　④　　（2）经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？【分析】（1）表格根据已知条件填写即可；根据甲的进货量为件，乙的进货量为件，再根据交易额等于单件售价进货量，列出方程求解即可；（2）先算出乙商品的新售价和每件新获利，再求出购进乙商品数量即可．【解答】解：（1）由题可知，表格中①甲的单件售价为25元，乙的单件售价为40元；②甲的交易额为元；③乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲的进货量为件，乙的进货量为件；81 ④乙的交易额为元；故答案为：25；；；；该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，，解得：，乙的进货量为件件，（元，答：该直播间本次获利4000元．（2）乙商品的新售价为（元，乙商品每件新获利为（元，需购进乙商品为（元，答：若要获得9000元的利润，需购进乙商品600件．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并找出等量关系，列出方程并正确求解．【考点题型七】积分问题【例7】（2023秋•平江县期末）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？【分析】设胜了场，那么负了场，根据得分为13分可列方程求解．【解答】解：设胜了场，那么负了场，根据题意得：，，．答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，还考查了学生的理解题意能力，关键设出胜的场数，以总分数作为等量关系列方程求解．81 【变式7-1】（2023秋•云梦县期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，崇德中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题：参赛者答对题数答错题数得分200100191941828814664101040（1）这次竞赛中答对一题得　　分，答错一题得　　分；（2）参赛学生得分为70分，求他答错了几道题？（3）参赛学生说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由．【分析】（1）设答对一题得分，答错一题得分，根据题意，得，，解答即可；（2）设答错了道题，则答对道，根据题意，得解答即可；（3）设答错了道题，则答对道，根据题意，得解答即可．【解答】解：（1）设答对一题得分，根据题意，得，解得；设答错一题得分，，解得．故答案为：5，；（2）设参赛学生答错了道题，依题可得：，解得．答：参赛学生答错了5道题．（3）不可能，理由如下：81 设参赛学生答对了道题，依题可得：，解得，而是整数，方程无符合要求的解．参赛学生的得分为6（0分）是不可能的．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式7-2】（2023秋•东西湖区期末）用一元一次方程解决实际问题，第2小问和第3小问用算式解决不得分．习近平总书记说“绿水青山就是金山银山”，为了增强中学生环保意识，某学校组织全体中学生进行环保知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分200100191941828814664101040（1）填空：每答对一道题得　　分，每答错一道题扣　　分．（2）参赛者得76分，他答对了几道题？（3）参赛者说他得83分，你认为可能吗？请通过计算说明．【分析】（1）根据参赛者可以求出每答对一道题得分，根据参赛者和可以求出每答错一道题得分；（2）设答对了道题，根据答对得分答错得分总得分，进而作答即可；（3）假设可能，设答对道题，根据答对得分答错得分总得分，求出，根据为正整数，进而判断作答即可．【解答】解：（1）由参赛者得：（分，由参赛者得：（分，每答对一道题得5分，每答错一道题扣1分，故答案为：5，1；（2）解设他答对了道题，81 由题意得：，解得：，答：他答对了16道题；（3）参赛者不可能得83分，理由：假设他可能得83分，设他答对道题，根据题意得：，解得，不是正整数，所以假设不成立，故参赛者不可能得83分．【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键找准等量关系．【变式7-3】．（2023秋•闽侯县期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分200100191941828814664101040根据以上信息，请你算出：（1）填空：答对一题得　　分，答错一题扣　　分；（2）参赛者得76分，他答对了几题？（3）参赛者说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由．【分析】（1）利用答对一题得分参赛者的得分答对题目数，可求出答对一题得分，利用答错一题扣的分值答对一题得分参赛者答对的题目数参赛者的地方，即可求出答错一题扣的分值；（2）设参赛者答对了道题，则答错了道题，利用参赛者的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；81 （3）假设参赛者得了36分，设他答对了道题，则答错了道题，利用参赛者的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之可得出值，结合为自然数，可得出该值不符合题意，进而可得出假设不成立，即参赛者不可能得36分．【解答】解：（1）（分，答对一题得5分；（分，答错一题扣1分．故答案为：5，1；（2）设参赛者答对了道题，则答错了道题，根据题意得：，解得：．答：参赛者答对了16道题；（3）参赛者不可能得36分，理由如下：假设参赛者得了36分，设他答对了道题，则答错了道题，根据题意得：，解得：，又为自然数，不符合题意，舍去，假设不成立，即参赛者不可能得36分．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【考点题型八】分段计费问题【例8】（2023秋•余姚市期末）某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下：电价分类时段电价（元千瓦时）非峰谷电价全天24小时0.53881 峰谷电价高峰时段上午晚上0.568低谷时段晚上次日晨0.288现某居民户10月份用电100千瓦时．（1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电千瓦时，请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费．（2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？【分析】（1）先表示出高峰时用电数，然后分别求出高峰电费和低谷电费，二者相加就是该居民户这个月应缴纳的电费；（2）设该居民户高峰时段用电千瓦时，根据“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元列出方程，然后解方程作答即可解决问题．【解答】解：（1）该居民户10月份用电100千瓦时，其中低谷时段用电千瓦时，则高峰时段用电千瓦时，元，答：该居民户这个月应缴纳的电费为元；（2）设该居民户高峰时段用电千瓦时，由题意得：，解得：，答：该居民户高峰时段用电40千瓦时．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，深入理解题意是解决问题的关键．【变式8-1】（2023秋•云梦县期末）有下列两种移动电话计费方法：月使用费元主叫限定时间主叫超时费（元被叫套餐381000.2免费套餐683000.25免费（月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费）（1）若张老师选用套餐，9月份主叫时间150分钟，则他9月份的通话费用为　48　元．81 （2）若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间．（3）设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱．【分析】（1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或38元，代入解答即可；（2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或38元，李老师的通话费用计算方式为：或68元，分类解答即可；（3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或38元，套餐的费用为或68元，分类计算可．【解答】解：（1）设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：，当时，（元，故答案为：48；（2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或38元，李老师的通话费用计算方式为：或68元，当两位老师的费用都是68元时，根据题意得：，解得：；当两位老师的费用超过68元时，根据题意得：，解得．故通话时长为250分钟或500分钟时，两人通话时长相等，费用相等．（3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或38元，套餐的费用为或68元，根据（2）解答得：81 时，套餐便宜，此时；当时，套餐便宜，此时；故当，选择套餐省钱．【点评】本题考查了一元一次方程的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键．【变式8-2】．（2023秋•海门区期末）某公园门票价格规定如下表：购票张数张张100张以上每张票的价格13元11元9元某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班级为单位购票，则一共应付1240元．（1）求两个班各有多少学生；（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可节省多少钱？（3）若七年级（1）班单独组织去游园，请问600元能否满足全班同学的购票需求？请说明理由．【分析】（1）设（1）班有个学生，则（2）班有个学生，根据购票总费用（1）班购票费用（2）班购票费用即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240做差即可得出结论；（3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设（1）班有个学生，则（2）班有个学生，根据题意得：，解得：，．答：七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生；（2）（元．答：如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱；（3）600元能满足全班同学的购票需求，理由如下：81 （元，，若七年级（1）班单独组织去游园，600元能满足全班同学的购票需求．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据购票总费用（1）班购票费用（2）班购票费用列出关于的一元一次方程；（2）根据总价单价数量求出购买104张门票的总钱数；（3）根据总价单价数量分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数．【变式8-3】（2023秋•临江市期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动．已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：购买服装的套数48套以下48套至90套91套及以上每套服装的价格65元55元45元如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元．（1）如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？（2）甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？（3）如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？【分析】（1）利用节省的钱数甲、乙两所幼儿园分别单独购买服装所需费用甲、乙两所幼儿园的人数之和，即可求出结论；（2）设甲幼儿园有名小朋友准备参加演出，则乙幼儿园有名小朋友准备参加演出，利用总价单价数量，结合“两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）分别求出甲、乙两所幼儿园各自购买服装、甲、乙两所幼儿园联合购买86套服装及甲、乙两所幼儿园联合购买91套服装所需费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：（元．答：如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省1360元；（2）设甲幼儿园有名小朋友准备参加演出，则乙幼儿园有名小朋友准备参加演出，81 根据题意得：，解得：，（名．答：甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出；（3）方案1：甲、乙两所幼儿园各自购买服装，所需费用为（元；方案2：甲、乙两所幼儿园联合购买（套服装，所需费用为（元；方案3：甲、乙两所幼儿园联合购买91套服装，所需费用为（元．元元元，甲、乙两所幼儿园联合起来购买91套服装最省钱．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式8-4】（2023秋•惠城区期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校区“悠悠南湖情，拳拳家国心”元旦文艺晚会在南湖畔上演．一中师生用歌声舞姿表达热爱寄托情怀，回首2023，逐梦2024．若1班和2班共有94名学生（其中1班人数多于2班人数，且1班人数不够90名），统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的服装价格表：购买服装的套数1套—46套47套—90套91套及以上每套服装的价格60元50元40元如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元．（1）若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？（2）两个班各有多少名学生准备参加元旦演出？（3）如果1班有10名学生被调去参加合唱团的节目，不能参加班级演出，请你为这两个班设计一种最省钱的购买服装的方案．【分析】（1）用两个班分别单独购买服装的费用两班联合起来购买服装的费用，即可得到答案；（2）设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出，由题意得出，，据此列一元一次方程求解，即可得到答案；（3）由题意可知，此时两班共有84名学生参加班级演出，分别求出联合买84套和买91套的费用，即可得到答案．【解答】解：（1）（元，81 答：若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省1360元；（2）设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出，班人数多于2班人数，，解得：，班人数不够90名，，，由题意得：，解得：，（名，答：1班有52名学生准备参加元旦演出，2班有42名学生准备参加元旦演出；（3）由题意可知，1班有42名学生准备参加元旦演出，2班有42名学生准备参加元旦演出，共84人，联合一起买最省钱，若买84套，则需花费（元，若买91套，则需花费（元，，联合一起买91套最省钱．【点评】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程是解题关键．【考点题型九】方案决策问题【例9】（2023秋•陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：方案一：全部进行粗加工；方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．81 你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？【分析】方案一由于全部进行粗加工，而，所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利润5000元即可求出利润；方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15天可精加工吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润；方案三由于将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将吨海产品进行精加工，则将吨进行粗加工，根据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨数，然后利用已知条件求出利润．【解答】解：方案一：可获利润为：（元；方案二：15天可精加工（吨，说明还有50吨需要直接销售，故可获利润：（元；方案三：设将吨海产品进行精加工，则将吨进行粗加工，由题意得：，解得：，故可获利润（元，，所以选择方案三可获利润最多，最多可获利润850000元．【点评】此题和实际生活结合比较紧密，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式9-1】（2023秋•环江县期末）环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案．方案一：全体人员打8折；方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折．（1）若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？（2）若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？【分析】（1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可；81 （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可．【解答】解：（1）由题意可得：方案一的花费为：（元，方案二的花费为：（元，，答：该团队应该选择方案一．（2）设团队有人，根据题意得：，解得：，答：该团队有45人．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题．【变式9-2】（2023秋•武功县期末）某服装厂生产夹克和恤，夹克每件定价100元，恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：（客户只能选择其中一种方案）方案一：买一件夹克送一件恤；方案二：夹克和恤都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件．（1）分别用含的代数式表示该客户按方案一、方案二购买所需要的费用；（2）求该客户购买多少件恤，按方案一和方案二购买所需要的费用相同？【分析】（1）根据题目所给的方案列式即可；（2）根据“方案一和方案二购买所需要的费用相同”，列出方程求解即可．【解答】解：（1）方案一：买一件夹克送一件恤，该客户按方案一购买所需要的费用为（元，方案二：夹克和恤都按定价的付款，该客户按方案二购买所需要的费用为（元；（2）由题意得，，解得，答：该客户购买90件恤时，按方案一和方案二购买所需要的费用相同．81 【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是理解题意列出两种方案下所付的费用解题．【变式9-3】．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为千米小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米小时，设客车行驶时间为（小时）（1）当时，客车与乙城的距离为　　千米（用含的代数式表示）（2）已知，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答）②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；方案二：在处换乘客车返回乙城．试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？【分析】第一问用代数式表示，第二问中用到了一元一次方程的知识，也用到了相遇的知识，要求会画图形，数形结合更好的解决相遇问题．【解答】解：（1）当时，客车与乙城的距离为千米故答案为：；（2）①解：设当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是小时：当客车和出租车没有相遇时解得：：当客车和出租车相遇后解得：当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是4.375小时或5.625小时②小王选择方案二能更快到达乙城．【精思博考：选择方案一时，小王需要7小时到达乙城；选择方案二时，小王需要小时到达乙城】解：设客车和出租车小时相遇81 此时客车走的路程为，出租车的路程为丙城与城之间的距离为方案一：小王需要的时间是方案二：小王需要的时间是小王选择方案二能更快到达乙城．【点评】本题的关键是列方程和画相遇图，并且会分类讨论的思想．【变式9-4】（2023秋•兴宾区期末）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为0.1万元；经粗加工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案：方案一；将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案利润最大，为什么？【分析】由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算可得到方案一的利润；由条件可知15天可精加工蔬菜75吨，计算可得到方案二的利润；设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，列方程求出的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算可得到方案三的利润，对比即可得到结果．【解答】解：方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，（万元），将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元；方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜（吨，则剩下（吨在市场上直接销售，（万元），尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润64.5万元；方案三：设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，81 依题意得，，解得，得精加工蔬菜（吨，粗加工蔬菜（吨，（万元）；，方案三获得利润最大，最大利润为75万元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是计算出精加工和粗加工的重量，从而算出利润解题．【变式9-5】（2023秋•青山区期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？【分析】方案一：直接用算术方法计算：粗加工的利润吨数；方案二：首先根据每天精加工的吨数以及天数的限制，知精加工了吨，还有50吨直接销售；方案三：设精加工天，则粗加工天，根据加工的总吨数为140吨列方程求得的值，然后可求得获得的利润．【解答】解：方案一：（元，将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630000元方案二：（元，将蔬菜尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润725000元；方案三：设精加工天，则粗加工天．根据题意得：，解得：，81 所以精加工的吨数，吨．这时利润为：（元答：该公司可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元．【点评】本题主要考查的一元一次方程的应用，根据题意列出关于的方程是解题的关键．【考点题型十】整体思想【例10】（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是．【答案】27【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，将代入可得到，再整体代入，即可得出答案．熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：是关于x的一元一次方程的解，，，故答案为：．【变式10-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是．【答案】7【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可．【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，∴，∴，故答案为：7．【变式10-2】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程．【答案】81 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可．【详解】，设，则原方程可变形为，，，，，，k=1，∴，解得．【变式10-3】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程．【答案】见解析【分析】本题考查解一元一次方程．按照两人的方法，逐一进行求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．【详解】解：小亮：原方程可化为；小颖：原方程可化为．81 【考点题型十一】分类讨论思想【例11】（21-22七年级上·安徽宣城·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ）A．2B．-2C．-2或2D．0【答案】A【分析】根据一元一次方程只含有一个未知数且未知数的最高次数是1，可得答案．【详解】解：根据题意，得|b|−1＝1，解得b＝±2．当b＝−2时，系数b＋2＝0，不合题意，舍去，当b＝2时，系数是b＋2＝4，符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的概念．一元一次方程只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．【变式11-1】（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知一元一次方程，则的值为（   ）A．1B．3C．1或3D．0或【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意需要考虑未知数次数最高为1和未知数最高次数不为1时系数为0这两种情况，根据上述情况建立等式求解，即可解题．【详解】解：为一元一次方程，①当时，有或，且，即，故或，②当时，有，，综上所述，或，故选：C．81 【变式11-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为．【答案】或【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可．【详解】解：关于的方程是一元一次方程，可考虑三种情况，①当且时，即且，则，解得：，此时，故排除；②当且时，即且，，符合条件；③当即时，，符合条件；综上：的值为或，故答案为：或．【变式11-3】（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值．【答案】4或或1【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值．【详解】解：分两种情况：（1），，当时，，此时；当时，，此时；81 （2），，解得，，；当时，，即；当时，由原方程，得，不符合题意．【考点题型十二】数形结合思想【例12】（2023秋•沙市区期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”（1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用，，，，4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有　　种不同的票价．（2）【迁移应用】，，，，，六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出，，，，五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则队比赛了　　场．（3）【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求，两市相距多少千米？【分析】（1）先求出线段的条数，再计算票价；（2），，，，五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，进行推理即可得出答案；（3）可以设，两市相距千米，根据题目的叙述用表示出的长，即可求得．【解答】解：（1）如图81 从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有种不同的票价，故答案为：6；（2）比了5场，与，，，，比过；比了4场，与，，，比过；比了3场，与，，比过；比了3场，与，比过；只比了1场，与比过；与，，比过，队比赛了3场，故答案为：3；（3）如图设，两市相距千米，，，，，列以下方程：，解得．答：，两市相距600千米．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及直线、射线、线段，解答（1）题的关键是需要掌握正确数线段的方法；能够正确利用表示出的长度是解答（3）题的关键．【变式12-1】（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ）81 A．15秒B．25秒C．15秒或25秒D．15秒或20秒【答案】D【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设运动的时间为t秒，P、Q相遇前，依题意有，解得；P、Q相遇后，依题意有，解得．故运动的时间为15秒或20秒．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元一次方程是解题的关键．【变式12-2】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）数轴上A，B两点表示的数分别为，2，C是射线上的一个动点，以C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处．  （1）当点C是线段的中点时，线段．（2）若，则点C表示的数是．【答案】3或【分析】（1）本题根据A，B两点表示的数得出，再利用中点的特点即可求解．（2）本题设，则，根据C是射线上的一个动点，分类讨论当点C在A81 的左边时和当点C在A的右边时，的长为多少，在利用折叠的性质，建立等式，即可解题．【详解】（1）解：数轴上A，B两点表示的数分别为，2，，点C是线段的中点，．（2）解：，设，则，且由折叠的性质可知，下面分类讨论：当点C在A的左边时，有，则，解得，点C表示的数是，当点C在A的右边时，有，则，解得，点C表示的数是，故答案为：或．【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离、中点的特点，折叠的性质、一元一次方程的运用，解题的关键在于利用折叠的性质建立等式．【变式12-3】（23-24七年级上·吉林·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧的一点，且与点的距离是14个单位长度．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数为_________，点表示的数为__________（用含的代数式表示）；(2)若点在数轴上，且与点的距离是4个单位长度，则点表示的有理数是__________；(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，求：①当为何值时，点与点重合？②直接写出运动多少秒时，点与点之间的距离为3个单位长度？【答案】(1)；(2)或(3)①2；②当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度．81 【分析】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，解绝对值方程，一元一次方程的应用，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键．（1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是；（2）分点D在点B左边和右边两种情况，利用数轴上两点距离计算公式求解即可；（3）①由题意可得点Q表示的数为，点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得．②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则，根据数轴上两点距离计算公式得到，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为8，∴，∵A，B两点间的距离为14，∴，∴，∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为；∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P运动t秒的路程为，∴点P所表示的数为：；故答案为：；；（2）解：点在数轴上，且与点的距离是4个单位长度，∴当点D在点B右边时，点D表示的数为，当点D在点B左边时，点D表示的数为，∴点D表示的数为或；故答案为：或；（3）解：①∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动t秒时，点Q表示的数为：．当点P与点Q相遇，点P与点Q表示的数相同，则，解得：，∴当点P运动2秒时，点P与点Q相遇；81 ②当点P与点Q间的距离为3个单位长度时，则，∴，∴，∴或，解得：或，∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度．【变式12-4】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．  (1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)①；②存在，【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c；（2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x；（3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；81 （2）解：∵点A表示的数是1，B表示的数是，C表示的数是，点D表示的数是，∴A、D间距离是，B、C间距离是，∵当A、D间距离是B、C间距离的5倍，∴，∴，当时，，当时，，综上：或；（3）解：①当运动时间为t秒时，点A表示的数是，点B表示的数是，∴点A、B间的距离，点A、C间的距离，当点A到点B、点C的距离之和是40时，，∴；②∵，，∴，∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变，∴，∴，∴存在符合条件的k，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，整式的加减，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值．81