沪科版八年级数学上册期末复习考题猜想 专题04 全等三角形综合问题（易错必刷22题6种题型）

专题04全等三角形综合问题（易错必刷22题6种题型专项训练）目录【题型一】三角形全等之三垂直模型（共3题）1【题型二】三角形全等之一线三等角模型（共5题）7【题型三】三角形全等之手拉手模型（共3题）18【题型四】三角形全等之倍长中线模型（共4题）24【题型五】三角形全等之截长补短模型（共3题）35【题型六】三角形全等之新定义型综合问题（共4题）456767【题型一】三角形全等之三垂直模型（共3题）1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE，AD，的关系；(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．2．（19-20七年级下·广东深圳·期末）直角三角形中，，直线过点．67 (1)当时，如图，分别过点作于点，于点．求证：．(2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，CF，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．　　　　，当在路径上时，　　　　．（用含的代数式表示）直接写出当与全等时的值．3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若67 ，请直接写出的值．【题型二】三角形全等之一线三等角模型（共5题）4．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：．【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积．5．（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D．可知：（不需要证明）；(1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：；67 (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：；(3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为．（直接写出结果）6．（23-24七年级下·全国·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和．7．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点．独立思考：（1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：（2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足67 时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系．8．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图：(1)如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：；(2)如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线AD上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；(3)如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．【题型三】三角形全等之手拉手模型（共3题）9．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是．67 (1)观察猜想若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______；(2)类比探究若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______；(3)拓展应用如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______．10．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：(1)观察猜想如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为，位置关系为；(2)类比探究如图，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，，点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；(3)解决问题运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为米．11．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践问题情境：在和中，，，在内部，连接，延长交于点F67 ，交于点G，设．特例思考：（1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系；一般猜想：（2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数；深度探究：（3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示）【题型四】三角形全等之倍长中线模型（共4题）12．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．13．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；67 （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．14．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．  【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________．【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．15．（22-23七年级下·四川达州·期末）（1）阅读理解：67   如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　　；则中线的取值范围是　　；（2）问题解决：如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系【题型五】三角形全等之截长补短模型（共3题）16．（23-24八年级上·福建南平期末）【问题背景】如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____．【探索延伸】如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．67 17．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．  (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________；(2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．18．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动．67 【初步探索】（1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________；【灵活运用】（2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；【延伸拓展】（3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由．【题型六】三角形全等之新定义型综合问题（共4题）19.（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；(3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点67 F，连接，，且，求证：．20.（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形．【初步认识】（1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____；【继续探索】（2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：；（1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且．（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）21.（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．【综合应用】（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．67 22.（23-24八年级下·重庆江津·期末）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．  (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；①如图（2），当时，求证：；②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．67 专题04全等三角形综合问题（易错必刷22题6种题型专项训练）目录【题型一】三角形全等之三垂直模型（共3题）1【题型二】三角形全等之一线三等角模型（共5题）7【题型三】三角形全等之手拉手模型（共3题）18【题型四】三角形全等之倍长中线模型（共4题）24【题型五】三角形全等之截长补短模型（共3题）35【题型六】三角形全等之新定义型综合问题（共4题）456767【题型一】三角形全等之三垂直模型（共3题）1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE，AD，的关系；(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．【答案】(1)，证明见解析(2)不成立，，理由见解析【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段和差关系，（1）根据题意利用证明，则有，，结合67 即可证明结论；（2）根据题意利用证明，则有，，结合即可证明结论．【详解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，，∴，在与中，∵，∴；∴，，∵，∴；（2）解：∵于D，于E．∴，∴，．∴．在和中，∵，∴．∴，．∴．2．（19-20七年级下·广东深圳·期末）直角三角形中，，直线过点．67 (1)当时，如图，分别过点作于点，于点．求证：．(2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，CF，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．　　　　，当在路径上时，　　　　．（用含的代数式表示）直接写出当与全等时的值．【答案】(1)证明见解析(2)，；秒或秒或秒．【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】（）根据垂直的定义得，再由同角的余角相等得，最后利用定理证明；（）由折叠的性质和线段和差可得出答案；分当点沿路径运动时，当点沿路径运动时，当点沿路径运动时，当点沿路径运动时四种情况分析即可；本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，线段和差，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．【详解】（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，67 在和中，，∴；（2）由题意得，，，则，由折叠的性质可知，，∴，故答案为：，；由折叠的性质可知，，∵，，∴，∴当时，与全等，当点沿路径运动时，，解得：（不合题意），当点沿路径运动时，，则，解得：，当点沿路径运动时，由题意得，，解得：，当点沿路径运动时，由题意得，，解得：，综上所述，当秒或秒或秒，与全等．3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：67 (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)9【知识点】线段中点的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）利用证得，即可求证结论；（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；【详解】（1）证明：，67 ，，，，在和中，，，；（2）证明：过作于，如图：由（1）得：，，，，在和中，，，，，67 ，，，，，是的中点；（3）解：，理由如下：过点作于，如图：由（2）得：，，，，，，，，，．即．【题型二】三角形全等之一线三等角模型（共5题）4．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：．67 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；【知识点】全等三角形综合问题【分析】（1）证明，即可得证；（2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可；（3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：（1）证明：，，，，，，，在和中，67 ，．（2）由模型呈现可知，，，，，，，则．（3）①过点作于，过点作交的延长线于．图3由【模型呈现】可知，，，，，，，在和中，，．②由①可知，，，，67 ，，，由①得，，，，．5．（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D．可知：（不需要证明）；(1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：；(2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：；(3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为．（直接写出结果）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）67 【分析】（1）先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，证明，即可作答．（2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出，证明，即可作答．（3）这运用等高算面积，则底的比就是它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答．本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）证明：如图：∵，∴∵∴∴，在和中，，∴；（2）证明：如图：67 易得，∵∴∴，在和中，，∴；（3）解：如图：∵的面积为24，，且分别以为底来运算面积∴此时它们的高是相等的，即的面积是：，由（2）可知，，∴与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积是8，答案为：8．6．（23-24七年级下·全国·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和．67 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）6【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证明，则，，；（2）同理（1）证明即可；（3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可．【详解】（1）证明：直线，直线，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（2）解：结论成立；理由如下：∵，∴，即，∵，∴，∴，，67 ∴，∴；（3）解：同理（2）可得，，∴，设的底边上的高为，则的底边上的高为，∴，，，∴，∴，∴与的面积之和为6．7．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点．独立思考：（1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：（2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系．67 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为【知识点】全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）根据三角形外角的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解；（2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可；（3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可．【详解】解：（1），理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）结论不成立，，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，67 ∴，∴；（3）结论不成立，，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．8．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图：(1)如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：；(2)如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线AD上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；(3)如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)与的面积之和等于【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质、垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用【分析】（1）由同角的余角相等证，进而即可证明（）；67 （2）根据三角形的外角性质证，，进而即可证明（）；（3）过点作于，由，得，进而得，由（）知，，则，从而即可得解．【详解】（1）证明：∵，，，∴，，∴，∴，在和中，，∴（）；（2）证明：∵，，∴，同理：，在和中，，∴（）；（3）解：如图，过点作于，∵，∴，67 ∵，，∴由（）知，，∴，∴，即：与的面积之和等于．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，同角的余角相等，垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．【题型三】三角形全等之手拉手模型（共3题）9．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是．(1)观察猜想若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______；(2)类比探究若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______；(3)拓展应用如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______．【答案】(1)理由见解析；60(2)；90(3)【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）67 【分析】（1）证明，，，根据三角形内角和，即可求解，（2）证明，，，根据三角形内角和，即可求解，（3）由，，得到，整理代入厚即可求解，本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【详解】（1）解：长BD和CE交于点P，∵，   即，在和中，，，，∴，∴，，∴故答案为：60；（2）解：∵，   即，在和中，，，，∴，∴，，∴故答案为：；90，（3）解：∵，，67 ∴，故答案为：8．10．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：(1)观察猜想如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为，位置关系为；(2)类比探究如图，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，，点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；(3)解决问题运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为米．【答案】(1)；；(2)，理由见解析；(3)米．【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得；（）先证，再证，最后通过线段和差即可得证；（）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则67 为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可；本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形,∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，设与交于点，与交于点，∵，∴，∴；故答案为：，；（2），理由如下：∵和均为等腰直角三角形，∴，，∵∴，∴，67 在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵为等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴；（3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形，同（）同理可证：，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴（米），67 ∴米，故答案为：．11．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践问题情境：在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设．特例思考：（1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系；一般猜想：（2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数；深度探究：（3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示）【答案】（1）；（2）；（3）．【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形全等：（1）证明，即可得出结果；（2）同法（1）即可得出结果；（3）同法（1）得到，进而得到，再证明，得到，，进而得到，再利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：（1）因为，所以．又因为，，67 所以所以．又因为，所以．所以．（2）同（1）可得：，∴，∵，∴．（3）由（2），知．同理（1），得．所以．又因为，，所以．所以，．所以．所以．【题型四】三角形全等之倍长中线模型（共4题）12．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．【理解与运用】67 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．（1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证；（2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案；（3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证．【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：延长至点，使，连接，如图所示：67 ∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，设，在中，由三边关系可得，即，∴；（3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∴，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵，67 ∴，在和中，，∴，∴．13．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，67 ∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2），理由如下：延长至点M，使，连接，如图②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三边关系得：，67 ∴；（3），理由如下：如图③，延长交于点G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分线，∴∴，∴，∵，∴．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．14．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．67   【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________．【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论；（2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论．（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论．【详解】解：如图1，延长到点，使，67   ∵是的中点，，，，，在中，，，；（2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．  ∵是边上的中线，∴，在和中，，，∴，67 ∴，，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：；理由如下：如图，延长，使，连接，  ∵为边上的中线，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，67 ∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．15．（22-23七年级下·四川达州·期末）（1）阅读理解：  如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　　；则中线的取值范围是　　；（2）问题解决：如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系【答案】（1）；（2），见解析；（3）【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得67 ，再由三角形三角关系可得，；（2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即；（3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出．【详解】解：（1）延长到点使，再连接，，，，，，在中，，，，，故答案为：，；（2）延长至，使，连接，  ，，，，，连接，，，是等腰三角形，，在中，，即；（3）延长至使，连接，67   ，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．【题型五】三角形全等之截长补短模型（共3题）16．（23-24八年级上·福建南平期末）【问题背景】如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____．【探索延伸】如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．67 【答案】【问题背景】；【探索延伸】仍然成立，理由见解析【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．问题背景：先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到；探索延伸：结论仍然成立，证明方法与（1）相同．【详解】问题背景：，证明如下：如下图，延长到点，使得，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，67 在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案为：；探索延伸：结论仍然成立，理由如下：如下图，延长到点，使得，连接，  ∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，67 ∴，∴，∵，∴．17．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．  (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________；(2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析(3)结论不成立，应当是，理由见解析【知识点】全等三角形综合问题【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．（1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．67 （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，  ，，．．．．又，，，．．故答案为：；（2）解：（1）中的结论仍然成立．证明：如图中，延长至M，使，连接．  ，，，在与中，67 ，．．，．，即．在与中，，．，即，．（3）解：结论不成立，应当是．证明：如图中，在上截取，使，连接．  ，，．在与中，67 ．．．．，∴．，，．18．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动．【初步探索】（1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________；【灵活运用】（2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；【延伸拓展】（3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）（2）成立，理由见解析67 （3），证明见解析【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明；（2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明；（3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解．【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则，，，，，在和中，，，，在和中，67 ，，，，，故答案为：；（2）成立，理由：如图，延长到点，使，连接，则，，，，，在和中，，，，在和中，，67 ，，，；（3），证明：如图，延长到点，使，连接，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，67 ，，．【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键．【题型六】三角形全等之新定义型综合问题（共4题）19.（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；(3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：．【答案】(1)(2)或(3)见解析【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；67 （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论．【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况①如图，是的“边垂角”，，，，，  ②如图，是的“边垂角”，，，，，  综上所述，与的数量关系是或；（3）解：延长交于点，是的“边垂角”，∴，，，67 ，，，，，，，，，，点关于直线对称点为点，，，；20.（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形．【初步认识】（1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____；【继续探索】（2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：；（1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且．（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）67 【答案】（1）135；（2）证明见解析；（3）见解析【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算【分析】（1）由题意得出，再由计算即可得出答案；（2）设，由角平分线的定义得出，，求出，在计算出，得出，即可得证；（3）根据等角四边形的定义作图即可．【详解】（1）解：∵四边形是等角四边形，，，∴，∴；（2）证明：∵四边形是等角四边形，∴，设，∵在四边形中，，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵在中，，∴，∴，∴；（3）解：如图，连接，作，作射线，作，，、交于点，点即为所求，67 ，∵，，，∴，∵，，∴，∴四边形是等角四边形，∴点即为所求．【点睛】本题考查了角平分线的定义、作图—设计与应用作图、三角形内角和定理、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．21.（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．【综合应用】（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．67 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积、确定第三边的取值范围【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；（2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）过过点作于点，先证明则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可.【详解】（1）解：过点作于，与是积等三角形，，，，；（2）解：如图2，延长至，使，连接，与为积等三角形，在和中，67 ，在中为正整数，；（3）是积等三角形证明：如图3，过点作于点，    在和中，，67 与为积等三角形．22.（23-24八年级下·重庆江津·期末）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．  (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；①如图（2），当时，求证：；②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析(2)变化，最大值为1867 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的分类【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论；②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论；（2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论．【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形，，，，，，．在和中，，．，．②．理由如下：如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．    ．67 四边形，四边形均为正方形，，，，．．在和中，，，．，，，；（2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下：由（1）得，是面积的三倍，要使最大，只需的面积最大，当是直角三角形，即时，有最大值．此时，．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．67