人教版七年级数学上册（第三章 一元一次方程）3.1 从算式到方程（学习、上课资料）

3.1从算式到方程第三章一元一次方程 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2方程一元一次方程列一元一次方程解方程与方程的解等式的性质 知识点方程知1－讲11.定义含有未知数的等式叫做方程.2.方程必须具备两个条件(1)是等式，等式的标志是含有“=”；(2)含有未知数，但未知数的个数不限. 知1－讲特别解读1.方程一定是等式，但等式不一定是方程.2.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示. 知1－练例1下列式子：①8－7=1+0；②x－y=x2；③x+2；④－=3；⑤x=5；⑥x－2＞1，其中是方程的有()A.2个B.3个C.4个D.5个 知1－练解题秘方：紧扣方程的“两个条件”进行判断.答案：B解：①不是方程，因为它不含未知数；③不是方程，因为它不是等式；⑥不是方程，因为它不是等式；②④⑤均满足方程的“两个条件”，是方程. 知1－练1-1.下列式子属于方程的是()A.x+5B.x－10=3C.5+6=11D.x÷12>20B 知2－讲知识点21.定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程.一元一次方程①②③ 知2－讲特别解读①②③是判断一元一次方程的三个标准，其中“元”指“未知数”“，次”指“未知数的次数”，“整式”指分母不含未知数. 知2－讲2.一元一次方程的标准形式任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax+b=0的形式.其中x是未知数，a，b是已知数，且a≠0.我们把ax+b=0叫做一元一次方程的标准形式. 知2－练例2下列各式中，哪些是一元一次方程？(1)x+y=1－2y；(2)7x+5=7(x－2)；(3)5x2－x－2=0；(4)=5；(5)x=；(6)2x2+5=2(x2－x).解题秘方：利用一元一次方程的特点进行判断. 知2－练解：(1)含有两个未知数；(2)化简后x的系数为0；(3)未知数x的最高次数为2；(4)等号左边不是整式；所以(1)(2)(3)(4)均不是一元一次方程.(5)(6)是一元一次方程.判断一元一次方程不仅要看原方程，还要看化成标准形式后未知数的系数是否为0. 知2－练2-1.在方程3x－y=2，x+－2=0，x=，x2－2x－3=0中，一元一次方程有()A.1个B.2个C.3个D.4个A 知2－练特别解读一元一次方程具有如下特点：1.只含有一个未知数.2.所含未知数的项的最高次数为1.3.是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 知2－练若(m+2)x|m|－1=4是关于x的一元一次方程，求m的值.解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的次数为1，系数不为0，据此求待定字母的值.例3解：根据题意，可得|m|－1=1，且m+2≠0.由|m|－1=1，得|m|=2.可得m=±2.由m+2≠0，得m≠－2，所以m=2. 知2－练3-1.若关于x的方程2xa－9=0是一元一次方程，则a=_________.1 知3－讲知识点31.列一元一次方程的一般步骤(1)审题：提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语(如多、少、倍……).(2)分析：理清问题中的关系，找出相等关系.(3)建模：设出未知数，并用含有未知数的式子表示相等关系中的量，将问题转化为方程，可直接或间接设未知数.列一元一次方程 知3－讲特别解读常见找相等关系的方法：1.根据周长、面积、体积公式确定相等关系；2.根据题目中的不变量确定相等关系；3.根据关键词确定相等关系. 知3－讲2.列一元一次方程的基本流程实际问题设未知数列方程一元一次方程 知3－练湖园中学的学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.敬老院有多少位老人？(只列方程)例4 知3－练解题秘方：根据题中的不变量“牛奶的总盒数”确定相等关系，列方程.解：设敬老院有x位老人.根据题意，列方程为2x+16=3x. 知3－练4-1.在国家“双减”政策出台后，同学们的课余生活更加丰富了，为迎接元旦活动，美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，这项剪纸作品任务共多少个？若设美术兴趣小组共有x人，则可列方程为_______________.5x－9＝4x＋15 知4－讲知识点41.解方程解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值.2.方程的解使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.解方程与方程的解 知4－讲特别解读1.解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果.2.方程的解可能不止一个，也可能无解.如x=1和x=2都是方程x2－3x+2=0的解，而方程|x|=－2无解. 知4－讲特别提醒：方程的解与解方程的关系(1)方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程；(2)方程的解是通过解方程求得的. 知4－练检验下列各未知数的值是不是方程5x－2=7+2x的解，并写出检验过程.(1)x=2；(2)x=3.例5解题秘方：紧扣方程的解的定义，将未知数的值代入方程左右两边，看方程左右两边的值是否相等进行检验. 知4－练解：(1)将x=2分别代入方程的左边和右边，得左边=5×2－2=8，右边=7+2×2=11.因为左边≠右边，所以x=2不是方程5x－2=7+2x的解.(2)将x=3分别代入方程的左边和右边，得左边=5×3－2=13，右边=7+2×3=13.因为左边=右边，所以x=3是方程5x－2=7+2x的解. 知4－练5-1.下列方程中解为x=2的是()A.2x=6B.－x=1C.2+x=0D.2x－1=3D 知4－练已知关于x的方程3a－x=+3的解是x=4，求a2－2a的值.解题秘方：利用方程的解的定义，将已知的解代入方程中，求出待定字母的值.例6解：把x=4代入方程3a－x=+3中，得3a－4=+3，解得a=3.当a=3时，a2－2a=32－2×3=3. 知4－练6-1.已知y=1是方程my=y+2的解，求m2－3m+1的值.解：把y＝1代入方程my＝y＋2中得m＝3，当m＝3时，m2－3m＋1＝9－3×3＋1＝1. 知5－讲知识点51.等式的性质等式的性质等式的性质文字表示用字母表示性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等如果a=b，那么a±c=b±c性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么= 知5－讲特别解读1.等式的性质变形中两个“同”：一是等式两边要进行同一种运算；二是一定是同一个数或式子.2.利用等式的性质进行变形时，除以同一个数(或式子)时，这个数(或式子)不能为0. 知5－讲2.等式的其他性质(1)对称性：若a=b，则b=a；(2)传递性：若a=b，b=c，则a=c. 知5－练下列变形不正确的是()A.若a=b，则2a=a+bB.若a=b，则a－b=0C.若=，则a=bD.若ac=bc，则a=b例7解题秘方：依据等式的两条性质进行辨析. 知5－练答案：D解：选项A的变形是利用等式的性质1，两边同加a，故正确；选项B的变形是利用等式的性质1，两边同减b，故正确；选项C的变形是利用等式的性质2，两边同乘c，故正确；选项D的变形是利用等式的性质2，两边同除以c，没有说明c≠0，故D的变形是错误的. 知5－练7-1.[中考·青海]根据等式的性质，下列各式变形正确的是()A.若=,则a=bB.若ac=bc,则a=bC.若a2=b2,则a=bD.若－x=6,则x=-2A 知5－练利用等式的性质解方程.(1)3x－2=7；(2)x+3=x－1.解题秘方：注意等式的性质在解方程中的运用，即根据题目特点，运用等式的性质，将方程变形为x=a(常数)的形式.例8 知5－练解：(1)3x－2=7，两边同时加2，得3x－2+2=7+2，即3x=9，两边同时除以3，得x=3.等式的性质1等式的性质2 知5－练(2)x+3=x－1，两边同时减3，得x+3－3=x－1－3，即x=x－4，两边同时减x，得x－x=x－4－x，即－x=－4，两边同时除以－，得x=－4÷，即x=24.等式的性质1等式的性质1等式的性质2 知5－练8-1.下列方程的变形，符合等式的性质的是()A.由2x－3=7得2x=7－3B.由2x－3=x－1得2x－x=1－3C.由－3x=5得x=5+3D.由－x=1得x=－4D 知5－练8-2.阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？2(x－1)－1=3(x－1)－1两边同时加上1，得2(x－1)=3(x－1)，第一步两边同时除以x－1，得2=3，第二步.解：错在了第二步．理由如下：方程两边不能同时除以x－1，因为x－1可能为0. 从算式到方程方程一元一次方程特例方程的解实际问题建模等式的性质