北师版八年级数学上册期末复习考点 清单02 实数（14个考点梳理 题型解读 提升训练）

清单02实数（14个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义　如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.43 3.平方根的性质4.平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【清单02】无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【清单03】立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.2.立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.3.立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.4.立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.43 【清单04】实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应3.实数运算（1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。（2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。【清单05】二次根式1.二次根式的概念一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式有无意义的条件条件字母表示二次根式有意义被开方数为非负数二次根式无意义被开方数为负数43 3.二次根式的性质(1)有最小值，为0(2)【清单06】二次根式的乘除法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1）（2），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。3.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广4.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）5.二次根式的除法法则的推广【清单07】最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式43 2.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【清单08】同类二次根式1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如【清单09】二次根式的加减1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。2.二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。【清单10】二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【考点题型一】平方根与算术平方根【典例1】实数16的平方根是（    ）A．8B．±8C．4D．±4【变式1-1】9的算术平方根是（    ）A．±9B．9C．±3D．3【变式1-2】若2m−4与3m−1是同一个数的平方根，则m的值是（　　）A．−3B．−1C．1D．−3或1【变式1-3】下列各式中，正确的是（    ）A．−32=−3B．−32=−3C．−32=±3D．33=±343 【变式1-4】81的平方根是（　　）A．±3B．3C．±9D．9【考点题型二】非负数的性质:算术平方根【典例2】已知x−1+y+2=0，那么x+y2024的值为（   ）A．1B．−1C．32024D．−32024【变式2-1】若a−4+|b−9|=0，则ba的平方根是（   ）A．32B．±32C．94D．±94【变式2-2】若y=x−5+5−x+3，则xy=（     ）A．－15B．－9C．9D．15【变式2-3】若2x+1+y−32=0，则x+y=．【考点题型三】立方根【典例3】64的立方根是（  ）A．2B．4C．±2D．±4【变式3-1】一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（    ）A．2倍B．4倍C．6倍D．9倍【变式3-2】已知x的平方根是±8，则x的立方根是．【变式3-3】计算：3−27的结果等于．【考点题型四】平方根与立方根综合【典例4-1】求下列式子中x的值(1)49x2−16=0(2)2x−13=−8【典例4-2】已知6a+3的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求a2+ab的平方根．【变式4-1】求下列各式中的x：(1)9x2−4=0；(2)x+13=−27．43 【变式4-2】一个正数x的平方根是2a−3与5−a，y的立方根是−3，求x+y+3的算术平方根．【变式4-3】已知，2x+y−1的立方根是2，x+y与y−3是某数的两个平方根．(1)求x与y的值；(2)求x+y的算术平方根．【变式4-4】求下列各式中x的值．(1)9x2−4=0；(2)2x+53=−125．【考点题型五】无理数【典例5】在π3，2，3.14，0，52，4−1中，无理数的个数有（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式5-1】下列实数：23、37、0、−π3、0.16·、0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】在−13，π，0.131131113…，3，227，13．中无理数的个数有（　　）A．6个B．5个C．4个D．3个【变式5-3】下列各数：3625，316，0，−20，π2，227，﹣3.14，0.101001000…（每相两个1之间的0的个数依次增加1），无理数有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点题型六】实数的定义和性质【典例6】下列说法正确的是（    ）A．两个无理数的和一定是无理数B．无限小数都是无理数43 C．实数可以用数轴上的点来表示D．分数可能是无理数【变式6-1】实数−32的倒数是（    ）A．32B．23C．−23D．2【变式6-2】下列说法正确的是(   )A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数【变式6-3】实数a的相反数是2023，那么实数a是（    ）A．2023B．−2023C．12023D．20232【变式6-4】−2的绝对值是（    ）A．−2B．22C．2D．−2【变式6-5】已知a满足2024−a+a−2025=a，则a−20242的值为．【考点题型七】实数大小比较【典例7】在数−3、2、0、5中，最大的数是（   ）A．−3B．0C．2D．5【变式7-1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把a,b,−a,−b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ）A．b<−a<−b<aB．−a<−b<a<bC．−b<a<−a<bD．b<−a<a<−b【变式7-2】比较大小：637．【变式7-3】比较大小：2332（请填写“>”、“<”或“=”）．【变式7-4】估计大小关系：7−1256（填>，<或=）．【考点题型八】估算无理数的大小【典例8】估计6的值是在（    ）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【变式8-1】与15最接近的整数是（　　）A．2B．3C．4D．543 【变式8-2】估计14+1的值在（    ）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式8-3】实数7的整数部分是．【考点题型九】实数的运算【典例9】计算4+3−27−32．【变式9-1】计算：327+|2−3|−25×125．【变式9-2】计算：4−2÷12−38+−23×122．【变式9-3】计算：|−2|−16+3−27．【考点题型十】二次根式有意义的条件【典例10】式子x−3有意义，则x的取值范围是（   ）A．x>3B．x≥3C．x<3D．x≤3【变式10-1】若式子x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ）A．x>2B．x≥2C．x<2D．x≤2A．x>4B．x≥−4C．x≥4D．x≠4【变式10-3】若2−x3y有意义，则x、y的取值范围不可能是（）A．x≤0,y≥0B．x>0,y<0C．x<0,y<0D．xy<043 【考点题型十一】二次根式的性质与化简【典例11】将m−1m中根号外的m移到根号里后得到的式子为（    ）A．−−mB．−mC．mD．−m【变式11-1】实数a在数轴上的位置如图所示，则(a−4)2−(a−11)2化简后为（   ）A．2a−15B．−7C．7D．无法确定【变式11-2】已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示：则a2−a+c+(c−b)2−−b=．【变式11-3】实数a、b在数轴上位置如图，化简：|a−b|−a+b2＝．【考点题型十二】最简二次根式和同类二次根式【典例12】下列选项中，最简二次根式是（    ）A．4B．0.8C．5D．13【变式12-1】下列各式中，不能与12合并的是（    ）A．2B．8C．118D．0.2【变式12-2】下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（    ）A．6B．8C．9D．27【变式12-3】已知最简二次根式x−1与二次根式8是同类二次根式，则x=．【考点题型十三】二次根式的混合运算【典例13】计算：(1)8+12−26(2)218×16÷243 【变式13-1】计算：(1)27×53÷15；(2)22−23+24．【变式13-2】计算：(1)27−13+3；(2)416÷22+6×23．【变式13-3】计算：(1)32+45−8+20；(2)26×312÷3；(3)5×15+27÷3−613；(4)(3−1)2+(3+2)(3−2)．【变式13-4】计算：(1)212×34÷52；(2)3−12+2+52−5．【考点题型十四】二次根式化简求值【典例14-1】已知a=7+2,b=7−2，求下列代数式的值(1)a−b；(2)a2−2ab+b2．43 【典例14-2】先化简，再求值xx2y2−xy−yx2−x3y÷3x2y，其中x=2，y=1．【变式14-1】先化简，再求值：3a−1a+1−a+1÷a2−6a+9a+1，其中a=3+3．【变式14-2】已知a=7+2，b=7−2，求下列各式的值．(1)a2−2ab+b2．(2)a2−b2．【变式14-3】先化简，再求值：(a+5)(a−5)−(3−a)2，其中a=23−1．43 清单02实数（14个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义　如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.43 3.平方根的性质4.平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【清单02】无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【清单03】立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.2.立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.3.立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.4.立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.43 【清单04】实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应3.实数运算（1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。（2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。【清单05】二次根式1.二次根式的概念一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式有无意义的条件条件字母表示二次根式有意义被开方数为非负数二次根式无意义被开方数为负数43 3.二次根式的性质(1)有最小值，为0(2)【清单06】二次根式的乘除法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1）（2），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。3.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广4.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）5.二次根式的除法法则的推广【清单07】最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式43 2.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【清单08】同类二次根式1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如【清单09】二次根式的加减1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。2.二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。【清单10】二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【考点题型一】平方根与算术平方根【典例1】实数16的平方根是（    ）A．8B．±8C．4D．±4【答案】D【分析】根据平方根的定义进行判断即可．本题考查平方根，理解平方根的定义是解决问题的关键．【详解】解：∵±42=16，∴16的平方根为±4，故选：D．【变式1-1】9的算术平方根是（    ）43 A．±9B．9C．±3D．3【答案】D【分析】本题考查算术平方根，利用算术平方根的定义，进行求解即可，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：9的算术平方根是9=3；故选：D．【变式1-2】若2m−4与3m−1是同一个数的平方根，则m的值是（　　）A．−3B．−1C．1D．−3或1【答案】D【分析】本题主要考查了平方根定义，根据2m−4与3m−1是同一个数的平方根得出2m−4=3m−1或2m−4+3m−1=0，求出m的值即可．【详解】解：∵2m−4与3m−1是同一个数的平方根，∴2m−4=3m−1或2m−4+3m−1=0，解得：m=−3或m=1．故选：D．【变式1-3】下列各式中，正确的是（    ）A．−32=−3B．−32=−3C．−32=±3D．33=±3【答案】B【分析】本题考查了算术平方根．直接利用算术平方根的性质对各选项进行判断即可．【详解】解：A、−32=9=3≠−3，故本选项不符合题意；B、−32=−9=−3，故本选项符合题意；C、−32=9=3≠±3，故本选项不符合题意；D、33=27≠±3，故本选项不符合题意；故选：B．【变式1-4】81的平方根是（　　）A．±3B．3C．±9D．9【答案】A【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足a2=b，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．【详解】解：81=9，43 ∵9的平方根为±3，∴81的平方根是±3，故选：A．【考点题型二】非负数的性质:算术平方根【典例2】已知x−1+y+2=0，那么x+y2024的值为（   ）A．1B．−1C．32024D．−32024【答案】A【分析】本题考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，根据非负数的性质求出x、y的值再代入计算即可．【详解】解：∵x−1+|y+2|=0∴x−1=0,y+2=0∴x=1,y=−2∴(x+y)2024=(1−2)2024=1故选：A【变式2-1】若a−4+|b−9|=0，则ba的平方根是（   ）A．32B．±32C．94D．±94【答案】B【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到a−4=0，b−9=0，则a=4，b=9，再根据若两个实数a、b满足a2=b，那么a就叫做b的平方根进行求解即可．【详解】解：∵a−4+|b−9|=0，a−4≥0，b−9≥0，∴a−4=|b−9|=0，∴a−4=0，b−9=0，∴a=4，b=9，∴ba=94，∴ba的平方根为±32，故选：B．【变式2-2】若y=x−5+5−x+3，则xy=（     ）43 A．－15B．－9C．9D．15【答案】D【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出x，y的值是解题关键．非负数x−5和5−x的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出x，y的值，进而得出答案．【详解】解：∵y=x−5+5−x+3，∴x−5≥05−x≥0，，∴x=5，当x=5时，y=5−5+5−5+3=3，∴xy=15．故选：D【变式2-3】若2x+1+y−32=0，则x+y=．【答案】52/212/2.5【分析】本题主要考查偶次方及算术平方根的非负性，代数式求值，根据偶次方及算术平方根的非负性求出x,y的值，代入x+y即可．【详解】解：∵2x+1+y−32=0∴2x+1=0,y−3=0，∴x=−12,y=3，∴x+y=−12+3=52，故答案为：52．【考点题型三】立方根【典例3】64的立方根是（  ）A．2B．4C．±2D．±4【答案】A【分析】本题考查立方根的计算，注意看清题目是关键．64=8，所以计算8的立方根即可．【详解】∵64=8，8的立方根是2，∴64的立方根是2．选A．43 【变式3-1】一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（    ）A．2倍B．4倍C．6倍D．9倍【答案】B【分析】本题考查了正方体的体积和立方根的应用，熟练应用立方根和正方体的体积计算方法是解答本题的关键．根据正方体的体积公式计算并判断即可．【详解】解：设原正方体的边长为a，则体积为a3，∴将体积扩大为原来的64倍，为64a3，∴扩大后的正方体的边长为364a3=4a，∴它的棱长为原来的4倍，故选：B．【变式3-2】已知x的平方根是±8，则x的立方根是．【答案】4【分析】本题考查了平方根，立方根，根据x的平方根是±8得x=64，即可得；掌握平方根，立方根是解题的关键．【详解】解：∵x的平方根是±8，∴x=(±8)2，x=64，∴3x=364=4，故答案为：4．【变式3-3】计算：3−27的结果等于．【答案】−3【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，根据立方根定义求出结果即可．【详解】解：3−27=−3，故答案为：﹣3．【考点题型四】平方根与立方根综合【典例4-1】求下列式子中x的值(1)49x2−16=0(2)2x−13=−843 【答案】(1)x=±47(2)x=−12【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程：（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【详解】（1）解：49x2−16=0，49x2=16x2=1649，∴x=±47；（2）2x−13=−8，2x−1=−2，解得：x=−12．【典例4-2】已知6a+3的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求a2+ab的平方根．【答案】(1)a=4，b=5(2)±6【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根：（1）（1）对于两个实数a、b若满足a2=b，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足a3=b，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可；（2）根据（1）所求得到a2+ab的值，再根据平方根的定义求解即可．【详解】（1）解：∵6a+3的立方根是3，∴6a+3=33=27，∴a=4，∵3a+b−1的算术平方根是4，∴3×4+b−1=42，∴b=5；43 （2）解：∵a=4，b=5，∴a2+ab=42+4×5=36，∵36的平方根是±6，∴a2+ab的平方根是±6．【变式4-1】求下列各式中的x：(1)9x2−4=0；(2)x+13=−27．【答案】(1)x=±23(2)x=−4【分析】本题考查了利用平方根、立方根的定义解方程，掌握平方根、立方根的定义是解题的关键．注意开平方时一定不要漏掉负的平方根．（1）先将方程转化为一边是含未知数的平方式，另一边是一个非负数的形式，再将含未知数的平方式的系数化为1，最后左右同时开平方即可．（2）直接开立方将方程变为一元一次方程后再求解．【详解】（1）解：9x2−4=0，∴9x2=4，∴x2=49，∴x=±23．（2）解：x+13=−27，∴x+1=−3，∴x=−4．【变式4-2】一个正数x的平方根是2a−3与5−a，y的立方根是−3，求x+y+3的算术平方根．【答案】5【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是掌握平方根，立方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义求出a，进而求出x，再根据立方根的定义求出y，然后求出x+y+3的值，最后根据算术平方根的定义即可求解．【详解】解：∵一个正数x的平方根是2a−3与5−a，∴2a−3+5−a=0，解得a=−2，43 ∴2a−3=−7，5−a=7，∴x=49，∵y的立方根是−3，，∴y=−27，∴x+y+3=49−27+3=25，∴x+y+3的算术平方根25=5．【变式4-3】已知，2x+y−1的立方根是2，x+y与y−3是某数的两个平方根．(1)求x与y的值；(2)求x+y的算术平方根．【答案】(1)x=5y=−1(2)2【分析】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，解二元一次方程组，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．（1）根据平方根、立方根定义列式即可求解；（2）由（1）可得x+y的值，即可求解．【详解】（1）解：由题意得：2x+y−1=8x+y+y−3=0化简得：2x+y=9x+2y=3∴x=5y=−1；（2）x+y的算术平方根是：x+y=4=2．【变式4-4】求下列各式中x的值．(1)9x2−4=0；(2)2x+53=−125．【答案】(1)x=±23(2)x=−5【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；所有的数都只有一个立方根，要注意整体思想的利用．（1）根据平方根的性质，直接开平方求解即可；（2）根据立方根的性质，直接开平方求解即可．43 【详解】（1）解：9x2−4=0，∴9x2=4，∴x2=49，∴x2=49，∴x=±23；（2）2x+53=−125，∴2x+5=−5，∴2x=−10，∴x=−5．【考点题型五】无理数【典例5】在π3，2，3.14，0，52，4−1中，无理数的个数有（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数称为无理数，常见无理数有：含π类；开不尽方的数是无理数；形如1.3030030003⋯（每两个3间依次增加一个0）；熟悉无理数的概念及常见三类无理数是关键；根据无理数概念进行判断即可．【详解】解：∵4−1=1，∴无理数的有：π3，2，52，共3个；故选：B．【变式5-1】下列实数：23、37、0、−π3、0.16·、0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数辨析方法．无理数：无限不循环的小数是无理数，据此定义对实数进行逐一判断即可求解．【详解】解：根据无理数的定义可得：23不是无理数，不符合题意；43 37是无理数，符合题意；0不是无理数，不符合题意；−π3是无理数，符合题意；0.16·不是无理数，不符合题意；0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多1个2）是无理数，符合题意；综上，无理数有3个．故选：C．【变式5-2】在−13，π，0.131131113…，3，227，13．中无理数的个数有（　　）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】D【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π,2π等；开方开不尽的数；以及像0.5757757775…（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：−13，227，13是分数，属于有理数；π，0.131131113…，3，属于无理数．故选：D．【变式5-3】下列各数：3625，316，0，−20，π2，227，﹣3.14，0.101001000…（每相两个1之间的0的个数依次增加1），无理数有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0)等形式．【详解】解：3625=65，−20＝1，故无理数有316，π2，0.101001000…（每相两个1之间的0的个数依次增加1），共3个．故选：B．43 【考点题型六】实数的定义和性质【典例6】下列说法正确的是（    ）A．两个无理数的和一定是无理数B．无限小数都是无理数C．实数可以用数轴上的点来表示D．分数可能是无理数【答案】C【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．【详解】A.两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数2和−2，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；B.无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C.实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D.分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．【变式6-1】实数−32的倒数是（    ）A．32B．23C．−23D．2【答案】C【分析】本题主要考查实数与倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义可直接进行求解．【详解】解：∵−32×−23=1∴实数−32的倒数是−23，故选：C．【变式6-2】下列说法正确的是(   )A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数【答案】D【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.43 【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；C.带根号的数不一定是无理数，如4，9等，故此选项错误；D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；故选：D【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键.【变式6-3】实数a的相反数是2023，那么实数a是（    ）A．2023B．−2023C．12023D．20232【答案】B【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【详解】∵实数a的相反数是2023，∴a=−2023，故选：B．【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，解题的关键是正确把握定义．【变式6-4】−2的绝对值是（    ）A．−2B．22C．2D．−2【答案】C【分析】本题考查实数的绝对值，根据绝对值的定义进行计算即可．【详解】解：−2的绝对值是−2=2，故选：C．【变式6-5】已知a满足2024−a+a−2025=a，则a−20242的值为．【答案】2025【分析】本题主要考查了实数的性质，代数式求值，根据实数的性质可得a−2025≥0，进而得到a−2024+a−2025=a，则可求出a−20242=2025．【详解】解；∵2024−a+a−2025=a有意义，∴a−2025≥0，∴a≥2025，∴2024−a<0，43 ∵2024−a+a−2025=a，∴a−2024+a−2025=a，∴a−2025=2024，∴a−2025=20242，∴a−20242=2025故答案为：2025．【考点题型七】实数大小比较【典例7】在数−3、2、0、5中，最大的数是（   ）A．−3B．0C．2D．5【答案】D【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握“正数大于0，0大于一切负数”是解决本题的关键．根据正数、0、负数比较大小的办法得结论．【详解】解：∵正数>0>负数，∴数−3、2、0、5中，，最大的数是5．故选：D．【变式7-1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把a,b,−a,−b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ）A．b<−a<−b<aB．−a<−b<a<bC．−b<a<−a<bD．b<−a<a<−b【答案】D【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得0<a<1，b<−1，判断出−a、−b的取值范围，把a，b，−a，−b按照从小到大的顺序排列即可．【详解】解：根据图示，可得0<a<1，b<−1，∴−1<−a<0，−b>1，∴b<−a<a<−b．故选：D．【变式7-2】比较大小：637．43 【答案】<【分析】本题主要查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答，即可求解．【详解】解：∵6=36,36<37，∴6<37．故答案为：<【变式7-3】比较大小：2332（请填写“>”、“<”或“=”）．【答案】<【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小．【详解】解：232=12，322=18，∵12<18，∴23<32，故答案为：<．【变式7-4】估计大小关系：7−1256（填>，<或=）．【答案】<【分析】本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【详解】解：由题可得：7−12−56=37−3−56=37−86，∵37=63,8=64，∴37−8<0，∴7−12−56<0，故答案为：<．【考点题型八】估算无理数的大小【典例8】估计6的值是在（    ）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【答案】B【分析】本题考查估算无理数大小，解题的关键是掌握算术平方根的定义，能估算无理数大小．由22<6<32，可得2<6<3，即可得到答案．43 【详解】解：∵22<6<32，∴2<6<3，故选：B【变式8-1】与15最接近的整数是（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算；估算出15的范围，根据15与16更接近得出答案．【详解】解：∵9<15<16，∴3<15<4，且更接近4，故选：C．【变式8-2】估计14+1的值在（    ）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】C【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．先确定9<14<16，再利用算术平方根的性质即可求得答案．【详解】解：∵9<14<16，∴9<14<16，∴9+1<14+1<16+1，即：4<14+1<5故选：C．【变式8-3】实数7的整数部分是．【答案】2【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小．因为2<7<3，由此可以得到实数7的整数部分．【详解】解：∵4<7<9即2<7<3，∴实数7的整数部分是2．故答案为：2．【考点题型九】实数的运算43 【典例9】计算4+3−27−32．【答案】−4【分析】本题考查了实数的混合运算．根据平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可求解．【详解】解：4+3−27−32=2+−3−3=−4．【变式9-1】计算：327+|2−3|−25×125．【答案】−3【分析】本题考查了实数的运算．先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：327+|2−3|−25×125=3+2−3−25×15=3+2−3−5=−3．【变式9-2】计算：4−2÷12−38+−23×122．【答案】−6【分析】本题主要考查了实数的混合计算，熟练掌握运算法则正确计算是解题的关键．利用算术平方根，有理数除法以及立方根的性质、绝对值的非负性，幂的计算分别化简、计算得出答案；【详解】解：4−2÷12−38+−23×122=2−2×2−2+−8×14=2−4−2−2=−6【变式9-3】计算：|−2|−16+3−27．【答案】−5【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简绝对值，算术平方根以及立方根，然后再进行加减运算即可．【详解】解：|−2|−16+3−2743 =2−4−3=−5．【考点题型十】二次根式有意义的条件【典例10】式子x−3有意义，则x的取值范围是（   ）A．x>3B．x≥3C．x<3D．x≤3【答案】B【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数要大于等于零，二次根式才有意义是解答关键．根据二次根式的被开方数在大于等于零列出不等式求解．【详解】解：∵式子x−3有意义，∴x−3≥0，∴x≥3．故选：B．【变式10-1】若式子x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ）A．x>2B．x≥2C．x<2D．x≤2【答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“被开方数是非负数”．根据二次根式有意义的条件得到x−2≥0，解之即可求出x的取值范围．【详解】解：根据题意得：x−2≥0，解得：x≥2．故选：B．【变式10-2】函数y=1x−4中自变量x的取值范围是（     ）A．x>4B．x≥−4C．x≥4D．x≠4【答案】A【分析】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可得到答案．【详解】解：由题意可知，x−4>0，解得x>4．43 故选：A．【变式10-3】若2−x3y有意义，则x、y的取值范围不可能是（）A．x≤0,y≥0B．x>0,y<0C．x<0,y<0D．xy<0【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的非负性可求得结果，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：A、当x≤0,y≥0时，被开方数−x3y≥0，则式子一定有意义，不符合题意；B、当x>0,y<0时，被开方数−x3y>0，则式子一定有意义，不符合题意；C、当x<0,y<0时，被开方数−x3y<0，则式子一定没有意义，符合题意；D、当xy<0时，被开方数−x3y>0，则式子一定有意义，不符合题意；故选：C．【考点题型十一】二次根式的性质与化简【典例11】将m−1m中根号外的m移到根号里后得到的式子为（    ）A．−−mB．−mC．mD．−m【答案】A【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得出−1m>0，再根据二次根式的性质即可解答．【详解】解：由题意可知：−1m>0，∴m<0，∴m−1m=−−m−1m=−−m2m=−−m故选：A．【变式11-1】实数a在数轴上的位置如图所示，则(a−4)2−(a−11)2化简后为（   ）A．2a−15B．−7C．7D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，先根据数轴判断a−4,a−1143 的正负，再根据二次根式的性质化简．【详解】解：由数轴可知，a−4>,a−11<0，∴(a−4)2−(a−11)2=a−4+a−11=2a−15故选A．【变式11-2】已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示：则a2−a+c+(c−b)2−−b=．【答案】0【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况是解题的关键．根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】解：由图可知：c<a<0<b，而且|a|<|c|<|b|，∴a+c<0,c−b<0，∴a2−a+c+(c−b)2−−b=a−a+c+c−b−−b=−a+a+c−c+b−b=0，故答案为：0．【变式11-3】实数a、b在数轴上位置如图，化简：|a−b|−a+b2＝．【答案】2b【分析】本题考查了根据数轴化简求值，由数轴可知，a<0<b，a>b，则a−b<0,a+b<0，根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可得到答案．【详解】解：∵a<0<b，a>b∴a−b<0,a+b<0，∴|a−b|−a+b2=b−a+a+b=2b故答案为：2b．43 【考点题型十二】最简二次根式和同类二次根式【典例12】下列选项中，最简二次根式是（    ）A．4B．0.8C．5D．13【答案】C【分析】本题考查最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、4=2不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、0.8=255不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、5是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、13=33不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C【变式12-1】下列各式中，不能与12合并的是（    ）A．2B．8C．118D．0.2【答案】D【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并．将各选项化为最简二次根式即可解答．【详解】解：12=22，A、2与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；B、8=22与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；C、118=26与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；D、0.2=15=55与12不是同类二次根式，不可以合并，符合题意；故选：D．【变式12-2】下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（    ）A．6B．8C．9D．27【答案】D43 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化简，再找到被开方数与3相同的选项即可．【详解】解：A．6与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；B．8=22，22与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；C．9=3，3不是二次根式，故该选项不符合题意；D．27=33，33与3是同类二次根式，故该选项符合题意；故选：D．【变式12-3】已知最简二次根式x−1与二次根式8是同类二次根式，则x=．【答案】3【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．【详解】解：∵8=22，根据题意得：x−1=2，解得：x=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【考点题型十三】二次根式的混合运算【典例13】计算：(1)8+12−26(2)218×16÷2【答案】(1)522−26(2)6【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减、乘除的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先运用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式，即可作答．（2）先运用二次根式的性质进行化简，再计算乘除法，即可作答．【详解】（1）解：原式=22+22−26=522−26；（2）解：原式=2×32×16×12=6×16=6．43 【变式13-1】计算：(1)27×53÷15；(2)22−23+24．【答案】(1)15(2)2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答；（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【详解】（1）解：27×53÷15=27×53÷15=45×5=225=15；（2）解：22−23+24=2×2−2×23+26=2−26+26=2．【变式13-2】计算：(1)27−13+3；(2)416÷22+6×23．【答案】(1)1133(2)33+2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；（2）先计算二次根式的乘法与除法，再计算加法即可．【详解】（1）解：27−13+343 =33−133+3=1133；（2）解：416÷22+6×23=166÷8+6×23=166÷8+2=33+2．【变式13-3】计算：(1)32+45−8+20；(2)26×312÷3；(3)5×15+27÷3−613；(4)(3−1)2+(3+2)(3−2)．【答案】(1)22+55(2)6(3)33+3(4)3−23【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简等知识．（1）先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的性质合并同类项即可；（2）先利用二次根式的性质化简，再按从左到右计算二次根式的乘除法．（3）先利用二次根式的性质化简，计算二次根式的乘除法．最后计算二次根式的加减法．（4）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再合并同类项即可．【详解】（1）解：32+45−8+20=42+35−22+25=22+55（2）26×312÷3=26×322÷343 =63÷3=6（3）5×15+27÷3−613=5×5×3+3−36×33=53+3−23=33+3（4）(3−1)2+(3+2)(3−2)=3−23+1+3−4=3−23【变式13-4】计算：(1)212×34÷52；(2)3−12+2+52−5．【答案】(1)3210(2)3−23【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化；（2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可．【详解】（1）解：原式=2×23×34÷52=3÷52=352=3210；（2）解：原式=3−23+1+4−5=3−23【考点题型十四】二次根式化简求值【典例14-1】已知a=7+2,b=7−2，求下列代数式的值(1)a−b；43 (2)a2−2ab+b2．【答案】(1)4；(2)16．【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键．（1）将a,b代入a−b中即可求解；（2）利用完全平方公式得到a2−2ab+b2=a−b2，即可求解．【详解】（1）解：∵a=7+2,b=7−2，∴a−b=7+2−7−2=4．（2）解：∵a−b=4，∴a2−2ab+b2=a−b2=42=16．【典例14-2】先化简，再求值xx2y2−xy−yx2−x3y÷3x2y，其中x=2，y=1．【答案】23xy−23；23【分析】根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可．【详解】解：xx2y2−xy−yx2−x3y÷3x2y=x3y2−x2y−x2y+x3y2÷3x2y=x3y2−x2y−x2y+x3y2÷3x2y=2x3y2−2x2y÷3x2y=23xy−23，把x=2，y=1代入得：原式=23×2×1−23=23．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及其求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确进行计算．【变式14-1】先化简，再求值：3a−1a+1−a+1÷a2−6a+9a+1，其中a=3+3．【答案】−aa−3,−1−3【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=3a−1a+1−a−1a+1a+1⋅a+1a−3243 =3a−1−a2+1a+1⋅a+1a−32=−aa−3当a=3+3时，原式=−3+33+3−3=−3+33=−1−3．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式14-2】已知a=7+2，b=7−2，求下列各式的值．(1)a2−2ab+b2．(2)a2−b2．【答案】(1)16(2)87【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a−b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；（2）结合平方差公式计算得出答案．【详解】（1）解：∵a=7+2，b=7−2，∴a+b=7+2+7−2=27，a−b=7+2−7−2=4，∴a2−2ab+b2=a−b2=42=16；（2）a2−b2=a+ba−b=27×4=87．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．【变式14-3】先化简，再求值：(a+5)(a−5)−(3−a)2，其中a=23−1．43 【答案】23a−8；4−23．【分析】先根据平方差公式和完全平方公式把所给代数式化简，再把a=23−1代入计算即可．【详解】原式=a2−5−(3−23a+a2)=a2−5−3+23a−a2=23a−8，当a=23−1时，原式=23a−8=23(23−1)−8=4−23．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．43