第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定第3课时三角形的中位线课件（人教版八下）

第3课时三角形的中位线,新课导入我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，反过来，能否用平行四边形研究三角形呢？,学习目标1.知道什么是三角形的中位线.2.知道三角形中位线的性质.,推进新课知识点1中位线如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．ABCDE一个三角形有几条中位线？,看一看，量一量，猜一猜：DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？ABCDE,猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且DE=BC.ABCDE,ABCDEF证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CFDA.∴CFBD.∴四边形DBCF是平行四边形，∴DFBC.又DE=DF,∴DE∥BC，且DE=BC.∥=∥=∥=,三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．,练习1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？解：能在图中画出3个平行四边形，如图，连接DE，EF，FD，则四边形BFED，DECF，DFEA即为所画的3个平行四边形.,2.如图，直线l1∥l2，在l1，l2上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD.AB和CD有什么关系？为什么？解：ABCD.理由：∵l1∥l2，即AD∥BC又AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD∥=∥=,3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.怎样测出A，B两点间的距离？根据是什么？解：分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，并量出DE的长，则AB=2DE.根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.,误区诊断误区一错误认识中点四边形1.下列说法①任意四边形的四边中点的连线所形成的四边形是平行四边形；②一个四边形的四边中点的连线所形成的四边形是平行四边形，则这个四边形一定是平行四边形；③平行四边形四边中点的连线所形成的四边形是平行四边形.其中正确的是（）,错解：BCD正解：A错因分析：误认为若顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，则这个四边形一定是平行四边形.A.①③B.①②C.②③D.①②③,随堂演练基础巩固1.如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=____，DF=____，DE=____，△DEF的周长为______.5cm4cm6cm15cm,2.直角三角形的两条直角边长分别为6cm，8cm，则连接这两边中点的线段长为____cm.53.三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，6cm，则这个三角形的周长为____cm.26,综合应用4.已知：如图，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点.求证：AD与EF互相平分.(提示：连接ED，FD，先证四边形AEDF是平行四边形)证明：如图，连接ED、FD,∵E、D分别为AB、BC的中点，∴ED=AC，ED∥AC，即ED∥AF.,又∵F为AC的中点，∴ED=AF.∴四边形AEDF为平行四边形，∴AD与EF互相平分.,课堂小结ABCDE在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，DE∥BC，且DE=BC.,拓展延伸如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，试探究BO与OD的大小关系.(提示：分别取OB、OC的中点M、N)解：OB=2OD，如图，取OB、OC的中点M、N，连接EM、MN、ND.∵E、D分别为△ABC的中点，,∴ED∥BC，ED=BC,∵M、N是△OBC的中点，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN.∴四边形EDNM是平行四边形.∴OD=OM=BM.∴OB=2OD.,习题18.1复习巩固1.如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是ABCD周长的，那么BC的长是多少？解：∵AB=6，且AB的长是ABCD周长的，∴ABCD的周长是：6÷=32.又∵平行四边形对边相等，∴BC=（32–6×2）÷2=10.答：BC的长是10.,2.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板.如果光线与纸板右下方所成的∠1是75°15'，那么光线与纸板左上方所成的∠2是多少度？为什么？解：∠2=∠1=75°15'.理由：因为光线AD∥BC，纸板对边AB∥CD，所以光线与纸板所形成的四边形ABCD是平行四边形，而平行四边形对角相等，所以∠2=∠1.ADBC,3.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=36，AB=11，求△OCD的周长.解：∵ABCD的对角线互相平分，（OC=AC，OD=BD），且和为36，∴OC+OD=（AC+BD）=×36=18，又∵ABCD的对边相等，∴DC=AB=11，∴△OCD的周长=OC+OD+CD=18+11=29.答：△OCD的周长为29.,4.如图，在ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE.求证：四边形AECF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC，即AF∥EC，又∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,5.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：∵点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴FGBC，EHAD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，∴FGEH，∴四边形EFGH是平行四边形.∥＝∥＝∥＝∥＝,6.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形.∴ADEF，EFBC，∴ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形.∥＝∥＝∥＝,7.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？解：△ABC与△DBC的面积相等.理由：因为l1∥l2，所以△ABC与△DBC同底等高，面积相等.图中还能画出无数个与△ABC面积相等的三角形，凡是以BC为底，另一顶点在l1上的三角形均与△ABC面积相等.,解：分别过B、C点作BE⊥x轴于E，CD⊥x轴于D.∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，∴BC与OA之间的距离处处相等，即BE=CD=c，∵C（b,c），∴OD=b，∴B点横坐标=b+BC=b+OA=b+a.即B点的坐标为（a+b,c）.综合运用8.如图，OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0,0）,（a,0）,（b,c）.求顶点B的坐标.DE,9.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC.（1）已知∠A=∠B，求证AD=BC；（2）已知AD=BC，求证∠A=∠B.证明：（1）如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F.∵AB∥DC，DE、CF分别与AB、CD垂直，∴DE=CF，又∠A=∠B，∠DEA=∠CFB，∴△DAE≌△CBF，∴AD=BC.（2）由（1）知DE=CF，又∵AD=BC，∴Rt△DAE≌Rt△CBF，∴∠A=∠B.EF,10.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F.求∠1的大小.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，∴∠ADC=∠ABC=70°，∴AD∥BC，∵BE平分∠ABC交AD于E，∴∠ABE=∠EBC=70°÷2=35°，又∵DF∥BE，∴∠DFC=∠EBC=35°，∠1=70°-35°=35°.,11.如图，A'B'∥BA，B'C'∥CB，C'A'∥AC，∠ABC与∠B'有什么关系？线段AB'与线段AC'呢？为什么？解：∠ABC=∠B'，线段AB'=AC'.理由：∵A'B'∥BA，B'C'∥CB，C'A'∥AC，∴四边形ABCB'、四边形ABA'C、四边形C'BCA都是平行四边形，∴∠ABC=∠B'，且AB'=BC，AC'=BC，∴AB'=AC'.,12.如图，在四边形ABCD中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°.求BC的长和四边形ABCD的面积.解：在△ADO中，AD=12，DO=5，∠ADO=90°，∴AO==13，又∵AC=26.∴OC=AC-AO=13，即AO=OC，又∵DO=OB=5，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BC=AD=12，∴SABCD=10×12=120,13.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？解：有6个平行四边形.每两个相邻的正三角形均组成一个平行四边形.,拓广探索14.如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动.拨动细木条，使它随意停留在任意位置.观察几次拨动的结果，你发现了什么？证明你的发现.,解：发现了：（1）OE=OF，（2）AE=CF，（3）DE=BF，（4）S四边形ABFE=S四边形CDEF.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，∠EAO=∠FCO，又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴EO=FO.其他证明略.EF,15.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB.图中哪两个平行四边形面积相等？为什么？解：（1）平行四边形AEPH的面积与平行四边形PGCF的面积相等.理由：∵四边形ABCD、四边形EBGP、四边形PFDH都是平行四边形，,且BD、BP、DP分别是它们的对角线.∴S△ABD=S△CDB，S△EPB=S△GBP，S△PHD=S△DFP，∴S△ABD-S△EPB-S△PHD=S△CDB-S△GBP-S△DFP，即SAEPH=SPGCF.同理还有：（2）SABGH=SBEFC（3）SAEFD=SCDHG.