九年级数学（第24章 圆）24.2 圆的基本性质（沪科版 学习、上课课件）

24.2圆的基本性质第24章圆24.2.1圆 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2圆点与圆的位置关系圆的有关概念 知识点圆知1－讲11.圆的定义(1)描述性定义：在平面内，线段OP绕着它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OP的长为r叫做半径.(2)集合观点定义：圆可以看成是平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形. 知1－讲2.圆的表示法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.3.圆的特性(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)，即同圆的半径相等.(2)平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在同一个圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上. 知1－讲特别提醒确定一个圆需要“两个要素”，一是圆心：圆心定其位置；二是半径：半径定其大小.圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”.“圆上的点”指圆周上的点. 知1－练如图24.2-1，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.例1 知1－练解题秘方：找到AB的中点O(即圆心)，证明A，B，C，D四点到点O的距离相等即可. 知1－练解法提醒本题运用数形结合思想，将证明“位置关系”转化为证明“数量关系”，即将求证几个点在同一个圆上转化为证明这几个点到某点(圆心)的距离相等.“到定点的距离相等(数量关系)的点在同一个圆上(位置关系)”是证明多点共圆问题的常用方法. 知1－练证明：如图24.2-1，取AB的中点O，连接OC，OD.∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠ACB=∠ADB=90°，∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线.∴OA=OB=OC=OD.∴A，B，C，D四点在同一个圆上. 知识点点与圆的位置关系知2－讲2点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：特点等价关系点在圆外点到圆心的距离大于半径点P在圆外d>r点在圆上点到圆心的距离等于半径点P在圆上d=r点在圆内点到圆心的距离小于半径点P在圆内d<r 知2－讲特别提醒符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号的左边可以推出右边；同时从符号的右边也可以推出左边. 知2－练已知⊙O的半径r=5cm，圆心O到直线l的距离d=OD=3cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD=4cm，QD=5cm，RD=3cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？例2 知2－练解题秘方：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况.解法巧记点与圆的位置关系，d，r关系是关键.d小于r在圆内，d等于r在圆上，d大于r在圆外. 知2－练解：如图24.2-2，连接OR，OP，OQ.∵PD=4cm，OD=3cm，且OD⊥l，∴OP==5cm=r.∴点P在⊙O上.∵QD=5cm，∴OQ==cm>5cm=r.∴点Q在⊙O外.∵RD=3cm，∴OR==3cm<5cm=r.∴点R在⊙O内. 知识点圆的有关概念知3－讲3圆的相关概念的定义见下表：定义注意弦连接圆上任意两点的线段叫做弦圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦直径经过圆心的弦叫做直径 知3－讲定义注意弧、半圆、劣弧、优弧(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)大于半圆的弧叫做优弧；(4)小于半圆的弧叫做劣弧弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是优弧，也不是劣弧 知3－讲定义注意弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形不是弧等圆能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 知3－讲定义注意等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 知3－讲特别提醒1.弦与直径的关系：直径是过圆心(最长)的弦，但弦不一定是直径.2.弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.3.弦与弧的关系：(1)弦是圆上两点间的线段，圆中有无数条弦；弧是圆上两点间的部分，是曲线，圆上有无数条弧.(2)每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条:一条优弧、一条劣弧或两个半圆. 知3－练下列说法中，正确的有()①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆.A.1个B.2个C.3个D.4个例3 知3－练解题秘方：紧扣圆的相关概念进行解答.警示误区只有在同圆或等圆中才可能有等弧，等弧长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧. 知3－练解：直径是最长的弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半圆是弧，半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；只有在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故⑤正确.答案：C 圆相关概念圆两要素相关概念相关概念弦(直径)弧(半圆)等圆(等弧)圆心半径位置大小 第24章圆24.2圆的基本性质24.2.2垂径分弦 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论 知识点圆的轴对称性知1－讲1圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.(1)圆的对称轴有无数条.(2)“圆的对称轴是直径所在直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”. 知1－讲警示误区因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 知1－练[中考·张家界改编]下列图形中，不是轴对称图形的是()例1 知1－练解题秘方：由于圆的特殊轴对称性，只需判断圆内图形是否是以过圆心的直线为对称轴的轴对称图形即可.知识储备判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，使得沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，若能，这个图形是轴对称图形，否则不是. 知1－练解：A.是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.是轴对称图形．答案：B 知识点垂径定理知2－讲21.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.2.示例如图24.2-10，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，那么垂径定理可用几何语言表述为CD是直径，CD⊥AB，AE=BE，AD=BD，AC=BC︵︵︵︵ 知2－讲特别提醒“垂直于弦的直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 知2－练如图24.2-11，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2，BD=，则AB的长为()A.2B.3C.4D.5例2 知2－练解题秘方：构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求线段的长.方法提醒利用垂径定理求线段长的方法：垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用的知识，求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解. 知2－练解：如图24.2-11，连接OD.∵CD⊥AB，CD=2，∴CH=DH=.在Rt△BHD中，由勾股定理，得BH=1.设⊙O的半径为r，在Rt△OHD中，OH2+HD2=OD2，即(r－1)2+()2=r2，解得r=.∴AB=2r=3.答案：B 知2－练如图24.2-12，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC=BD.求证：△OCD为等腰三角形.例3 知2－练解题秘方：构建垂径定理的基本图形，结合线段垂直平分线的性质证明.解题通法证明线段相等、证明两线垂直、证明角相等都经常用到垂径定理.在使用垂径定理时，已知圆心，作垂直于弦的半径(或直径)或连半径，是常用的作辅助线的方法. 知2－练证明：如图24.2-12，过点O作OM⊥AB，垂足为M，则AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD，即△OCD为等腰三角形. 知识点垂径定理的推论知3－讲31.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知3－讲2.示例如图24.2-13，CD是⊙O的直径，AB是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE=BE，那么CD垂直于AB，并且AC=BC，AD=BD.可用几何语言表述为：CD是直径，AE=BE，AB不是直径CD⊥AB，AD=BD，AC=BC︵︵︵︵︵︵︵︵ 知3－讲3.弦心距圆心到弦的距离叫做弦心距. 知3－讲拓宽视野对于一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三” 知3－练如图24.2-14，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD.例4 知3－练解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.解题通法证明两条弦相等的方法：证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等.根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法. 知3－练证明：如图24.2-14，连接OM，ON，OA，OC.∵O为圆心，且M，N分别为AB，CD的中点，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°. 知3－练∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM=CN.∴AB=CD. 知3－练如图24.2-15，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，AB=120m，CD=20m，求这段弯路所在圆的半径.例5︵︵ 知3－练解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.方法点拨本题条件中出现弧的中点，根据垂径定理的推论可知连接圆心和弧的中点的线垂直平分该弧所对的弦. 知3－练解：如图24.2-15，连接OB.∵点C是AB的中点，OC是半径，∴OC⊥AB，AD=BD=AB=60m.设OB=OC=rm，在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2，∴r2=(r－20)2+602，解得r=100.答：这段弯路所在圆的半径为100m.︵ 垂径分弦圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论平分弦平分弦所对的弧垂直于弦 第24章圆24.2圆的基本性质24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2圆的旋转不变性、圆心角圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论弧的度数与该弧所对圆心角的度数的关系 知识点圆的旋转不变性、圆心角知1－讲11.圆的旋转不变性圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 知1－讲2.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.如图24.2-22，∠AOB是AB所对的圆心角，AB是∠AOB所对的弧.一条弧所对的圆心角只有一个.︵︵ 知1－讲特别提醒圆心角满足的条件：1.顶点在圆心；2.两条边和圆相交.其中“顶点在圆心”是圆心角的必备条件. 知1－练如图24.2-23，已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，则OA∶AB的值为()A.B.C.D.例1 知1－练解题秘方：过点O作垂直于弦的线段，结合勾股定理求解.教你一招特殊的圆心角所对的弦与半径之间的特殊关系：1.60°的圆心角所对的弦等于半径；2.90°的圆心角所对的弦等于半径的倍；3.120°的圆心角所对的弦等于半径的倍. 知1－练解：如图24.2-23，过点O作ON⊥AB于点N，则AN=AB.∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠A=∠B=30°.设ON=a，则OA=2a.∵OA2－ON2=AN2，∴AN=a.∴AB=2a.∴==.答案：C 知识点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理知2－讲21.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.2.示例如图24.2-24，若∠AOB=∠A′OB′，OC⊥AB，OC′⊥A′B′，则AB=A′B′，AB=A′B′，OC=OC′.︵︵ 知2－讲警示误区不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图24.2-25，两个圆的圆心相同，AB与A′B′所对的圆心角相等，但AB≠A′B′，AB≠A′B′.︵︵︵︵ 知2－练如图24.2-26，AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB.求证：BC=AE.例2︵︵解题秘方：构造圆心角，利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”证明. 知2－练证明：如图24.2-26，连接OE.∵OE=OC，∴∠C=∠E.∵CE∥AB，∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.︵︵ 知2－练技巧总结由例2的结论可知：在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等.以后若遇到圆的两条平行弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧所对的弦、圆心角、所对弦的弦心距分别相等. 知识点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论知3－讲31.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等(即“知一导三”).上述推论可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等. 知3－讲2.示例如图24.2-27，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.下列四个式子：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③AB=CD；④OE=OF.其中有一个式子成立，则其他三个式子也成立，即∠AOB=∠CODAB=CDAB=CDOE=OF.︵︵︵︵ 知3－讲图示此推论可表示为：在同圆或等圆中， 知3－练[模拟·上海]如图24.2-28，O是AD所在圆的圆心.已知点B，C将AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是()A.AC=2CDB.AC=2CDC.∠AOC=2∠CODD.S扇形AOC=2S扇形COD例3︵︵︵︵ 知3－练解题秘方：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论进行判断.解法提醒在同一个圆中，弧、弦、圆心角和弦心距中只要有一组量相等，就能推出其他几组量分别相等.线段有和差，弧也有和差. 知3－练解：如图24.2-28，连接AB，BC，OB.∵点B，C将AD三等分，∴AB=BC=CD.∴AB+BC=2CD，即AC=2CD.故A选项正确.∵AB=BC=CD，∴AB=BC=CD.∴AB+BC=2CD.∵AB+BC>AC，∴AC<2CD.故B选项不正确.︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵ 知3－练∵AB=BC=CD，∴∠AOB=∠BOC=∠COD.∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠COD.故C选项正确.∵∠AOB=∠BOC=∠COD，OA=OB=OC=OD，∴S扇形AOB=S扇形BOC=S扇形COD.∴S扇形AOC=S扇形AOB+S扇形BOC=2S扇形COD.故D选项正确.︵︵︵答案：B 知识点弧的度数与该弧所对圆心角的度数的关系知4－讲41.1°的弧把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角.因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧. 知4－讲2.圆心角的度数与它所对弧的度数的关系一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角.也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 知4－讲特别提醒弧的度数等于它所对的圆心角的度数，与圆的大小(即圆的半径的大小)无关.“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”不是指角与弧相等(角与弧是两种不同的图形)，所以不能写成“∠AOB=AB” 知4－练如图24.2-29，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若AD的度数为40°，求BE的度数.例4︵︵ 知4－练解题秘方：紧扣弧的度数与弧所对的圆心角的度数之间的关系，找出BE所对的圆心角并求出其度数是解题的关键.解法提醒弧的度数与弧所对的圆心角的度数之间可以相互转化，即已知弧的度数，可以求弧所对的圆心角的度数；已知圆心角的度数，可以求圆心角所对的弧的度数.︵ 知4－练解：如图24.2-29，连接OD，OE.∵AD的度数为40°，∴∠AOD=40°.∵CD=CO，∴∠D=∠AOD=40°.∴∠OCE=∠D+∠AOD=40°+40°=80°.∵OD=OE，∴∠E=∠D=40°.∴∠BOE=∠OCE+∠E=120°.∴BE的度数是120°︵︵ 圆心角、弧、弦、弦心距间关系圆心角弦心距弦弧 第24章圆24.2圆的基本性质24.2.4圆的确定 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2圆的确定三角形的外接圆反证法 知识点圆的确定知1－讲11.过已知点作圆作法作圆的个数图示过一点A作圆以点A以外的任意一点为圆心，以该点与点A的距离为半径作圆无数个 知1－讲作法作圆的个数图示过两点A，B作圆连接AB，作线段AB的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆无数个 知1－讲作法作圆的个数图示过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O，以O为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙O就是所求作的圆一个 知1－讲方法点拨判断不在同一直线上的任意四点是否共圆的方法：先作出经过不在同一直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则第四个点不在圆上. 2.确定一个圆的条件(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆.(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆.知1－讲“确定”是“有且只有”的意思. 知1－练[中考·江西]如图24.2-38，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A.3个B.4个C.5个D.6个例1 知1－练解题秘方：根据不共线的三点确定一个圆可得，过直线上任意2个点与点P可以画出一个圆．特别提醒确定一个圆要具备两个关键点：1.已知三个点，若已知两个点或一个点，都无法确定圆；2.三个点不在同一直线上. 知1－练解：依题意得分别过A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P都可以画出一个圆，所以最多可画出圆的个数为6个.答案：D 知识点三角形的外接圆知2－讲21.三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上.特别提醒任意一个三角形都有且只有一个外接圆，但一个圆有无数个内接三角形. 知2－讲2.三角形的外心(1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.(2)性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，且等于其外接圆的半径. 知2－讲特别提醒三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部. 知2－讲3.三角形外接圆的作法(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一顶点的距离为半径作圆即可. 知2－练如图24.2-39，在△ABC中，BC=6cm，AB=AC，∠BAC=120°.例2 知2－练巧记提醒求三角形的外接圆半径的方法：求三角形的外接圆半径时，最常用的方法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，或延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长. 知2－练(1)尺规作图：作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；解：如图24.2-40，⊙P即为所求作的圆. 知2－练(2)求△ABC的外接圆半径.解：如图24.2-40，连接PC.设AP与BC交于点M.∵BC=6cm，AB=AC，∠BAC=120°，AP是BC的垂直平分线，∴∠CAP=∠BAP=60°，BM=MC=3cm. 知2－练又∵PA=PC，∴△APC是等边三角形.∴∠MPC=60°.∵在Rt△MPC中，sin∠MPC=sin60°=，∴PC==6(cm).∴△ABC的外接圆半径为6cm. 知识点反证法知3－讲31.反证法先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法. 知3－讲2.反证法证明的步骤(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果；(3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立，从而肯定命题的结论成立. 知3－讲技巧提醒反证法主要解决不易直接证明或不能直接证明的命题，主要适用于：1.结论是否定形式的命题；2.结论是无限形式的命题；3.结论是“至多”或“至少”形式的命题. 知3－练已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B，∠C一定是锐角.例3 知3－练解题秘方：抓住“锐角”的反面有“直角”“钝角”进行假设.特别提醒在运用反证法时假设必须合理、全面，要注意命题结论的“反面”是一种情况还是多种情况.当原结论的反面不止一种情况时，需要考虑结论的反面的所有情况，并一一否定，从而得出原命题成立. 知3－练证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角.(1)若∠B，∠C是直角，即∠B=∠C=90°，则∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理矛盾，∴∠B，∠C不是直角. 知3－练(2)若∠B，∠C是钝角，即∠B=∠C>90°，则∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理矛盾，∴∠B，∠C不是钝角.综上所述，∠B，∠C一定是锐角. 圆的确定圆的确定三角形的外接圆确定圆的条件反证法