数学●全国Ⅰ卷丨2025年普通高等学校招生全国统一考试试卷（原卷版）

2025普通高等学校招生全国统一考试1卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1.(1+5i)i的虚部为()A.-1B.0C.1D.62.设全集U={x|x为小于9的正整数}，A={1,3,5}，则∁UA中的元素个数为()A.0B.3C.5D.83.双曲线虚轴长是实轴长的7倍，求离心率为()A.2B.2C.7D.22π4.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx-3的图像的一个对称中心，则a的最小值为()πππ4πA.B.C.D.632335.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f-4=()6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风为()图1图2A.轻风B.微风C.和风D.劲风7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(0,+∞)8.已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x,y,z的大小关系不可能为(),A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC中点，则()A.AD⊥A1CB.B1C⊥平面AA1DC.CC1∥平面AA1DD.AD∥A1B110.设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:y=33-x于E，过A作x=-的垂线，垂足为D，则()22A.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6D.|AE|⋅|BE|≥181111.cos2A+cos2B+2sinC=2，S△ABC=，cosAcosBsinC=，以下正确的是()44A.sinC=sin2A+sin2BB.AC2+BC2=36C.AB=2D.sinA+sinB=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=._________13.若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为._________14.一个箱子里有5个球，分别以1-5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数X，则E(X)=._________四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.2n(ad-bc)附：χ2=，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),an+1an116.(15分)已知数列{an}中，a1=3，=+.nn+1n(n+1)（1）证明：数列{nan}是等差数列；（2）给定正整数m，设函数f(x)=ax+ax2+⋯+axm，求f'(-2).12m17.(15分)如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD.BC∥AD，AB⊥AD.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=AB=2，AD=3+1，BC=2，P,B,C,D在同一个球面上，设该球面的球心为O.（i）证明：O在平面ABCD上；（ii）求直线AC与直线PO所成角的余弦值.2y2x2218.(17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=a2b2310.（1）求C的方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|⋅|AR|=3.（i）设P(m,n)，求R的坐标（用m,n表示）；（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.19.(17分)设函数f(x)=5cosx-cos5x.π（1）求f(x)在[0,]的最大值；4（2）给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在y∈[a-θ,a+θ]，使得cosy≤cosθ；（3）若存在t使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+t)≤b，求b的最小值.