八年级数学（第十五章 一次函数）15.3 等腰三角形（沪科版 学习、上课资料）

15.3等腰三角形第十五章轴对称图形与等腰三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质等边三角形的性质等腰三角形的判定等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质 感悟新知知1－讲知识点等腰三角形的性质11.定理1等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图15.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.应用它的前提是在同一个三角形中. 知1－讲感悟新知特别提醒1.适用条件：必须在同一个三角形中.2.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证明角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便. 感悟新知知1－讲2.定理2等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边(简称“三线合一”).如图15.3-1，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=CD)； 知1－讲感悟新知特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才互相重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直的重要方法. 感悟新知知1－讲(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)． 感悟新知知1－讲3.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 感悟新知知1－练如图15.3-2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B、∠C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长.例1 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°. 知1－练感悟新知(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线.∴BD=BC=×3=1.5(cm).(2)在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=×(180°－100°)=40°. 感悟新知特别提醒在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直．知1－练 知1－练感悟新知如图15.3-3，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高.求证：BD=CE.例2 知1－练感悟新知解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△BEC和△CDB全等创造条件. 感悟新知解法提醒方法一是利用等腰三角形的定理1为三角形全等提供角相等的条件来解决问题.由此可得等腰三角形的性质：1.等腰三角形两腰上的中线相等.2.等腰三角形两腰上的高相等.3.等腰三角形两底角的平分线也相等.方法二是利用面积法，由此方法还可得等腰三角形的性质：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.知1－练 知1－练感悟新知证明：方法一:∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90°.在△BEC和△CDB中，∴△BEC≌△CDB.(AAS)∴BD=CE. 知1－练感悟新知方法二:∵S△ABC=AB·CE，S△ABC=AC·BD，AB=AC，∴BD=CE. 感悟新知知2－讲知识点等边三角形的性质21.定义三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 感悟新知知2－讲2.性质(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形三个内角都相等，每一个内角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线.(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. 知2－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角. 知2－练感悟新知如图15.3-4，在等边三角形ABC中，BC=8，过BC边上一点P，作∠DPE=60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．例3 知2－练感悟新知解题秘方：掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键． 知2－练感悟新知(1)在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由．解：∠BDP=∠EPC，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°.∵∠DPE=60°，∴∠DPE=∠B.∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，∴∠EPC=∠BDP. 知2－练感悟新知(2)若△PDE为等边三角形，求BD+CE的值．解：∵△PDE为等边三角形，∴PD=PE.在△BDP和△CPE中，∴△BDP≌△CPE.(AAS)∴BD=CP，BP=CE.∴BD+CE=CP+BP=BC=8． 感悟新知解法提醒等边三角形的三个角都为60°，根据此转化可得角之间的关系，这是典型的“一线三等角”型.知2－练 知2－练感悟新知如图15.3-5，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上.若DE=DB，求CE的长.例4 知2－练感悟新知解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化. 知2－练感悟新知解:∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBE=∠ABC=30°.又∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠ACB－∠E=30°.∴∠CDE=∠E. 知2－练感悟新知如图15.3-5，过点C作CF⊥DE于点F，易得△CDF≌△CEF，∴CD=CE.∵等边三角形ABC的边长为3，∴CE=CD=AC=. 感悟新知方法点拨等边三角形具有“三线合一”的性质，有时要运用的和已知的不一致，需要通过“三线合一”的性质进行转化，找出要求线段与已知线段的关系，再解答.知2－练 知2－练感悟新知如图15.3-6①，点P，Q分别是等边三角形ABC边AB，BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP交于点M．例5 知2－练感悟新知解题秘方：根据等边三角形边相等、角相等的性质，证明△ABQ≌△CAP是解题关键. 知2－练感悟新知(1)求证：△ABQ≌△CAP；证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA.又∵点P，Q同时出发且运动速度相同，∴AP=BQ.在△ABQ与△CAP中，∴△ABQ≌△CAP.(SAS) 知2－练感悟新知(2)当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；解：∠QMC的大小不变化．∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP.∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°. 知2－练感悟新知(3)如图15.3-6②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP交点为M，则∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数； 知2－练感悟新知解：∠QMC的大小不变化．易知△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP.∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°－∠PAC=180°－60°=120°． 感悟新知解法提醒等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°，为三角形全等创造了边、角相等的条件.知2－练 知3－讲感悟新知知识点等腰三角形的判定31.判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图15.3-7，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC. 感悟新知知3－讲特别提醒◆“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.◆“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等. 感悟新知2.等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即，等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.知3－讲 知3－练感悟新知[模拟·广东]如图15.3-8，在△ABC中，BD，AE分别是AC，BC边上的高，它们相交于点F，且AF=BC．求证：△ABD是等腰三角形．例6 知3－练感悟新知解题秘方：利用三角形全等即可得出BD=AD，从而利用定义判定△ABD是等腰三角形． 知3－练感悟新知证明：∵BD，AE分别是AC，BC边上的高，∴BD⊥AC，AE⊥BC.∴∠BDC=∠ADF=90°，∠DBC+∠BFE=∠DAF+∠AFD=90°.∵∠BFE=∠AFD，∴∠CBD=∠DAF.在△BCD和△AFD中，∴△BCD≌△AFD.(AAS)∴BD=AD.∴△ABD是等腰三角形． 感悟新知解法提醒掌握判定三角形是等腰三角形的两种方法是解题的关键：一是利用定义直接证明两条边相等；二是利用判定定理证明．知3－练 知3－练感悟新知[期末·上海松江区]如图15.3-9，已知在△ABD中，AB=BD，∠ADE=∠B.求证：△ADE是等腰三角形.例7 知3－练感悟新知解题秘方：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AED=∠BAD，利用等腰三角形的判定定理即可． 知3－练感悟新知证明：∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA.∵∠ADE=∠B，∠ADE+∠BAD+∠AED=180°，∠B+∠BDA+∠BAD=180°，∴∠AED=∠BAD.∴ED=AD.∴△ADE是等腰三角形． 感悟新知方法点拨根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等，所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.知3－练 感悟新知知4－讲知识点等边三角形的判定41.推论1三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图15.3-10，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形. 感悟新知知4－讲2.推论2有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图15.3-10，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形. 感悟新知知4－讲证明等边三角形的思维导图 知4－讲感悟新知特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，推论2都成立. 感悟新知知4－练[期中·天津和平区]如图15.3-11，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AF为BC边上的中线，D为AF上的一点且BD的垂直平分线过点C并交BD于点E．求证：△BCD是等边三角形.例8 知4－练感悟新知解题秘方：根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可推出BD=DC=BC，再利用等边三角形的定义得出结论． 知4－练感悟新知证明：∵AB=AC，AF为BC边上的中线，∴AF⊥BC，BF=CF，∴BD=DC.∵CE是BD的垂直平分线，∴BC=CD.∴BD=DC=BC.∴△BCD是等边三角形． 知4－练感悟新知解法提醒掌握等边三角形的三种判定方法是解此题的关键． 感悟新知知4－练[期末·西安蓝田]如图15.3-12，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B=60°，∠C=30°.求证：△ABD是等边三角形．例9 知4－练感悟新知解题秘方：根据三个角都相等的三角形是等边三角形证明即可． 知4－练感悟新知证明：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°.∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°.又∵∠B=60°，∴∠BAD=60°.∴∠B=∠ADB=∠BAD.∴△ABD是等边三角形． 知4－练感悟新知教你一招从角的角度证明三角形是等边三角形，两条思路：一是证明三角形的三个内角相等；二是求出三角形的三个内角度数都是60°. 感悟新知知4－练[期中·成都]已知：如图15.3-13，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点．例10 知4－练感悟新知解法提醒判定一个三角形是等边三角形的思路：1.若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定.2.若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定.3.若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定. 知4－练感悟新知解题秘方：先证明△ACM≌△BCN，推出CM=CN和∠NCM=60°，即可利用推论2进行判定． 感悟新知知4－练(1)求证：AD=BE；证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，(SAS)∴AD=BE． 感悟新知知4－练(2)求∠DOE的度数；解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE是等边三角形，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°，∴∠DOE=180°－(∠ADE+∠BED)=60°. 感悟新知知4－练(3)求证：△MNC是等边三角形．证明：由(1)易得∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC.又∵点M，N分别是线段AD，BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN.在△ACM和△BCN中， 知4－练感悟新知∴△ACM≌△BCN，(SAS)∴CM=CN，∠ACM=∠BCN.又∵∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=∠BCN+∠MCB=60°.∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形． 知5－讲感悟新知知识点含30°角的直角三角形的性质51.性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：如图15.3-14，在Rt△ABC中,∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB. 感悟新知知5－讲特别解读◆应用此性质，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°.二者缺一不可.◆含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据. 感悟新知2.作用应用于证线段的倍分关系和计算角度.知5－讲 知5－练感悟新知[期末·汝州]如图15.3-15，在△ADC中，AD=CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．例11 知5－练感悟新知解题秘方：通过证明三角形全等可得CE=CB.在Rt△AEC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AC的长. 感悟新知教你一招含30°角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系.知5－练 知5－练感悟新知(1)求证：CE=CB；证明：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA.∵AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠CAB.又∵CE⊥AD，CB⊥AB，∴∠AEC=∠ABC=90°.又∵AC=AC，∴△AEC≌△ABC.∴CE=CB． 知5－练感悟新知(2)若∠CAE=30°，CE=2，求AC的长度．解：∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°.在Rt△AEC中，∵∠CAE=30°，∴AC=2CE=4. 感悟新知知5－练[期末·驻马店]如图15.3-16，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．例12 知5－练感悟新知解题秘方：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证． 知5－练感悟新知证明：如图15.3-16，连接AD，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=30°.又∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∴∠DAC=90°.∴CD=2AD.又∵AD=BD，∴CD=2BD． 感悟新知方法点拨在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，关键是证明两点：一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°.知5－练 等腰三角形定义等边三角形等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边性质判定特殊