苏教版必修第一册课后习题3.3.2 从函数观点看一元二次不等式

第3章不等式3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.2　从函数观点看一元二次不等式1不等式4-x2<0的解集为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(2,+∞)C.[-2,2]D.[0,2]答案A解析由4-x2<0可得x2-4>0,即(x-2)(x+2)>0,解得x<-2或x>2.因此,原不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选A.2.若0<t<1,则不等式(x-t)x-1t<0的解集为(　　)A.x1t<x<tB.xx>1t或x<tC.xx<1t或x>tD.xt<x<1t答案D解析当t∈(0,1)时,t<1t,∴解集为xt<x<1t.3.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为(　　)A.{x|x>3或x<-2}B.{x|x>2或x<-3}C.{x|-2<x<3}D.{x|-3<x<2}答案C解析∵ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,∴解ax2+bx+c>0得-2<x<3. 4.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)答案B解析根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是(-2,1).5.设函数f(x)=x2-4x+6,x≥0,x+6,x<0,则不等式f(x)>f(1)的解集是　　　　　　　　　　. 答案(-3,1)∪(3,+∞)解析f(1)=12-4×1+6=3.当x≥0时,x2-4x+6>3,解得x>3或0≤x<1;当x<0时,x+6>3,解得-3<x<0.所以f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞).6.已知关于x的不等式mx2+nx-1<0(m,n∈R)的解集为x-13<x<12,则m+n=　　　　. 答案5解析因为关于x的不等式mx2+nx-1<0(m,n∈R)的解集为x-13<x<12,所以-13和12是方程mx2+nx-1=0的两根,则-13+12=-nm,-13×12=-1m,解得n=-1,m=6,所以m+n=5.7.已知集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0},且B⊆A,则a的取值范围为　　　　. 答案(-∞,1]解析A={x|3x-2-x2<0}={x|x2-3x+2>0}={x|x<1或x>2},B={x|x<a}.若B⊆A,如图,则a≤1. 8.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0.解原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0.讨论a+1与2(a-1)的大小:(1)当a+1>2(a-1),即a<3时,x>a+1或x<2(a-1).(2)当a+1=2(a-1),即a=3时,x≠4.(3)当a+1<2(a-1),即a>3时,x>2(a-1)或x<a+1.综上,当a<3时,解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)},当a=3时,解集为{x|x≠4},当a>3时,解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}.9.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.xx<-1或x>14B.RC.x-13<x<32D.⌀答案A解析因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点.又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.10已知关于x的不等式x2+bx-c<0的解集为{x|3<x<6},则不等式-bx2+(c+1)x-2>0的解集为(　　)A.xx<19或x>2B.x19<x<2C.xx<-19或x>2 D.x-19<x<2答案C解析由题意,x2+bx-c=0的两根为3,6,则3+6=-b,3×6=-c,解得b=-9,c=-18.则不等式-bx2+(c+1)x-2>0可化为9x2-17x-2>0,解得x<-19或x>2.故选C.11.不等式1+x1-x≥0的解集为(　　)A.{x|-1<x≤1}B.{x|-1≤x<1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-1<x<1}答案B解析原不等式⇔(x+1)(x-1)≤0,x-1≠0,解得-1≤x<1.12已知集合A={x|x2-2x-3<0},非空集合B={x|2-a<x<1+a},B⊆A,则实数a的取值范围为(　　)A.(-∞,2]B.12,2C.(-∞,2)D.12,2答案B解析A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},由B⊆A且B为非空集合可知,应满足2-a≥-1,1+a≤3,1+a>2-a,解得12<a≤2.故选B.13.在R上定义运算☉:A☉B=A(1-B),若不等式(x-a)☉(x+a)<1对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)A.(-1,1)B.(0,2)C.-12,32D.-32,12答案C 解析∵(x-a)☉(x+a)=(x-a)(1-x-a),∴不等式(x-a)☉(x+a)<1对任意实数x恒成立,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立,即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-12<a<32.故选C.14.(多选)一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为x-1<x<12,则下列结论成立的是(　　)A.a2+b2=5B.a+b=-3C.ab=-2D.ab=2答案ABD解析由题意,-1,12是方程ax2+bx+1=0的根,由根与系数的关系,得-ba=-1+12,1a=-1×12,解得a=-2,b=-1.∴ab=2,a+b=-3,a2+b2=5.故A,B,D正确.故选ABD.15.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),则(　　)A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.a+b+c>0D.不等式cx2-bx+a<0的解集为xx<-14或x>12答案ABD解析∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),∴a>0,故A正确;且-2和4是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得-2+4=-ba,-2×4=ca,则b=-2a,c=-8a,则a+b+c=-9a<0,故C错误;不等式bx+c>0即为-2ax-8a>0,解得x<-4,故B正确;不等式cx2-bx+a<0即为-8ax2+2ax+a<0,即8x2-2x-1>0,解得x<-14或x>12,故D正确.故选ABD.16.(多选)对于给定的实数a,关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为(　　)A.⌀B.(-1,a)C.(a,-1)D.R答案ABC 解析对于不等式a(x-a)(x+1)>0,则a≠0.当a>0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(a,+∞),当a<0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下,若a=-1,不等式的解集为⌀;若-1<a<0,不等式的解集为(-1,a);若a<-1,不等式的解集为(a,-1).故选ABC.17)若已知关于x的不等式ax<b的解集为(-2,+∞),则ba=　　　　,关于x的不等式ax2+bx-3a>0的解集为　　　　. 答案-2　(-1,3)解析由ax<b的解集为(-2,+∞),得a<0且-2a=b.不等式ax2+bx-3a>0等价于ax2+(-2a)x-3a>0,因为a<0,所以x2-2x-3<0,解得-1<x<3,所以关于x的不等式ax2+bx-3a>0的解集为(-1,3).18.某地年销售木材约20万立方米,每立方米的价格为2400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少52t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是　　　　　. 答案{t|3≤t≤5}解析设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=240020-52t×t%=60(8t-t2).令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.故t的取值范围是{t|3≤t≤5}.19已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式ax2+ax-6<0的解集为B,a∈R.(1)若a=1,求A∩B;(2)在(1)的前提下,若不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B,求不等式mx2+x+n<0的解集;(3)若对∀x∈R,ax2+ax-6<0恒成立,求a的取值范围.解(1)∵A={x|-1<x<3},当a=1时,B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2}.(2)易知-1,2是方程x2+mx+n=0的两个根,则-1+2=-m,-1×2=n,解得m=-1,n=-2, ∴mx2+x+n<0,即-x2+x-2<0,即x2-x+2>0.∵Δ<0,∴不等式mx2+x+n<0的解集为R.(3)当a=0时,-6<0恒成立,符合题意;当a≠0时,a<0,Δ<0,得a<0,a2+24a<0,得-24<a<0.综上,a的取值范围是(-24,0].20.已知y=-3x2+a(6-a)x+12.(1)若不等式-3x2+a(6-a)x+12>b的解集为(0,3),求实数a,b的值;(2)若a=3时,对于任意的实数x∈[-1,1],都有-3x2+a(6-a)x+12≥-3x2+(m+9)x+10,求实数m的取值范围.解(1)因为-3x2+a(6-a)x+12>b的解集为(0,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+12-b=0的两根为0,3,故12-b=0,-27+3a(6-a)+12-b=0,解得a=3,b=12.经检验,当a=3,b=12时,不等式-3x2+a(6-a)x+12>b的解集为(0,3).(2)当a=3时,f(x)=-3x2+9x+12,对于任意的实数x∈[-1,1],都有-3x2+9x+12≥-3x2+(m+9)x+10,即对于任意的实数x∈[-1,1],都有mx-2≤0.当m=0时,-2≤0恒成立;当m>0时,0<m≤2;当m<0时,-2≤m<0.综上所述,m的取值范围为[-2,2].21.设m∈R,不等式mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0的解集记为集合P.(1)若P={x|-1<x<2},求m的值;(2)当m>0时,求集合P.解(1)由题意可知,关于x的方程mx2-(3m+1)x+2(m+1)=0的两根分别为-1,2,所以m≠0,由根与系数的关系可得3m+1m=-1+2,2(m+1)m=-1×2,解得m=-12. (2)当m>0时,由mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0可得(mx-m-1)(x-2)>0,解方程(mx-m-1)(x-2)=0,可得x=m+1m>0或x=2.①当m+1m<2,即m>1时,P=xx<m+1m或x>2;②当m+1m=2,即m=1时,原不等式化为(x-2)2>0,则P={x|x≠2};③当m+1m>2,即0<m<1时,P=xx<2或x>m+1m.综上所述,当m>1时,P=xx<m+1m或x>2;当m=1时,则P={x|x≠2};当0<m<1时,P=xx<2或x>m+1m.