2023八年级数学上册第十二章全等三角形12.4全等三角形小结第3课时课件（人教版）

第3课时12.4全等三角形小结九年级上册RJ初中数学 角的平分线性质判定会综合利用性质和判定解决实际问题角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上知识梳理 角的平分线1.作已知角的平分线（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.CBNOMA（3）画射线OC，射线OC即为所求. 2.角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.∴PD=PE. 3.证明几何命题的一般步骤（1）明确一个命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明的过程. 4.角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线OC上. 1.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD一上点,PE//AB，PF//AC，求证：点D到PE和PF的距离相等.证明：∵PE//AB，∴∠BAD=∠EPD.∵PF//AC，∴∠CAD=∠FPD.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD.∴∠EPD=∠FPD，即PD平分∠EPF.∴点D到PE和PF的距离相等.CAEFDPB重难剖析 2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF=EF.┐OBACPED┐F证明：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠POD=∠POE，DP=EP. ∴∠DPF=∠POD+∠ODP，∠EPF=∠POE+∠OEP.∴∠DPF=∠EPF.在△DPF和△EPF中，DP=EP，∠DPF=∠EPF，PF=PF，∴△DPF≌△EPF（SAS）.∴DF=EF.┐OBACPED┐F 3.证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等.已知：如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，AM，DN分别为△ABC和△DEF的中线，且AM=DN.求证：△ABC≌△DEF.ABCDEFMN 证明：∵BC=EF，AM，DN分别为△ABC和△DEF的中线，∴CM=FN.∵在△ACM和△DFN中，AM=DN，AC=DF，CM=FN，∴△ACM≌△DFN.∴∠C=∠F.ABCDEFMN ∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠C=∠F，BC=EF，∴△ABC≌△DEF.ABCDEFMN 4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线.求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC.证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF.又∵S△ABD=AB∙DE，S△ACD=AC∙DF，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC.ABCDEF┐┐ 1.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，M是BC的中点，AM平分∠DAB.（1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论.（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.能力提升判断两条线段的位置关系时，一般不是平行就是垂直，可先从这两种情况思考 E解：（1）DM平分∠ADC.证明如下：如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E.∵∠B=90°，∴MB⊥AB.∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD，∴MB=ME.∵∠B=90°，AB//CD.∴∠C=90°，即MC⊥CD.∵M为BC的中点,∴MC=MB.∴ME=MC.∴DM平分∠ADC.┐ E（2）DM⊥AM.理由如下：∵AB//CD，∴∠CDA+∠BAD=180°.又∵∠EDM=∠CDM=∠CDA，∠EAM=∠BAM=∠BAD，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°.∴∠DMA=90°.∴DM⊥AM.┐ 2.如图(1)，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，请你添加一个条件使得AD⊥EF.（1）你添加的条件是，并证明AD⊥EF.注意答案不唯一，可多思考几种答案 解：（1）AD平分∠BAC（答案不唯一），证明如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴∠EDA=∠FDA. 设AD交EF于点O，在△DOE和△DOF中，DE=DF，∠EDO=∠FDO，DO=DO，∴△DOE≌△DOF.∴∠DOE=∠DOF.∵∠DOE+∠DOF=180°.∴∠DOE=∠DOF=90°，即AD⊥EF. （2）如图(2)，AD为∠BAC的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为E，F.这时AD是否垂直于EF？（3）如图(3)，当点G从点D出发沿着AD方向运动时，其他条件同(2)，这时AD是否垂直于EF？ （2）AD⊥EF，证明方法同（1）.（3）AD⊥EF，证明方法同（1）.由本题可以得出一般结论：从角平分线上一点向角两边引垂线，垂足的连线被角平分线垂直平分. 3.如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BCCF平分∠DCE.试探索CF和DE的位置关系,并说明理由.解：CF⊥DE，证明如下：∵AD//EB，∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中，AD=BC，∠A=∠B，AC=BE，∴△ACD≌△BEC（SAS）.∴CD=EC.ABCDEF ∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF.在△DCF和△ECF中，CD=CE，∠DCF=∠ECF，CF=CF，∴△DCF≌△ECF（SAS）.∴∠CFD=∠CFE.∵∠CFD+∠CFE=180°，∴∠CFD=∠CFE=90°.∴CF⊥DE.ABCDEF更多同类例题见《教材帮》数学RJ八上12.3节方法帮