2023九年级数学上册第二十二章二次函数22.4二次函数小结课时2课件（人教版）

22.4二次函数小结九年级上册RJ初中数学第2课时 二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的公共点有三种情况:有两个公共点，有一个公共点，没有公共点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有公共点时，公共点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.知识梳理 拓展抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐标即一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函数与一元二次方程抛物线与x轴的公共点情况利用图象法求一元二次方程的根有两个公共点⇔有一个公共点⇔没有公共点⇔抛物线与直线的公共点个数 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和x轴的公共点一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式(b2-4ac)有两个公共点有两个不等的实数根b2-4ac>0有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有公共点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点a＞0a＜0有两个公共点x1,x2（x1＜x2）有一个公共点x0没有公共点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x＜x1或x＞x2.y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x＜x1或x＞x2.y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解y＞0，无解；y＜0，x0之外的所有实数y＞0，所有实数；y＜0，无解y＞0，无解；y＜0，所有实数 目标实际问题的答案二次函数y=ax2+bx+c实际问题归纳抽象图形面积抛物线形销售利润…………利用二次函数的图象和性质求解利用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，厘清题意.2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.5.检：检验结果，进行合理取舍. 最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量的取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法、公式法或函数图象和性质求最大值. 转化回归(二次函数的图象和性质)拱桥问题运动中的抛物线形问题(实物中的抛物线形问题)建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择简便的运算方法.实际问题数学模型转化的关键 1.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0，x2=6B.x1=1，x2=7C.x1=1，x2=﹣7D.x1=﹣1，x2=7解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴=3，解得m=－6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，即(x+1)(x-7)=0，解得x1=－1，x2=7．故选D．D重难剖析 2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数的解析式；解得k=-1,b=120.故所求一次函数的解析式为y=-x+120.解：(1)根据题意，得65k+b=55,75k+b=45 解：(2)W=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤60(1+45%)，即60≤x≤87，∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30.∴BF=2x-30. 解：(2)∵∠F=∠A=45°,CBF=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.∴S=S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=x2+60x-450.3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．解：(3)S=x2+60x-450=(x-20)2+150.∵a=＜0,15＜x＜30，∴当x=20时，S有最大值，最大值为150. 4.一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球与头顶上方的距离为0.25m，则运动员跳离地面的高度是()0.1m0.2mC.0.3mD.0.4m 解：设抛物线的解析式为y=ax2+3.5．由图知图象过点(1.5，3.05)．∴2.25a+3.5=3.05，解得a=-0.2，∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5．设球出手时，运动员跳离地面的高度为hm.∵y=-0.2x2+3.5，∴h+1.9+0.25=-0.2×(-2.5)2+3.5，∴h=0.1．故选A． 1.已知二次函数y=(x-p)(x-q)+2，若m，n是关于x方程(x-p)(x-q)+2=0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是()A.m＜p＜q＜nB.m＜p＜n＜qC.p＜m＜n＜qD.p＜m＜q＜nC能力提升y=(x-p)(x-q)pqy=(x-p)(x-q)+2mn 2.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.(1)请你求出矩形羊圈的面积；解：(1)由题意，得羊圈的长为25m，宽为(40-25)÷2=7.5(m).故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2) 解：(2)设羊圈与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).∴当x=10时，S有最大值，此时S=200.∵200＞187.5，∴张大伯的设计不合理.应当设计羊圈与墙垂直的两边长为10m，与墙平行的一边长为20m.(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由. 3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式.故所求二次函数的解析式为y=-x2+14x.解：(1)因图象过原点，所以设函数解析式为y=ax2+bx，则解得a=-1,b=14.a+b=13,4a+2b=24 (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？解：(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49.当x=7时，y最大值=49，即第7个月的利润最大，为49万元.3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： 解：(3)没有利润，即y=-x2+14x=0，解得x1=0(舍去)，x2=14.所以第15个月，改公司开始亏损.(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损)做预测分析．3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： 4.（2020•青岛中考）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数解析式；解:(1)由题意知，∴OH＝AB＝3m，∴EO＝EH﹣OH＝1m，∴E（0，1），D（2，0），∴y＝kx2+1，把点D（2，0）的坐标代入，得.∴该抛物线的函数解析式为 4.（2020•青岛中考）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） 解（2）∵GM＝2m，∴OM＝OG＝1m.答：每个B型活动板房的成本是500元.∴每个B型活动板房的成本是 4.（2020•青岛中考）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）根据题意，得∵每月最多能生产160个B型活动板房，∵﹣2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有最大值为19200元．答：公司将销售单价定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润最大，最大利润是19200元．