九年级数学（第21章 二次函数与反比例函数）21.5 反比例函数（沪科版 学习、上课课件）

21.5反比例函数第21章二次函数与反比例函数 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2反比例函数的定义求反比例函数的表达式反比例函数的图象反比例函数的性质反比例函数y=(k≠0)中k的几何性质建立反比例函数模型解实际问题 知识点反比例函数的定义知1－讲11.定义一般地，表达式形如y＝(k为常数，且k≠0)的函数叫做反比例函数.其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.反比例函数的表达式的三种形式①y＝，②y＝kx－1，③xy＝k.(其中k为常数，且k≠0) 知1－讲特别提醒反比例函数的表达式y＝中无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数. 知1－练例1有下列函数：①y＝x－1；②y＝；③xy＝8；④y＝＋1；⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝－；⑧y＝(a≠2，且a为常数).其中，y是x的反比例函数的有____________(填序号).①②③⑦⑧ 知1－练解题秘方：紧扣反比例函数的定义及其“三种形式”进行识别.解：①即为y＝，是反比例函数；②是反比例函数；③即为y＝，是反比例函数；④⑤不符合反比例函数的定义；⑥是正比例函数；⑦是反比例函数；⑧因为a≠2，且a为常数，所以a－2是不等于0的常数，故该函数是反比例函数. 知1－练方法提醒判断一个函数是不是反比例函数的方法：1.按照反比例函数的定义判断；2.看两个变量的表达式是否符合反比例函数的表达式的三种形式中的一种. 知2－讲知识点求反比例函数的表达式21.确定反比例函数的表达式的方法由于在反比例函数y＝(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式. 知2－讲2.用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤一般步骤设—根据题意，设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)代—把x，y的一对对应值代入y＝中，得到关于k的方程解—解方程，求出常数k写—把k的值代入反比例函数的表达式中即可写出表达式 知2－讲特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数的表达式为y＝(k为常数，且k≠0). 知2－练已知y是x的反比例函数，当x＝3时，y＝6.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)当x＝－2时，求y的值；(3)若y＝4.5，求x的值.例2解题秘方：紧扣反比例函数的表达式，用待定系数法求解. 知2－练(1)写出y关于x的函数表达式；解：由题意，设反比例函数的表达式为y＝(k≠0).把x＝3，y＝6代入表达式，得6＝，所以k＝3×6＝18.所以y关于x的函数表达式是y＝. 知2－练(2)当x＝－2时，求y的值；(3)若y＝4.5，求x的值.解：把x＝－2代入y＝，得y＝＝－9.把y＝4.5代入y＝，得4.5＝，解得x＝4. 知2－练特别提醒已知y是x的反比例函数，即x，y满足表达式y＝(k≠0)，因此要求出此反比例函数的表达式，只需求出k即可，而求k的值，只需将x，y的一对对应值代入表达式即可求出. 知2－练若反比例函数过点(3，－2)，则其表达式为_______.解题秘方：利用待定系数法进行求解即可.例3解：设反比例函数的表达式为y＝(k≠0).将(3，－2)代入可得k＝3×(－2)＝－6.所以该反比例函数的表达式为y＝－.y＝－ 知3－讲知识点反比例函数的图象31.图象的画法(描点法)(1)列表：取一些自变量的值，可在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和－1、2和－2、3和－3等．求y的值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出． 知3－讲(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点．(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交. 知3－讲2.图象的特点(1)反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象是双曲线；(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； 知3－讲(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x和直线y＝－x).示图(如图21.5-1所示)：无限接近，永不相交 知3－讲特别提醒1.由于反比例函数图象的两个分支关于原点对称，因此只要画出它在一个象限内的分支，就可以对称地画出另一个分支.2.画实际问题中的反比例函数的图象时，要考虑自变量取值范围的限制，一般地，实际问题的图象是反比例函数图象在第一象限内的一支或其中一部分. 知3－练在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝和y＝－的图象.例4解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连”的步骤作图. 知3－练解：(1)列表如下：x…－5－4－3－2－112345…y＝…－1－－－－551…y＝－…15－5－－－－1… 知3－练技巧点拨列表时，自变量的值可以以0为中心，在0的两边选择绝对值相等而符号相反的值，既可简化运算又便于描点.要尽量多取一些数据，多描一些点，方便连线. 知3－练(2)描点、连线得到如图21.5-2所示的图象. 知3－练活学巧记点越多，越精确，平滑曲线把点过；两个分支不能少，对称关系很奇妙. 知4－讲知识点反比例函数的性质4反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示.反比例函数y＝(k≠0)k的符号k>0k<0 知4－讲图象图象位置第一、第三象限第二、第四象限增减性在每一个象限内，y随x的增大而减小在每一个象限内，y随x的增大而增大 知4－讲特别提醒在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”.因为当k>0(k<0)时，整个函数不是y随x的增大而减小(增大)，而是函数在每一个象限内，y随x的增大而减小(增大)，所以笼统地说“对于函数y＝，y随x的增大而减小”是错误的. 知4－练已知反比例函数y＝(m≠0)的图象过点(－3，－12)，且反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限.例5解题秘方：紧扣“k的符号、双曲线的位置、函数的增减性三者相互依存，知一推二”这一规律解题. 知4－练解：把点(－3，－12)的坐标代入y＝，得－12＝，∴m2＝36.∴m＝±6.∵反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限，∴m<0.∴m＝－6.(1)求m的值； 知4－练解：由m＝－6知反比例函数y＝的表达式为y＝－.∵x>2，∴此部分图象在第四象限.当x＝2时，y＝－＝－3.∵在第四象限内，y随x的增大而增大，∴当x>2时，－3<y<0.(2)对于y＝，当x>2时，求y的取值范围. 知5－讲知识点反比例函数y=(k≠0)中k的几何性质51.矩形的面积如图21.5-3，过双曲线y＝上的任意一点P(x，y)分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.因为y＝，所以xy＝k.所以S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|. 知5－讲2.三角形的面积如图21.5-3，过双曲线y＝上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S△EOF＝，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为. 特别提醒1.在利用反比例函数y＝(k≠0)中k的几何性质确定k的值时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象的位置.2.因为y＝(k≠0)中k有正、负之分，所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时，都要加上绝对值符号.知5－讲 知5－练[中考·巴中]如图21.5-4，平行于y轴的直线与函数y1＝(x>0)和y2＝(x>0)的图象分别交于A，B两点，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝________．例68 知5－练解题秘方：方法一：反比例函数很多问题都可以采用设未知数求解法得到答案；方法二：过点C作CE⊥x轴于E，可根据反比例函数比例系数k的几何意义得出△OCE的面积为1，由△OCD的面积为2，得出点E为OD的中点．再证明点C是OA的中点，那么S△OAD＝2S△OCD＝4，进而求出k＝8． 知5－练解法一：设A，C，则B，D(m，0).∵S△OCD＝OD·yC＝·m·＝2，∴＝2，∴＝．又S△OCD＝S△OAD－S△ACD＝k－··(m－n)＝k＝k·＝k，∴k＝2，∴k＝8． 知5－练解法二：如图21.5-5，过点C作CE⊥x轴于点E.∵点C在双曲线y2＝上，∴S△OCE＝1.∵S△OCD＝2，∴S△ECD＝S△OCE＝1，∴点E为OD的中点.∵CE∥AD，∴点C是OA的中点，∴S△OAD＝2S△OCD＝4.∵函数y1＝(x>0)的图象过点A，AD⊥x轴，∴k＝8． 知5－练技巧点拨掌握双曲线y＝中k的几何意义是解题关键，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积的2倍即为，再考虑双曲线所在的象限即可求出结果. 知6－讲知识点建立反比例函数模型解实际问题61.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题． 知6－讲2.建立反比例函数表达式常用的两种方法(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数表达式为y＝(k为常数，且k≠0)，再求出k的值；(2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数的表达式． 知6－讲3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；(4)写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；(5)解：用函数的图象和性质去解决实际问题. 特别提醒利用反比例函数解决实际问题时应注意：分清自变量和因变量，以便写出正确的函数表达式，结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围.知6－讲 活学巧用反比例函数应用广，解决思路有两条，建立模型列方程；求表达式两方法，待定系数与变形；解决问题五步骤，审设列写后再解．知6－讲 知6－练某地区上一年度每度电价格为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调到0.55~0.75元(不包括端点值).经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例，且当x＝0.65时，y＝0.8.例7解题秘方：紧扣反比例关系，用待定系数法设形如y＝的函数表达式求解. 知6－练(1)求y与x之间的函数表达式．特别提醒这里的y与(x－0.4)成反比例，用待定系数法求出的是y与x之间的函数表达式，而不是反比例函数的表达式. 知6－练解：设y与x之间的函数表达式为y＝(k≠0).因为当x＝0.65时，y＝0.8，所以k＝(x－0.4)y＝(0.65－0.4)×0.8＝0.2.所以y＝，即y＝(0.55<x<0.75). 知6－练(2)若每度电的成本价为0.3元，当电价调至0.72元时，本年度电力部门的收益是多少元？［收益=用电量×(实际电价－成本价)］ 知6－练解：当电价调至0.72元时，本年度新增用电量为＝＝0.625(亿度)，则本年度用电量为1＋0.625＝1.625(亿度)＝1.625×108(度).所以(0.72－0.3)×1.625×108＝6.825×107(元).所以当电价调至0.72元时，本年度电力部门的收益是6.825×107元. 知6－练[一模·杭州]如图21.5-6，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N，阻力臂长为0.5m．设动力为y(N)，动力臂长为x(m)．(杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计)解题秘方：根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，正确得出y与x之间的关系是解题关键．例8 知6－练(1)求y关于x的函数表达式．解：由题意可得xy＝1200×0.5，则y＝，即y关于x的函数表达式为y＝；(2)当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？∵y＝，∴当x＝1.5时，y＝＝400，故当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力； 知6－练(3)小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为1.8m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．解：他不能撬动这块石头，理由如下：∵y＝，∴x＝，∵0<x≤1.8，∴0<≤1.8，∴y≥333.∵333>300，∴他不能撬动这块石头． 知6－练知识储备自然学科中的杠杆原理是：当动力×动力臂＝阻力×阻力臂时，杠杆保持平衡(即杠杆保持相对静止或匀速转动). 反比例函数反比例函数图象和性质求反比例函数的表达式定义性质