人教版九年级数学 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷

第二十一章一元二次方程（单元测试卷人教版）考试时间：120分钟，满分：120分一、选择题：共10题，每题3分，共30分。1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ）A．B．C．D．2．用配方法解方程，变形正确的是（    ）A．B．C．D．3．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（    ）A．、B．、10C．8、D．8、104．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ）A．4B．C．16D．5．如果关于的一元二次方程的一个根是，那么（    ）A．或B．或C．D．6．某厂家2024年1—5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（    ）A．B．C．D．7．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）A．或B．或C．D．8．已知，是方程的两根，则的值是（    ）A．0B．C．D．6 9．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ）A．B．C．D．10．设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ）①；②；③；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题：共8题，每题3分，共24分。11．若是方程的一个根，则的值是．12．随着经济的逐渐复苏，某市今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．13．一元二次方程的两个根分别为，，则．14．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为． 15．已知是一元二次方程的一个根，则的值为．16．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为．17．若，则M的最小值为．18．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则秒后，的面积等于4．三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。19．（5分）用合适的方法解下列方程：(1)；(2)．20．（5分）阅读下面的例题：解方程解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去）当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），，∴原方程的根是，请参照例题解方程： 21．（6分）某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发托现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？22．（6分）已知关于的方程．(1)求证：无论取什么实数，方程总有实数根．(2)方程的解都为正整数，求满足条件的所有正整数的值．23．（6分）已知：，是关于的一元二次方程的两个根． (1)若，求的值；(2)在（1）的条件下，求的值．24．（6分）强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计）(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示）(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 25．（7分）已知关于x的一元二次方程，其中m为常数．(1)若是方程的一个根，求m的值；(2)当时，求该方程的根；(3)若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．26．（7分）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．(1)甲运动后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 27．（8分）阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为．已知关于x的方程：(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围．(2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值．(3)若方程的两个实数根为，且，求m的值．28．（10分）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 第二十一章一元二次方程（单元测试卷人教版）考试时间：120分钟，满分：120分一、选择题：共10题，每题3分，共30分。1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；故选：A．2．用配方法解方程，变形正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：，，，，故选：A．3．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（    ）A．、B．、10C．8、D．8、10【答案】D【详解】解：化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10，故选：D．4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4B．C．16D．【答案】A【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，，，．故选：A．5．如果关于的一元二次方程的一个根是，那么（    ）A．或B．或C．D．【答案】D【详解】解：根据题意得：，，解得：或，，，综上，，故选：D．6．某厂家2024年1—5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（    ）A．B．C．D．【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：，故选：B．7．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）A．或B．或C．D．【答案】C【详解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底边长为，腰长为，∴这个三角形的周长为，故选：．8．已知，是方程的两根，则的值是（    ）A．0B．C．D．6【答案】A【详解】解∶∵，是方程的两根，∴，，∴，故选∶A．9．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是 步，则列出的方程是（   ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是，，故选：B．10．设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ）①；②；③；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】B【详解】解：设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则方程可写成，即．对比可得，，，，可得，，，，综上可知，①②④正确，③错误，故选B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。11．若是方程的一个根，则的值是．【答案】【详解】解：∵是方程的一个根，∴，解得：．故答案为：12．随着经济的逐渐复苏，某市今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．【答案】【详解】根据题意得：，故答案为：．13．一元二次方程的两个根分别为，，则．【答案】【详解】解：∵一元二次方程中，，．故答案为：．14．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为．【答案】【详解】解：设水渠的宽度为，空地的长为：， 根据题意得：，整理得：，即，解得：，（不合题意，舍去），则水渠的宽度为，故答案为：．15．已知是一元二次方程的一个根，则的值为．【答案】【详解】解：将代入方程，得，，．故答案为1.16．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为．【答案】2023【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，，，．故答案为：2023．17．若，则M的最小值为．【答案】2【详解】解：，， ，当时，原式取最小值2，故答案为：2．18．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则秒后，的面积等于4．【答案】1【详解】解：设t秒后的面积等于4，由题意得：，则，∵，∴，整理得：，解得：，，∵点从点C到点A的时间为，∴，不合题意，舍去，∴1秒后，的面积等于4．故答案为：1．三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。19．（5分）用合适的方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：；整理得：，，或，，；（2）解：，，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．20．（5分）阅读下面的例题：解方程解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去）当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），，∴原方程的根是，请参照例题解方程：【答案】【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键．解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去）当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），．∴原方程的根是．21．（6分）某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发托现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出2件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？【答案】(1)42(2)10元【详解】（1）（件）．故答案为：42；（2）解：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为2100，根据题意，得，解得，，∵，，∴，即当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元．22．（6分）已知关于的方程．(1)求证：无论取什么实数，方程总有实数根．(2)方程的解都为正整数，求满足条件的所有正整数的值．【答案】(1)见解析(2)满足条件的正整数有1和2．【详解】（1）解：∵，∴；∴无论取什么实数，方程总有实数根；（2）解：∵，∴， ∴，，∵方程的解都是正整数，∴，解得，∴满足条件的正整数有1和2．23．（6分）已知：，是关于的一元二次方程的两个根．(1)若，求的值；(2)在（1）的条件下，求的值．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）解：由题意得，，．解，得，∴∴．（2）由（1）得方程为把代入方程得．24．（6分）强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计）(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示）(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．【答案】(1)， (2)装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为．【详解】（1）解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，正方形书法作品的边长为：，面积为：，故答案为：，；（2）解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，宽为：，装裱后长方形书法作品的面积为：，装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，即，解得：或（不符合题意，舍去），根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：，装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积，答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为．25．（7分）已知关于x的一元二次方程，其中m为常数．(1)若是方程的一个根，求m的值；(2)当时，求该方程的根；(3)若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【答案】(1)(2)，；(3)；．【详解】（1）解：是该方程的一个根，，解得：；（2）当时，原方程为，，或， ，；（3）方程有实数根，，解得，为正整数，，原方程为，，．26．（7分）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．(1)甲运动后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？【答案】(1)(2)它们运动了秒【详解】（1）解：当时，，答：甲运动后的路程是；（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，∴，整理得，，∴，解得，或（舍去）．答：它们运动了秒． 27．（8分）阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为．已知关于x的方程：(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围．(2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值．(3)若方程的两个实数根为，且，求m的值．【答案】(1)(2)，或，(3)【详解】（1）解：因为方程有两个实数根，所以，解得，所以m的取值范围是；（2）将代入方程得，，解得．当时，方程为因为，所以．当时，方程为因为，所以．综上所述，或．（3）因为方程的两个实数根为，所以． 因为，所以，即，解得．因为，所以，即m的值为．28．（10分）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．【答案】(1)(2)，(3)n的值为0或3或【详解】（1）解：方程的“快乐数为：，故答案为：；（2）解：方程， ∴，∵，∴，又方程是“快乐方程”，∴或36，∴，（舍去），∴方程为：，则，故其“快乐数”数是；（3）解：，∴，设，则，又与同奇偶，∴或或或解得或，∴方程为：或；，∴，，当时，∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴，解得：或，当时，，∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，∴，解得，综上，n的值为0或3或．