九年级数学（第21章 二次函数与反比例函数）21.3 二次函数与一元二次方程（沪科版 学习、上课课件）

21.3二次函数与一元二次方程第21章二次函数与反比例函数 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2二次函数与一元二次方程之间的关系二次函数图象法求解一元二次方程二次函数与一元二次不等式之间的关系 知识点二次函数与一元二次方程之间的关系知1－讲11.二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点，交点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. 知1－讲2.二次函数与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0与二次函数y＝ax2＋bx＋c之间的内在联系列表如下：b2－4ac的符号b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况有两个不等实根x1＝x2＝有两个相等实根x1＝x2＝－没有实根 知1－讲二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象a>0a<0抛物线与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)没有交点 知1－讲拓宽视野1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，求当y＝m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c的函数值y＝m，求自变量x的值.方程ax2＋bx＋c＝m的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m的交点的横坐标.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系密切，二者可以相互转化. 知1－练例1[中考·乐山]已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0．(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；解题秘方：由判别式即可列不等式得到答案；解：∵关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac>0，即1＋4m>0，∴m>－. 知1－练(2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图21.3-1所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．解题秘方：根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案． 知1－练解：∵二次函数y＝x2＋x－m的图象的对称轴为直线x＝－，∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x＝－对称，由图可知抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，∴另一个交点为(－2，0)，∴一元二次方程x2＋x－m＝0的解为x1＝1，x2＝－2． 知2－讲知识点二次函数图象法求解一元二次方程21.利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解(1)作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，确定图象与x轴的交点的横坐标；(2)函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解； 知2－讲二次函数图象法求解一元二次方程(3)当函数图象与x轴的交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解. 知2－讲方法提醒估计一元二次方程的解的方法：在难以读出交点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解. 知2－讲对于y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如果ax12＋bx1＋c>0，且ax22＋bx2＋c<0，那么在x1与x2之间存在一个解，取x3＝，若ax32＋bx3＋c>0，则取x4＝；若ax32＋bx3＋c<0，则取x4＝.这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止. 知2－讲2.利用二次函数y＝ax2的图象与直线y＝－bx－c的交点求方程ax2＋bx＋c＝0的解(1)将一元二次方程ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2和直线y＝－bx－c，并确定抛物线与直线的交点的横坐标；(3)交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解. 知2－练利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1).例2解题秘方：画出二次函数y＝－x2＋2x＋5的图象，利用二次函数的图象求方程的近似解. 知2－练解：整理方程，得－x2＋2x＋5＝0.作函数y＝－x2＋2x＋5的图象如图21.3-2所示. 知2－练由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在－2和－1，3和4之间，即方程－x2+2x－3＝－8的两个实数解分别在－2和－1，3和4之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解.由图象可知，当x＝3时，y>0；当x＝4时，y<0，取3和4的平均数3.5，当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3时的函数值异号，所以方程的这个解在3和3.5之间. 知2－练取3和3.5的平均数3.25，当x＝3.25时，y＝0.9375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25和3.5之间.取3.25和3.5的平均数3.375，当x＝3.375时，y＝0.359375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375和3.5之间. 知2－练由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的近似解为x1≈－1.4，x2≈3.4. 知2－练解题通法用图象法求一元二次方程的近似解：用图象法求一元二次方程的近似解时，一般先作出相应的二次函数的图象，确定其图象与x轴交点的横坐标的大致范围，即一元二次方程的解的大致范围；然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解. 知2－练特别提醒用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，通过画函数图象解一元二次方程是数的直观化的体现，但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 知3－讲知识点二次函数与一元二次不等式之间的关系3求不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y>0；求不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y<0.列表如下：(以a>0为例) 知3－讲b2－4ac的符号b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点个数 知3－讲ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根两不等实数根x1＝x2＝两相等实数根x1＝x2＝－没有实数根 知3－讲一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c＞0(a>0)x<x1或x>x2x≠－全体实数ax2＋bx＋c<0(a>0)x1<x<x无解无解 知3－讲深度理解二次函数与一元二次不等式的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分对应的自变量取值范围就是ax2＋bx＋c>0的解集，在x轴下方的部分对应的自变量取值范围就是ax2＋bx＋c<0的解集.当抛物线开口向上且与x轴无交点时，ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数，ax2＋bx＋c<0无解；当抛物线开口向下且与x轴无交点时，ax2＋bx＋c>0无解，ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数. 知3－练二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图21.3-3所示，根据图象解答下列问题：例3 知3－练(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为_____________，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________；解题秘方：根据抛物线与x轴的交点即可得出方程与不等式的解或解集；解：∵抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；不等式ax2＋bx＋c>0的解集为1<x<3.x1＝1，x2＝31<x<3 知3－练(2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______；解题秘方：结合函数图象，利用直线y＝k与抛物线有2个交点得到k的取值范围；k<2 知3－练解：∵抛物线的顶点的纵坐标为2，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝2只有一个公共点，∴当k<2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个公共点，即方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根时，满足条件的k的取值范围为k<2. 知3－练(3)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－t＝0在1<x<4的范围内有实数根，求t的取值范围．解题秘方：根据待定系数法求得抛物线的表达式，结合函数图象，写出t的取值范围． 知3－练解：设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋2，把点(1，0)的坐标代入得0＝a＋2，∴a＝－2，∴y＝－2(x－2)2＋2，把x＝4代入得y＝－6，∴t的取值范围是－6<t≤2． 知3－练特别提醒根据二次函数与一元二次不等式之间的关系，结合题目中的图象即可求解. 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程之间的关系有两个交点有一个交点没有交点有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根二次函数图象与x轴的交点个数一元二次方程根的情况