高考数学方法技巧第18讲 三角恒等变换（解析版）

第18讲三角恒等变换【高考地位】三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具.但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.方法一运用转化与化归思想万能模板内容使用场景含不同角的三角函数式类型解题模板第一步利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；第二步运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；第三步得出结论.例1已知，则的值为__________．【答案】【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式：第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变：第三步，得出结论:，故答案为.【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑．【变式演练1】已知，则（）,A．B．C．D．【来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校高三上学期8月联考数学试题【答案】A【分析】根据二倍角公式求出，结合诱导公式即可得解.【详解】由题，，.故选：A【变式演练2】【吉林省高三第二次模拟】设，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】，，，，，，，，,故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.方法二运用函数方程思想万能模板内容使用场景一般三角函数类型解题模板第一步将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程；第二步求解方程组；第三步得出结论.例2已知，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程：由可得：第二步，得出结论：所以原式，故选：B【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.【变式演练3】若函数在上单调递增，则的取值范围为（）A．B．C．D．【来源】重庆市第八中学高三下学期高考适应性月考（六）数学试题【答案】A【分析】由题意可得，再利用二倍角公式、二次函数的性质，求得的范围．【详解】,解：∵，∴，设，即有，只需要，解得.故选：A.【变式演练4】设α是第一象限角，满足，则（）A．1B．2C．D．【来源】陕西省高三下学期教学质量检测测评（六）理科数学试题【答案】C【分析】用两角和与差的正弦余弦公式展开化简，可得，结合以及角的范围，求解，，即可计算.【详解】，，∴，联立，∵设α是第一象限角，∴，，即，，∴.故选：C.方法三运用换元思想万能模板内容,使用场景一般求值题解题模板第一步运用换元法将未知向已知转化；第二步利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；第三步得出结论.例3若求的取值范围.【答案】.【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化：令，则第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换：即，所以所以，即第三步，得出结论：所以【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围.【变式演练5】【江苏省高三下学期6月高考押题】已知，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】先平方求出，再利用二倍角公式求出，即可求解.【详解】,即故答案为：【点睛】此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目.【反馈练习】1．【吉林省梅河口市第五中学高三第五次模拟】已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】首先利用二倍角公式求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角和的正弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以，解得或，因为，所以，所以故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.2．【福建省漳州市高三第一次教学质量检测】若，则（）A．或B．或,C．D．【答案】D【解析】【分析】由二倍角正切公式计算出的值，再将所求分式变形为，然后利用弦化切的思想即可求出所求分式的值.【详解】由二倍角的正切公式得，整理得，解得或，所以，.当时，原式；当时，原式.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于中等题.3．【四川省绵阳南山中学高三高考仿真模拟】已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】化简式子，可得，由平方关系求出，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果.【详解】,由因为，则，所以所以，又所以则化简可得：，所以故选：C【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题.4．【山西省晋中市高三下学期一模】已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数；再利用辅助角公式化简，根据其最值，求得即可.【详解】,由条件知，则由，得，即，解得或（舍去），则．因为，所以．则当，即时，函数取得最大值，故选：C．【点睛】本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.5．已知函数，则的值不可能是（）A．B．C．0D．2【来源】江苏省常州市前黄高级中学高三下学期学情检测（一）数学试题【答案】D【分析】将解析式进行变形可得，即可得到答案；【详解】．,，故选：D6．已知，其中是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．【来源】重庆市巴蜀中学高三适应性（九）数学试题【答案】A【分析】先由正切的二倍角公式得到，从而求得，，再由诱导公式化简即可求得答案.【详解】解：由，且是第三象限角，可得，可得：，，，因此．故选：A．7．（多选）以下式子均有意义，则下列等式恒成立的是（）A．B．C．D．【来源】专题5.8—三角恒等变换2-高三数学一轮复习精讲精练【答案】BCD【分析】利用正弦的两角和差公式即可判断选项A，利用同角三角函数关系即可判断选项B，利用弦化切以及二倍角公式即可判断选项C，利用两角和差公式以及角的变换即可判断选项D．【详解】,解：对于A，因为，，所以，故选项A错误；对于，因为，所以，故选项B正确；对于C，，所以，故选项C正确；对于D，，所以，故选项D正确.故选：BCD.8．【卓越高中千校联盟高考文科数学终极押题】已知函数，，则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】利用降幂公式、两角和差余弦公式以及辅助角公式，将所求的函数式化为余弦型函数，根据余弦函数的性质，即可求解.【详解】.,所以，当时，取最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换化简三角函数，以及余弦函数的性质，考查计算求解能力，属于基础题.9．【山西省运城市高中联合体高三模拟】，是方程的两个根，则___________.【答案】【解析】【分析】根据根与系数关系，得到，，再由两角和的正切公式，即可计算出结果.【详解】因为，是方程的两个根，所以，，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型.10．【重庆市第八中学高三6月三诊】若，且，则________.【答案】【解析】,【分析】先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程结合，解出后可求的值．【详解】由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．又，所以故答案为：【点睛】本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.11．【江苏省盐城市滨海县八滩中学高三下学期四模】已知锐角满足，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切思想可得出关于的二次方程，可解出正数的值，然后利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】,，，即，即，整理得，为锐角，所以，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及两角差的正切公式求值，利用弦化切思想求出的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.12．【黑龙江省绥化市全市普通高中高三模拟联考质量检测】已知，则________.【答案】【解析】【分析】等式平方相加得到，解得答案.【详解】由平方相加得，即.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．【普通高等学校招生全国统一考试理科数学样卷】平面直角坐标系中，点,是单位圆在第一象限内的点，，若，则为______.【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义可知，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的正余弦公式求得的值，两者相加即可得解．【详解】由题意知：，，由，得，，，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角差的正弦、余弦公式，熟记公式，属基础题.14．【广西桂林、崇左、防城港市高三联合模拟】已知，分别是的两个实数根，则_______.【答案】1【解析】【分析】,根据，分别是的两个实数根，利用韦达定理得到，再由两角和的正切公式求解.【详解】因为，分别是的两个实数根，所以，所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．【江苏省苏州市三校高三下学期5月联考】己知为锐角，若，则___________.【答案】【解析】【分析】由诱导公式将已知化简为，再由二倍角公式进一步得到，结合计算即可得到答案.【详解】由已知，，由二倍角公式，得，因为为锐角，，所以，又，所以，注意到，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.16．【安徽省黄山市高三毕业班第三次质量检测】________．【答案】2,【解析】【分析】先将原式展开，再由得到与之间关系，进而可得出结果.【详解】因为，又，所以，所以.故答案为2【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.17．【百校联盟高三开学模拟】如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，设的面积为，正方形的面积为，当固定，变化时，则的最小值是__________．【答案】【解析】，令，则，，函数在上递减，因此当时，有最小值，，此时，当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.,18．已知=，且，则__________；__________．【来源】浙江省高三高考考前模拟数学试题【答案】【分析】求出的范围可得，利用可得；利用可得第二空的答案.【详解】因为，所以，由=，所以，所以；.故答案为：①；②.19．已知为锐角，且tan，则=___________.【来源】新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学高三上学期第四次月考数学（文）试题【答案】【分析】根据诱导公式及二倍角公式化简可得，根据同角三角函数的关系，可得的值，即可得答案.【详解】,由诱导公式及二倍角公式得，因为tan，且为锐角，所以，所以.故答案为：20．已知，则______.【来源】江苏省南京市第二十九中学高三上学期8月第二次学情调研数学试题【答案】.【分析】令，则，，进而可求得结果.【详解】令，则，且，所以.故答案为：.21．设是函数的一个极值点，则______.【来源】陕西省宝鸡市陈仓区高三下学期教学质量检测（二）理科数学试题【答案】【分析】求出导函数，根据是函数的一个极值点得出，将化简为即可得出结果.【详解】因为函数，所以，因为是函数的一个极值点，,所以，，所以.故答案为：.22．已知，为锐角，且，则的最大值是___________.【来源】全国Ⅰ卷高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】【分析】由可得，两边同除以，化简得，所以，然后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，所以，两边同除以，得，所以，所以,，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故答案为：23．已知角，，若，，则___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【答案】【分析】根据的范围确定的范围，然后求出和，将变形为，结合两角和的余弦公式即可求解.【详解】∵，，∴，，又，，∴∴，，∴.,故答案为：.24．设，向量，，若，则___________.【来源】江苏省南通密卷高三模拟试卷数学试题【答案】【分析】利用二倍角公式求出的值，结合以及二倍角的正切公式可求得的值.【详解】由已知可得，所以，，，则，可得，所以，，解得.故答案为：.25．【江苏省南京师大附中高三下学期高考模拟】已知，，，且．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算公式列出与的关系式，再联立求解的值；（2）利用、的值分别求出、、，再利用余弦的差角公式求解的值.【详解】解：（1）因为，所以，所以，又，得，,因为，所以，所以．（2）由（1）知，因为，所以，；因为，，所以，因为，，所以，所以．【点睛】本题以平面向量为载体主要考察简单的三角恒等变换，难度一般，解答时要灵活运用同角三角函数关系式、和差角公式、二倍角公式等.26.【山东省高三下学期开学收心检测】在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形.【详解】选择①，证明：则由余弦降幂公式可得，即，由可得，,又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，则，，由余弦定理可知，代入可得，即，则，化简可得，即，又因为，所以为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.