苏教版必修第二册课后习题14.4.3 用频率直方图估计总体分布 14.4.4 百分位数

14.4.3　用频率直方图估计总体分布14.4.4　百分位数1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91.这15人成绩的80百分位数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.90B.90.5C.91D.91.5答案B解析把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为80×15100=12,所以这15人成绩的80百分位数是90+912=90.5.2.如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为(　　)A.22.5,20B.22.5,22.75C.22.75,22.5D.22.75,25答案C解析由题意,这批产品的平均数为x=5×(0.02×12.5+0.04×17.5+0.08×22.5+0.03×27.5+0.03×32.5)=22.75,其中位数为x0=20+0.5-(0.02+0.04)×50.08=22.5.故选C.3.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,50百分位数为b,则有(　　) A.a=13.7,b=15.5B.a=14,b=15C.a=12,b=15.5D.a=14.7,b=15答案D解析把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均数a=110×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,因为50×10100=5,所以这10名工人一小时内生产零件的50百分位数为b=15+152=15.4.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):甲组:27,28,39,40,m,50;乙组:24,n,34,43,48,52.若这两组数据的30百分位数,80百分位数分别相等,则mn等于(　　)A.127B.107C.43D.74答案A解析因为30100×6=1.8,80100×6=4.8,所以30百分位数为n=28,80百分位数为m=48,所以mn=4828=127.5.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这组数据的25百分位数为　　　　,75百分位数为　　　　,90百分位数为　　　　. 答案3　8　9.5解析因为数据个数为10,而且10×25%=2.5,10×75%=7.5,10×90%=9,所以该组数据的25百分位数为3,75百分位数为8,90百分位数为9+102=9.5.6.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的　　　　百分位数.  答案30解析因为分数位于[20,40),[40,60)的频率之和为(0.005+0.01)×20=0.3,所以60分为成绩的30百分位数.7.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出100名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率直方图如图所示,利用这个残缺的频率直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是　　　(保留一位小数). 答案33.6解析在频率直方图中,所有矩形面积之和为1,所以,数据位于[25,30)的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2,前两个矩形的面积之和为0.01×5+0.2=0.25,前三个矩形的面积之和为0.25+0.07×5=0.6,所以,中位数位于区间[30,35),设中位数为a,则有0.25+(a-30)×0.07=0.5,解得a≈33.6(岁).8.求下列数据的四分位数.13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.解把12个数据按从小到大的顺序排列为12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31,计算25×12100=3,50×12100=6,75×12100=9,所以数据的25百分位数为15+182=16.5, 50百分位数为20+222=21,75百分位数为27+282=27.5.9.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额,所得数据如下表:网购金额(单位:千元)人数频率[0,1)160.08[1,2)240.12[2,3)xp[3,4)yq[4,5)160.08[5,6]140.07合计2001.00已知网购金额低于3千元与不低于3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率直方图;(2)估计网购金额的25百分位数(结果保留三位有效数字).解(1)根据题意有16+24+x+y+16+14=200,16+24+xy+16+14=32,解得x=80,y=50.所以p=0.4,q=0.25.补全频率直方图如图所示. (2)由(1)可知,网购金额低于2千元的频率为0.08+0.12=0.2,网购金额低于3千元的频率为0.2+0.4=0.6,所以网购金额的25百分位数在[2,3)内,则网购金额的25百分位数估计为2+0.25-0.20.6-0.2×1=2.125≈2.13.10.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是(　　)A.[4.5,+∞)B.[4.5,6.6)C.(4.5,+∞)D.(4.5,6.6]答案A解析因为65×8100=5.2,所以这组数据的65百分位数是第6个数据4.5,则x≥4.5,故选A.11.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程.桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h.现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的频率分别为(　　)A.85,0.25B.90,0.35 C.87.5,0.25D.87.5,0.35答案D解析由频率直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为85+902=87.5,由频率直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为(0.05+0.02)×5=0.35,所以由频率直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为0.35.12.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是(　　)A.29mmB.29.5mmC.30mmD.30.5mm答案A解析棉花纤维的长度在30mm以下的比例为(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5=0.85=85%,在25mm以下的比例为85%-25%=60%,因此,80百分位数一定位于[25,30)内,由25+5×0.80-0.600.85-0.60=29,可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是29mm.13.(多选)已知100个数据的75百分位数是9.3,则下列说法不正确的是(　　)A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均数答案ABD 解析因为75×100100=75为整数,所以第75个数据和76个数据的平均数为75百分位数,是9.3,则C正确,其他选项均不对,故选ABD.14.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(　　)A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差答案BCD解析由图可得,x甲=4+5+6+7+85=6,x乙=3×5+6+95=6,A项错误,B项正确;甲的成绩的80百分位数为7+82=7.5,乙的成绩的80百分位数为6+92=7.5,所以二者相等,所以C项正确;甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D项正确.15.已知30个数据的60百分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是　　　　. 答案8.6解析由60×30100=18,设第19个数据为x,则7.8+x2=8.2,解得x=8.6,即第19个数据是8.6.16.如图是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的10百分位数为　　　　,日最低气温的80百分位数为　　　　.  答案24℃　16℃解析由折线图可知,把日最高气温按照从小到大排序,得24,24.5,24.5,25,26,26,27,因为共有7个数据,所以7×10100=0.7,不是整数,所以这7天日最高气温的10百分位数是第1个数据,为24℃.把日最低气温按照从小到大排序,得12,12,13,14,15,16,17,因为共有7个数据,所以7×80100=5.6,不是整数,所以这7天日最低气温的80百分位数是第6个数据,为16℃.17.某年级120名学生在一次百米跑测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组,即[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70百分位数约为　　　　秒. 答案16.5解析设成绩的70百分位数为x,因为1+3+71+3+7+6+3=0.55,1+3+7+61+3+7+6+3=0.85,所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×61+3+7+6+3=0.70,解得x=16.5.18.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为　　　　; (2)由频率直方图估计志愿者年龄的85百分位数为　　　　岁(结果保留整数). 答案(1)0.04　(2)39 解析(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)由图可知,年龄小于35岁的频率为(0.01+0.04+0.07)×5=0.6,年龄小于40岁的频率为(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9,所以志愿者年龄的85百分位数在[35,40)内,因此志愿者年龄的85百分位数为35+0.85-0.60.9-0.6×5≈39(岁).19首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试,在联考结束后,根据联考成绩,考生可了解自己的学习情况,作出升学规划,决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中,某学校为了解高三学生的联考情况,随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本,并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分组,绘制了如图所示的频率直方图.(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例);(2)估计该校学生联考数学成绩的80百分位数;(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.解(1)由(0.004+a+0.013+0.014+0.016)×20=1,解得a=0.003,则及格率为(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%.(2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004+0.013+0.016)×20=0.66,得分在130以下的学生所占比例为0.66+0.014×20=0.94,所以80百分位数位于[110,130)内,由110+20×0.8-0.660.94-0.66=120(分),估计80百分位数为120.(3)由图可得,众数估计值为100.平均数估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140=99.6(分).20.2020年某地苹果出现滞销现象,为了帮助当地果农打开销路,当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链,使得当地果农积压的许多苹果有了销路.为了解果农们苹果的销售量情况,当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计,将数据按照[90,110),[110,130),[130,150),[150,170]分成4组,得到如图所示的频率直方图. (1)试估计这100名果农苹果销售量的平均数;(2)根据题中的频率直方图,估计销售量样本数据的80百分位数(结果精确到0.1);(3)假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果,通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元,而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费,试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润.解(1)设这100名果农苹果销售量的平均数为x百千克,则x=(100×0.0025+120×0.01+140×0.0225+160×0.015)×20=140(百千克),故这100名果农苹果销售量的平均数为1.4万千克.(2)因为(0.0025+0.0100)×20=0.25<0.8,0.25+0.225×20=0.7<0.8,所以80百分位数在第4组内,且80百分位数为150+0.8-0.71-0.7×20≈156.7.(3)销售量在[90,110)的每位果农的利润为100×100×1.3-(2×104-100×100)×2=-0.7(万元);销售量在[110,130)的每位果农的利润为120×100×1.3-(2×104-120×100)×2=-0.04(万元);销售量在[130,150)的每位果农的利润为100×140×1.3-(2×104-140×100)×2=0.62(万元);销售量在[150,170]的每位果农的利润为100×160×1.3-(2×104-160×100)×2=1.28(万元).因为[90,110),[110,130),[130,150),[150,170)这4组的人数分别为5,20,45,30,所以这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为-0.7×5-0.04×20+0.62×45+1.28×30=62(万元).