人教版七年级数学上册（第三章 一元一次方程）3.4 实际问题与一元一次方程（学习、上课资料）

3.4实际问题与一元一次方程第三章一元一次方程 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2配套问题工程问题销售问题积分问题计费问题 知识点配套问题知1－讲11.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.2.生产配套问题中的基本相等关系加工(或生产)的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比. 知1－讲3.调配问题中的基本相等关系指从甲处调一些人(或物)到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲人(或物)数+乙人(或物)数=总人(或物)数. 知1－讲知识链接1.列方程解应用题的一般步骤：设→列→解→验→答.2.配套问题中的关键词语“刚好”与“最多”要认真区别. 知1－练例1某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，2个螺栓要配3个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？解题秘方：解题的关键是找准题目中的相等关系，利用配套规则列方程求解. 知1－练解：设应安排x名工人生产螺栓，则(28－x)名工人生产螺帽.根据题意得3×12x=2×18(28－x).解得x=14，所以28－x=14.答：应安排14名工人生产螺栓，14名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套. 知1－练1-1.某服装厂生产一种运动服，已知每3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用800m长的布料生产服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？ 知1－练解：设应用xm布料生产上衣，用(800－x)m布料生产裤子．由题意得x＝800－x，解得x＝480.800－x＝320.答：应用480m布料生产上衣，320m布料生产裤子，才能恰好配套，共能生产320套． 知1－练学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？例2 知1－练解题秘方：此类问题多用列表法找相等关系.设应调往甲处x人，列表如下：原有人数增加人数现有人数甲处23x23+x乙处1720－x17+(20－x) 知1－练解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20－x)人.根据题意可得×(23+x)=17+(20－x)，解得x=17，则20－x=3.答：应调往甲处17人，调往乙处3人. 知1－练2-1.为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人，在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半，问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？ 知1－练解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据题意得2(64－x)＝56＋x，解得x＝24.答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团． 知2－讲知识点21.基本关系式工作量=工作效率×工作时间，工作时间=，工作效率=.工程问题 知2－讲2.找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，从另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程. 知2－讲特别提醒1.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看作整体1.2.常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和. 知2－练某市为打造引江枢纽风光带，将一段长为1200米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时60天.已知甲队每天整治24米，乙队每天整治16米，求甲、乙两队分别整治河道多少米.例3解题秘方：在工程问题中，工作量、工作效率、工作时间，已知一个量，设另一个量，用第三个量列方程. 知2－练解：设甲队整治河道x米，则乙队整治河道(1200－x)米.根据题意列方程，得+=60，解得x=720.则1200－x=480.答：甲队整治河道720米，乙队整治河道480米. 知2－练3-1.某地决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米，已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需要联合工作多少天？ 知2－练解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进(x－2)米．由题意得2x＋(x＋x－2)＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进7－2＝5(米)，＝10(天)．答：甲、乙两个工程队还需要联合工作10天． 知2－练检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？解题秘方：将总工作量看作整体1，等量关系为各部分的工作量之和等于总工作量1.例4 知2－练解：设乙中途离开了x天，根据题意得：×7+(7－x)+×2=1.解得x=3.答：乙中途离开了3天. 知2－练4-1.整理一批图书，由一个人做要40h完成，现计划由2人先做4h，然后增加一些人与他们一起做8h，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，应增加多少人？ 知2－练解：设应增加x人，则由题意可得×2×4＋×8(x＋2)＝1，解得x＝2.答：应增加2人． 知3－讲知识点31.在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率.销售问题 知3－讲2.相关的相等关系(1)售价=标价×；(2)利润=售价－进价；(3)利润=进价×利润率；(4)利润率=×100%. 知3－讲知识储备1.在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几.2.利润的两种计算方式是常用到的相等关系：售价－进价=进价×利润率. 知3－练例5某药店将一盒进价为100元的口罩提高60%后标价，销售时按标价打折销售，结果仍获利20%，这盒口罩销售时打几折？解题秘方：根据“利润=售价－进价”列出方程即可求解. 知3－练解：设这盒口罩销售时打x折.根据题意，得(1+60%)×100×－100=100×20%，解这个方程，得x=7.5.答：这盒口罩销售时打7.5折. 知3－练5-1.一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元.问：(1)每件服装的标价、成本各是多少元？解：设每件服装的成本是x元，则标价是2(x－20)元．根据题意得0.8×2(x－20)－x＝40，解得x＝120，所以2(x－20)＝200.答：每件服装的标价是200元，成本是120元． 知3－练(2)为保证不亏本，最多能打几折？解：120÷200＝0.6.答：为保证不亏本，最多能打六折． 知3－练[中考·泰州]某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？解题秘方：根据计算销售总额的两种方式列出方程.例6 知3－练解：设每件衬衫降价x元，根据题意，得120×400+(500－400)×(120－x)=500×80×(1+45%).解得x=20.答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 知3－练6-1.[中考·陕西]一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得，10×0.8x＝11(x－30)，解得x＝110，答：这种服装每件的标价为110元． 知3－练例7某商店将两个进价不同的豆浆机都卖了378元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，那么这家商店是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？解题秘方：根据进价高于售价则亏损，进价低于售价则盈利，进价等于售价则不盈不亏进行判断. 知3－练解：设盈利20%的豆浆机的进价为x元，由题意，得(1+20%)x=378，解这个方程，得x=315.设亏损20%的豆浆机的进价为y元，由题意，得(1－20%)y=378，解这个方程，得y=472.5.所以这两个豆浆机的进价和是315+472.5=787.5(元).因为这两个豆浆机共卖了378×2=756(元)，且756－787.5=－31.5(元)，所以这家商店是亏损的，亏损31.5元. 知3－练7-1.“双11”电商节，某商店把某种商品按进价加20%作为定价，按定价的1.5倍标价再8折出售，最终售出10件，总营业额为720元，则这次生意的盈亏情况为_________元.盈利220 知4－讲知识点4在比赛积分问题中，基本相等关系有参赛场数=胜场数+负场数+平场数；比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分.积分问题 知4－讲特别解读：(1)比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”.(2)在积分规则中，一般规律为：胜场积分>平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确. 知4－讲知识链接并不是每种比赛都按胜、平、负情况积分，有的只按胜、平两种情况积分，所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则. 知4－练例8下表是某足球联赛第一阶段小组赛(该小组共有四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛)积分表的一部分.排名球队场次胜场平场负场进球主场进球客场进球积分1A6？？11385132B6321835113C63129x5104D60061100备注积分=胜场积分+平场积分+负场积分 知4－练(1)表格中C队的主场进球数x的值为________，本次小组赛胜一场积______分，平一场积______分，负一场积_______分；解题秘方：根据表格中提供的胜、平、负的场数及对应的积分，分析出胜一场、平一场及负一场的积分.4310 知4－练(2)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元.另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元.请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金. 知4－练解：设A队胜a场，则平(6－a－1)场，根据题意列方程，得3a+(6－a－1)=13，解得a=4.则6－a－1=1.所以A队一共能获得奖金1200+150×4+50×1=1850(万元) 知4－练8-1.12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况.参赛者答对题数答错题数得分/分A200100B17379 知4－练(1)参赛学生C得72分，他答对了几道题？答错了几道题？解：根据表格得出答对一题得5分，答错一题扣2分．(1)设参赛学生C答对了x道题，答错了(20－x)道题，由题意，得5x－2(20－x)＝72，解得x＝16.则20－x＝20－16＝4.答：他答对了16道题，答错了4道题． 知4－练(2)参赛学生D说他可以得88分，你认为可能吗？为什么？解：不可能．假设他得88分，设答对了y道题，答错了(20－y)道题，由题意，得5y－2(20－y)＝88，解得y＝.因为y为整数，所以参赛学生D说他可以得88分是不可能的． 知5－讲知识点51.常见的计费问题(1)通讯计费(手机、电话、上网)；(2)水、电费计费；(3)税费计费.计费问题 知5－讲2.要解决的问题(1)利用量(时间、用电量、用水量、收入)和费用之间的关系求费用或量的大小；(2)根据计费方式设计最优、最省钱的方案. 知5－讲知识链接解决计费问题关键要分析两点：1.费用的变化主要与什么量有关.2.认清计费方式，特别注意分段收费的方式. 知5－练例9某市上网有两种收费方式，用户可任选其一：计时制——1元/时；包月制——80元/月，此外每种方式都附加通讯费0.1元/时.解题秘方：根据收费方式，即时间与费用之间的关系解决已知时间求费用或已知费用求时间的问题，并利用两种方式费用相等时的时间设计方案. 知5－练(1)某用户每月上网40小时，选哪种方式比较合算？解：如果用户每月上网40小时：计时制：40×(0.1+1)=44(元)；包月制：80+40×0.1=84(元).因为44<84，所以选计时制比较合算. 知5－练(2)某用户每月有110元钱用于上网，选哪种方式比较合算？解：设用户用110元上网，计时制可上网x小时，包月制可上网y小时，则(1+0.1)x=110，解得x=100，80+0.1y=110，解得y=300.因为100<300，所以选包月制比较合算. 知5－练(3)请你设计一个方案，使用户能合理地选择收费方式.解：设用户上网z小时，两种方式收费一样多，则(1+0.1)z=80+0.1z，解得z=80.故上网不足80小时，选计时制；上网超过80小时，选包月制；上网恰好80小时，两种方式都一样. 知5－练9-1.下表是某地移动公司推出的两种话费收费方式：方式一方式二月租费20元/月0元/月本地通话费0.10元/分0.20元/分 知5－练(1)设通话时间为x分钟，则方式一每月收费__________元，方式二每月收费________元；(2)本地通话______分钟时，两种收费方式一样；(3)当通话时间为250分钟时，选择________比较合算；当通话时间为150分钟时，选择________比较合算.(20＋0.1x)0.2x200方式一方式二 知5－练近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认识到节水的重要性.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用阶梯价格的调控手段以达到节水的目的.该市自来水收费价格见价目表(水费按月结算).例10价目表每月用水量价格不超出6m3的部分2元/m3超出6m3但不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3 知5－练解题秘方：根据收费方式中揭示的用水量与价格之间的对应关系，先确定价格，然后再确定水费. 知5－练(1)若某户居民2月份用水10.5m3，应交水费多少元？解：由题意，得2×6+4×(10－6)+8×(10.5－10)=32(元).所以应交水费32元. 知5－练(2)若该户居民3，4月份共用水16m3(4月份用水量超过3月份)，共交水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？(结果精确到0.1m3) 知5－练解：设3月份用水xm3，则4月份用水(16－x)m3.①当x≤6时，16－x≥10，依题意，得2x+2×6+4×4+8(16－x－10)=44.整理，得6x=32，所以x≈5.3，此时16－x≈10.7，符合题意. 知5－练②当6＜x≤10时，6≤16－x＜10，依题意，得2×6+4×(x－6)+2×6+4(16－x－6)=44.整理，得40=44，故此方程无解.所以6＜x≤10不可能成立.③因为4月份用水量超过3月份，所以x不可能超过10.综上所述，3月份用水约5.3m3，4月份用水约10.7m3. 知5－练10-1.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，为了提倡节约用电，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价提高20%收费.(1)某户八月份用电100千瓦时，共交电费43.20元，求a的值；解：根据题意可得0.4a＋0.4(1＋20%)·(100－a)＝43.20，解得a＝60. 知5－练(2)若该用户九月份的平均电费为0.42元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费多少元？解：设九月份共用电x千瓦时，由0.42>0.40，知x>60，可得0.42x＝0.4×60＋0.4×(1＋20%)×(x－60)，解得x＝80.0.42×80＝33.6(元)．答：九月份共用电80千瓦时，应交电费33.6元． 实际问题与一元一次方程实际问题配套工程销售积分计费建立一元一次方程模型解决