专题14 二项式定理、复数（5大易错点分析 解题模板 举一反三 易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版）

专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式的展开式的特点：①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①（） ②Ⅳ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理的问题要注意的系数为，在展开求解时不要忽略.例、已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A．B．C．6D．变式1：在的展开式中，的系数是．变式2：展开式的常数项为.变式3：的展开式中的系数为.1．的二项式展开式中的系数为（    ）A．560B．35C．-35D．-560 2．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（    ）A．6B．8C．28D．563．的展开式中的系数为（    ）A．55B．C．65D．4．若的展开式中含有常数项（非零），则正整数的可能值是（    ）A．3B．4C．5D．65．的展开式中的系数为，则实数（    ）A．2B．1C．D．6．在的展开式中，的系数为（    ）A．B．21C．189D．7．的展开式中含的项的系数为.8．已知的展开式中的常数项是672，则.9．在的展开式中，的系数为．10．的展开式中，按的升幂排列的第3项的系数为．11．在的展开式中的的系数是.12．二项式的展开式中常数项为．13．的展开式的第三项的系数为135，则．易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题） 求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、的展开式中，x的一次项的系数为（）A．120B．240C．320D．480变式1：在的展开式中，含的系数为.变式2：展开式中的系数为（用数字作答）．变式3：在的展开式中，形如的所有项系数之和是．1．的展开式中的常数项为（    ）A．588B．589C．798D．7992．在的展开式中，的系数是（    ）A．24B．32C．36D．40 3．的展开式中的系数为12，则（　　）A．B．C．D．4．的展开式中的系数为（    ）A．B．60C．D．1205．设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ）A．B．C．D．6．的展开式中，的系数为（    ）A．80B．60C．D．7．已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ）A．270B．C．330D．8．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ）A．1B．4或1C．4或0D．6或09．的展开式中项的系数为．10．展开式中，项的系数为.11．的展开式中项的系数为．12．在的展开式中，的系数为.13．的展开式中，的系数为10，则.14．展开式中的常数项为.（用数字做答） 15．展开式中含项的系数为．16．的展开式中的系数为．17．的展开式中的系数为（用数字作答）．易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题）Ⅰ：二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．2.系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取， 的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．易错提醒：二项式定理的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要令字母值为1）.例、设的展开式中，第三项的系数为36，试求含的项．变式1：求的展开式中第3项的系数和二项式系数．变式2：计算的展开式中第5项的系数和二项式系数．变式3：求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．1．在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（    ）A．第3项B．第4项C．第5项D．第3项和第4项2．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A．B．C．D．3．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ）A．常数项是B．各项系数和为C．第5项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为324．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ）A．第6项的二项式系数最大B．第6项的系数最大C．所有项的二项式系数之和为D．所有项的系数之和为15．已知2，n，8成等差数列，则在的展开式中，下列说法正确的是（    ）A．二项式系数之和为32B．各项系数之和为1C．常数项为40D．展开式中系数最大的项为80x6．下列关于的展开式的说法中正确的是（    ）A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为17．若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为.8．已知常数，在的二项展开式中的常数项为15，设，则．9．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．10．二项式的展开式中常数项为（用数字作答）.11．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则.12．的展开式中含项的系数为. 13．若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.14．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.15．已知，若展开式各项的二项式系数的和为1024，则的值为．16．已知的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x的系数为．17．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则.18．已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）Ⅰ：复数的概念①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数相等（两复数对应同一点）③复数的模：复数的模，其计算公式Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）（2） 其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥03、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0例、复数虚部是（）A.B.C.D.变式1：已知复数（为虚数单位），则的虚部为（     ）A．B．C．D．变式2：已知是虚数单位，则复数的虚部是（    ）A．B．C．D．变式3：已知复数，则复数z的虚部为，． 1．的虚部为（    ）A．4B．C．D．22．复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（    ）A．－2B．－1C．1D．23．已知，则的虚部是（    ）A．2B．C．D．4．的虚部为（    ）A．B．C．D．5．若是虚数单位，则复数的虚部为（    ）A．B．C．D．6．已知复数，则的虚部为（    ）A．－2B．－1C．6D．27．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）A．iB．1C．D．8．已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（    ）A．B．C．D．9．若复数z满足（i是虚数单位），则复数z的虚部为（    ）A．B．C．D．10．已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部是（    ）A．B．C．D．11．已知复数满足，其中是的共轭复数，则复数的虚部是（    ）A．1B．C．D．12．已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（    ）A．B．C．D． 13．已知，则z的虚部为（    ）A．B．C．D．易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算）复数的模：复数的模，其计算公式易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若，且，则最小值为（）A．2B．3C．4D．5变式1：已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为.变式2：已知为虚数单位，且，则的最大值是.变式3：已知复数满足，则的最大值为．1．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）A．B．C．D．2．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ）A．7B．6C．5D．43．若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（    ）A．B．C．D．4．若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（　　） A．1B．2C．3D．+15．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ）A．3B．4C．5D．66．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（    ）A．B．C．D．7．设复数满足，则的最大值是（    ）A．5B．6C．7D．88．已知复数z满足，则的最小值为（    ）A．1B．3C．D．9．已知复数满足，则（    ）A．的虚部为B．C．在复平面内对应的点在第四象限D．若复数满足，则10．已知复数满足，则的最大值是．11．复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为．12．若复数满足，则的最小值为.13．已知复数满足，则的最小值为.14．已知为虚数单位，且，则的最大值是．15．已知复数z满足，则的最大值是．16．设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为.17．若复数z满足，则的最小值为．