人教版八年级数学上册期末复习考题猜想 期末解答题压轴题—坐标系中几何模型（5种必考题型）

期末解答题压轴题—坐标系中几何模型（考题猜想，5种必考题型）73题型一：三垂直模型（共7题）1．（2024春•仓山区校级月考）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，．（1）若的面积为16，在线段上存在点；①如图1，填空：的面积为　　，点的坐标为　　；②如图2，点在轴负半轴上，连接，，若，求点的坐标；（2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证：．73 2．（2023秋•武昌区期末）如图，在△中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方．（1）如图1，求证：平分；（2）如图2，连接，求证：；（3）直接写出点的坐标　　（用含的式子表示）．73 3．（2023秋•东莞市校级期末）【积累经验】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，于点，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．萌萌发现只需证明△　　△　　即可；【类比应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，在中，，，已知点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；【拓展提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，分别以，为边在第一，第二象限中分别作等腰直角，等腰直角，，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．73 4．（2023秋•东莞市期末）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形，交轴于点，斜边交轴于点．问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标．变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点．拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以，为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度．73 5．（2023秋•赤壁市期末）如图1，在平面直角坐标系中，在轴上有两点、，在轴负半轴上有一点，，，以为顶点作等腰直角，点在第三象限，，．（1）填空：点的坐标为：　　；点的纵坐标为：　　；（2）如图2，连接，，求的度数；（3）如图3，过点作于点，交于点，点在上且，连接．①求证：；②直接写出线段、、之间的数量关系为：　　．73 6．（2023秋•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数．（1）直接写出，两点的坐标：　　，　　，　　，　　．（2）如图1，点为线段上一点（点不与、重合）且满足：，连，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：．（3）如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．73 7．（2023秋•海南期末）在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的动点，连接作等腰直角三角形且．（1）当点在轴负半轴上时，①如图1，若，则　　度；②如图2，交轴于点，轴与交于点，若，求证：平分；（2）如图3，当点在轴正半轴上且时，若，取点，连接，交轴于点．当点运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．73 题型二：截长补短模型（共3题）1．（2024秋•凉州区校级期中）如图，点，，满足．（1）直接写出的面积为　　．（2）如图1，点在线段上（不与、重合）移动，，且，求的度数．（3）如图2，，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，，，使，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明．73 2．（2022秋•江岸区期末）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直轴于点，轴于点．（1）求证：；（2）如图2，连接，交于点，若，求点的坐标；（3）如图3，点是第一象限内一动点，点是轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．73 3．（2022秋•嘉禾县期末）如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．（1）求证：；（2）如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；（3）在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．73 题型三：手拉手旋转模型（共5题）1．（2023春•九龙坡区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，，点是轴上的一动点（点不与、重合），，，连接．（1）如图1，直接写出点，的坐标；（2）如图2，当点在边上时，求证：①，②；（3）当时，求点的坐标．73 2．（2023秋•朝天区期末）已知点在轴正半轴上，以为边作等边，，其中是方程的解．（1）点的坐标为　　；（2）如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求的度数；（3）如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．73 3．（2022秋•霞山区校级期末）已知，，点在边上，点是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点、在的同侧），作于点．（1）如图1，．①依题意补全图形；②求的度数；（2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．73 4．（2023秋•丹江口市期末）如图①，平面直角坐标系中，已知，，且，满足．（1）填空：　　，　　，　　；（2）如图②，是轴正半轴上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转至，问点是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由；（3）如图③，当点与点关于轴对称时，在直线上的一点满足，请判断线段与的数量关系，并说明理由．73 5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，在平面直角坐标系中，，为轴上两点，且，满足：，点，，为线段上一动点．（1）则　　，　　；（2）如图1，若点在的垂直平分线上，作，交的延长线于点，连接，求证：轴；（3）如图2，作点关于的对称点，连接，取中点．连接，，判断与的数量关系，并说明理由．73 题型四：夹半角与三垂直、手拉手（共2题）1．（2024秋•肇庆期中）如图：已知、，且、满足．（1）如图1，求△的面积；（2）如图2，点在线段上（不与、重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，直线交轴于点，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．73 2．（2023秋•荔湾区期末）如图，点，，且，满足．（1）如图1，求的面积；（2）如图2，点在线段上（不与、重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点为轴正半轴上异于原点和点的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，直线交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值．73 题型五：对角互补与婆罗摩笈多模型（共2题）1．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点，分别在轴和轴上，且，．（1）如图1，若点的坐标，点的坐标，求点的坐标；（2）过点作，交轴于点，是边上一点，过作交射线于点．①如图2，若点与点重合．求证：；②如图3，过点作线段且，取的中点，交于点，设，，求的长（用含，的式子表示）．73 2．（2023秋•青山区期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴和轴上，且，．（1）如图1，若点的坐标，点的坐标，求点的坐标；（2）过点作，交轴于点，是边上一点，过作交射线于点．①如图2，若点与点重合．求证：；②如图3，过点作线段且，取的中点，交于点，设，，直接写出的面积（用含，的式子表示）．73 期末解答题压轴题—坐标系中几何模型（考题猜想，5种必考题型）73题型一：三垂直模型（共7题）1．（2024春•仓山区校级月考）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，．（1）若的面积为16，在线段上存在点；①如图1，填空：的面积为　　，点的坐标为　　；②如图2，点在轴负半轴上，连接，，若，求点的坐标；（2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证：．73 【分析】（1）①过点作于点，轴于点，求出，证明，得出，则可得出答案；②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，得出，，则可得出答案；（2）在上取点，，证明得出，则可得出结论．【解答】（1）解：①过点作于点，轴于点，点，点均在坐标轴上，，，的面积为16，，则．，，，，又，，，，点，点，，故答案为：8；；②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点，73 点，，又，，，，，；（2）证明：，，，又，，是等边三角形，如图所示，在上取点，，，则是等边三角形，73 ，，，在和中，，，．【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定与的质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题．2．（2023秋•武昌区期末）如图，在△中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方．（1）如图1，求证：平分；（2）如图2，连接，求证：；（3）直接写出点的坐标　　（用含的式子表示）．73 【分析】（1）根据三角形外角的性质和平角的定义可得出即可；（2）作于，轴于，作轴于，交于点，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，由（1）得，得出，根据证明△△得，进一步可得出结论；（3）作轴于，轴于，过作于，证明△△，得，再根据，求出，即可表示出点的坐标．【解答】（1）证明：设，则．在△中，，，平分；（2）作于，轴于，作轴于，交于点，，，平分，，轴，，73 又，，，△△，，，，垂直平分，；（3）作轴于，轴于，过作于，，，，，．，，，，，△△，．，．，73 ，，故答案为：．【点评】本题主要考查了坐标与图形，三角形外角性质，角平分线性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质图形的面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．3．（2023秋•东莞市校级期末）【积累经验】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，于点，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．萌萌发现只需证明△　　△　　即可；【类比应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，在中，，，已知点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；【拓展提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，分别以，为边在第一，第二象限中分别作等腰直角，等腰直角，，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明；（2）过点作轴于点，根据（1）的结论求出、，进而求出点的坐标；（3）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1），，，73 ，，在和中，，，故答案为：，；（2）如图2，过点作轴于点，，，，，由（1）可知：，，，，点的坐标为；（3）的长度不发生改变．理由如下：如图3，过点作轴于点，，，由（1）可知：，，，，，在和中，，，．73 【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．4．（2023秋•东莞市期末）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形，交轴于点，斜边交轴于点．问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标．变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点．拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以，为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度．73 【分析】（1）由“”可证，可得，，可求解；（2）由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，可得结论；（3）由“”可证，可得，．由“”可证，可得．【解答】（1）解：如图1，过点作轴于点，点的坐标为，，，，轴于点，，，，，，在和中，73 ，，，，，点的坐标为；（2）证明：是等腰直角三角形，，将沿着折叠，，，，，，又，，，，点是的中点；（3）解：的长度不会改变，理由如下：过点作轴于点．，．，73 ．，，，，．，．，，，．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（2023秋•赤壁市期末）如图1，在平面直角坐标系中，在轴上有两点、，在轴负半轴上有一点，，，以为顶点作等腰直角，点在第三象限，，．（1）填空：点的坐标为：　　；点的纵坐标为：　　；（2）如图2，连接，，求的度数；（3）如图3，过点作于点，交于点，点在上且，连接．①求证：；②直接写出线段、、之间的数量关系为：　　．【分析】（1）作轴于点，求得，进而证明，而，所以，则，所以，由，得点的纵坐标为，于是得到问题的答案；（2）作轴于点，由，得，则，则，由，，得73 ，则；（3）①由，，证明是等边三角形，则，，所以，，而，，所以，即可根据“”证明；②由（2）得，，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案．【解答】解：（1）如图1，作轴于点，则，，，在和中，，，，，，，，，，，点的纵坐标为，故答案为：，．（2）如图2，作轴于点，，，，由（1）得，，73 ，，，，，的度数是．（3）①证明：如图3，，，是等边三角形，，，，，，，于点，，，，在和中，，．②由（2）得，，，，，，故答案为：．73 【点评】此题重点考查图形与坐标、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．6．（2023秋•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数．（1）直接写出，两点的坐标：　　，　　，　　，　　．（2）如图1，点为线段上一点（点不与、重合）且满足：，连，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：．（3）如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．【分析】（1）根据整式的运算求出，的值即可得解；（2）如图1，在上取一点，使，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质与判定求出，，、、三点共线，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再利用证明，则，结合直角三角形的性质及平角定义求出，根据垂直的定义即可得解；（3）在上取，连接并延长交轴于点，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质及角的和差求出，，，，利用证明73 ，根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差求出，再根据含角的直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）解：，，，，是多项式中一次项的系数，，，故答案为：4，0；0，4；（2）证明：如图1，在上取一点，使，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，则是等腰直角三角形，，，，，同理，，、、三点共线，由（1）得，，73 又，，在和中，，，，在和中，，，，，，，；（3）解：，理由如下：如图2，在上取，连接并延长交轴于点，在等边中，，，，73 ，，，，，，在等腰直角中，，，，，在和中，，，，，，，在△中，，，，．【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据含角的直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．7．（2023秋•海南期末）在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的动点，连接作等腰直角三角形且．（1）当点在轴负半轴上时，①如图1，若，则　　度；73 ②如图2，交轴于点，轴与交于点，若，求证：平分；（2）如图3，当点在轴正半轴上且时，若，取点，连接，交轴于点．当点运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【分析】（1）根据同角的余角相等即可解决问题；（2）如图2中，证明，可得垂直平分，利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）如图3中，过点作轴于点，证明，可得，，然后证明，即可解决问题．【解答】（1）解：，，，．故答案为：20；（2）证明：如图2，，，，，，在和中，，，，，73 ，，，垂直平分，，平分；（3）解：的长度不变，，理由如下：如图3，过点作轴于点，，，，，，，，，，，，，，，，73 ，，．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．题型二：截长补短模型（共3题）1．（2024秋•凉州区校级期中）如图，点，，满足．（1）直接写出的面积为　　．（2）如图1，点在线段上（不与、重合）移动，，且，求的度数．（3）如图2，，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，，，使，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明．【分析】（1）根据非负数的性质得出，，可得，即可得出答案；（2）延长至，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出结论．【解答】解：（1），，，，，73 点的坐标为，点的坐标为，，的面积，故答案为：2；（2）．理由如下：如图1，延长至，使得，连接，，，在和中，，，，，，，在和中，，，73 ，又，，；（3）①如图2，当在，之间时，过点作，交轴于点，连接，，，，，，轴，轴，，，四边形是矩形，，矩形是正方形，，，，，，，，在与中，73 ，，，，，，在和中，，，，即；②如图3，当在左侧时，同理可证，，同理可证，，．综上所述，线段，，之间的数量关系是或．73 【点评】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2022秋•江岸区期末）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直轴于点，轴于点．（1）求证：；（2）如图2，连接，交于点，若，求点的坐标；（3）如图3，点是第一象限内一动点，点是轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论；（2）证出，作交于点，由（1）可知，，得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；（3）延长至，使，连接，并延长，交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论．【解答】（1）证明：，，，，，，，，；（2）解：，73 ，，，，作交于点，轴，，，由（1）可知，，，，，，，，，；（3）证明：延长至，使，连接，并延长，交于点，，，，73 ，，，则，，，，，，，，，，，，即的大小为定值．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．3．（2022秋•嘉禾县期末）如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．（1）求证：；（2）如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；（3）在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【分析】（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论；（2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出73 ，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；（3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论．【解答】解：（1）平分，，在和中，，，；（2）如图2，过点作于，平分，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，73 ，，，，，；（3）；证明：如图3，在的延长线上取一点，使，平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，．73 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．题型三：手拉手旋转模型（共5题）1．（2023春•九龙坡区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，，点是轴上的一动点（点不与、重合），，，连接．（1）如图1，直接写出点，的坐标；（2）如图2，当点在边上时，求证：①，②；（3）当时，求点的坐标．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出，则可得出答案；（2）①证明，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；②全等三角形的性质得出，则可得出结论；73 （3）当点在线段上时，求出，则可得出答案；当点在线段的延长线上时，同理可求出，则可得出答案．【解答】（1）解：，，，，，，，；（2）①证明：和是等腰直角三角形，，，，，即．在和中，，，，；②，，，，，，；（3）当点在线段上，在轴右侧时，，，，由（2）可知，，73 ；当点在线段上，在轴左侧时，同理可得；当点在线段的延长线上，在轴上方时，由（2）可知，同理可得，，，，当点在线段的延长线上，在轴下方时，同理可得；综上所述，点的坐标为或或或．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（2023秋•朝天区期末）已知点在轴正半轴上，以为边作等边，，其中是方程的解．（1）点的坐标为　　；（2）如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求的度数；（3）如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．73 【分析】（1）解分式方程可得：，即可得出；（2）由等边三角形性质，利用证明，运用全等三角形性质即可求得答案；（3）先证明，得出：，，进而得出，故的值是定值．【解答】解：（1），，解得：，经检验，是原方程的解，，故答案为：；（2）如图1，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，；73 （3）的值是定值，理由如下：，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，的值是定值．73 【点评】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．3．（2022秋•霞山区校级期末）已知，，点在边上，点是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点、在的同侧），作于点．（1）如图1，．①依题意补全图形；②求的度数；（2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意，即可画出图形；②根据，可得答案；（2）连接，，利用可证明，得，，再通过导角发现，从而解决问题．【解答】解：（1）①如图所示，即为所求；②是等边三角形，，73 ，，；（2），证明如下：如图，连接，，由（2）可知，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，在中，，73 ．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．4．（2023秋•丹江口市期末）如图①，平面直角坐标系中，已知，，且，满足．（1）填空：　　，　　，　　；（2）如图②，是轴正半轴上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转至，问点是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由；（3）如图③，当点与点关于轴对称时，在直线上的一点满足，请判断线段与的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用非负数的性质即可得到，的值，进而得出的形状为等腰直角三角形，由此可得的度数；（2）过点作轴于点，判定△△，即可得到6，进而得出当点在正半轴上运动时，点到轴的距离均为6，即点在直线6上运动；（3）过点作轴于点，交于点，判定△△，即可得到，进而得出，由此可得2．【解答】解：（1），满足，，，，解得，，，，73 ，又，是等腰直角三角形，，故答案为：，6，；（2）点在6的直线上运动．理由如下：如图②，过点作轴于点，则，又，，，在△和△中，，△△，6，即当点在正半轴上运动时，点到轴的距离均为6，点在直线6上运动；（3）．理由如下：如图③，过点作轴于点，交于点，则轴，，73 ，，，，点与点关于轴对称，，，，，在△和△中，，△△，，，，2．【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，在平面直角坐标系中，，为轴上两点，且，满足：，点，，为线段上一动点．（1）则　　，　　；（2）如图1，若点在的垂直平分线上，作，交的延长线于点，连接，求证：轴；（3）如图2，作点关于的对称点，连接，取中点．连接，，判断与的数量关系，并说明理由．73 【分析】（1）利用非负数的性质，即可得到，的值；（2）利用垂直平分线的性质，即可得到的度数，进而得出与轴的位置关系；（3）连接并延长至，使得，连接，，构造两对全等三角形，利用全等三角形的性质，即可得到与的数量关系．【解答】（1）解：，满足：，即，，，，，故答案为：，3；（2）证明：如图1，连接，点在的垂直平分线上，，即是等腰三角形，，，，又，垂直平分，，，，，，，即，又，垂直平分，，73 ，，轴；（3）解：与的数量关系为．理由：如图2，连接，，点关于的对称点为，，，，是等边三角形，，如图2，连接并延长至，使得，连接，，则，点是的中点，，，，，，，，又，，又，，，，，又是的中点，，，，73 ，中，．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了非负数的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的综合运用．作辅助线构造全等三角形，并熟练运用全等三角形的性质是解题的关键．题型四：夹半角与三垂直、手拉手（共2题）1．（2024秋•肇庆期中）如图：已知、，且、满足．（1）如图1，求△的面积；（2）如图2，点在线段上（不与、重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，直线交轴于点，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．【分析】（1）根据非负数的性质得到，，求得，，得到，，于是得到结果；（2）证明：将△绕点逆时针旋转得到△根据已知条件得到，由，，同时代的，求出，推出△△，根据全等三角形的性质得到；（3）是定值，作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出△，根据全等三角形的性质得到，于是得到．即：，根据等腰直角三角形的性质得到结论．73 【解答】（1）解：，，，，，、，，，△的面积；（2）证明：将△绕点逆时针旋转得到△，，，，，，，，在△与△中，，：△△，，，故．（3）是定值，作于，在上截取，，，，，，在△与△中，，△，73 ，，即：，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2023秋•荔湾区期末）如图，点，，且，满足．（1）如图1，求的面积；（2）如图2，点在线段上（不与、重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点为轴正半轴上异于原点和点的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，直线交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值．73 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果；（2）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出，根据全等三角形的性质得到；（3）作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，得到．即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论．【解答】解：（1），，，，，、，，，的面积；（2），证明如下：如图2，将绕点逆时针旋转得到，，，，即，，共线，，，，，在与中，，73 ，，，；（3）是定值，理由如下：作于，在上截取，如图将线段绕点顺时针旋转至，，，，，在与中，，，，，即，，，，．线段为定值6．73 【点评】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．题型五：对角互补与婆罗摩笈多模型（共2题）1．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点，分别在轴和轴上，且，．（1）如图1，若点的坐标，点的坐标，求点的坐标；（2）过点作，交轴于点，是边上一点，过作交射线于点．①如图2，若点与点重合．求证：；②如图3，过点作线段且，取的中点，交于点，设，，求的长（用含，的式子表示）．【分析】（1）过点作轴于，则，可证得：△△，即可求得答案；（2）①过点作交射线于，可证得△△，即可得出；②过点作交的延长线于，过点作于，于，设交于，可证得△△，△△，△△，可推出，进而得解．73 【解答】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，，，如图1，过点作轴于，则，，，在△和△中，，△△，，，，；（2）①证明：过点作交射线于，如图2，，，，73 ，，，，，，在△和△中，，△△，；②解：如图3，过点作交的延长线于，过点作于，于，设交于，则，，，点是的中点，，在△和△中，，△△，，，73 ，，，，，，，，，，，在△和△中，，△△，，且，，，，在△和△中，，△△，．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．（2023秋•青山区期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴和轴上，且，．（1）如图1，若点的坐标，点的坐标，求点的坐标；73 （2）过点作，交轴于点，是边上一点，过作交射线于点．①如图2，若点与点重合．求证：；②如图3，过点作线段且，取的中点，交于点，设，，直接写出的面积（用含，的式子表示）．【分析】（1）过点作轴于，则，可证得：，即可求得答案；（2）①过点作交射线于，可证得，即可得出；②过点作交的延长线于，过点作于，于，设交于，可证得，，，可推出．【解答】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，，，如图1，过点作轴于，则，，，73 在和中，，，，，，；（2）①证明：过点作交射线于，如图2，，，，，，，，，，在和中，，，；②解：如图3，过点作交的延长线于，过点作于，于，设73 交于，则，，，点是的中点，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，73 ，，且，，，，在和中，，，，，，，，，，，．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．73