人教版八年级数学上册期末复习考点清单 专题03轴对称（5个考点清单 8种题型解读）

专题03轴对称（考点清单，5个考点清单+8种题型解读）50 【清单01】轴对称1.轴对称图形和轴对称　　（1）轴对称图形　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求归纳：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点归纳:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点归纳：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.【清单02】作轴对称图形1.作轴对称图形50 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【清单03】等腰三角形1.等腰三角形　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．　　要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性质　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　　　边”）.要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点归纳：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．50 （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【清单04】含30°角的直角三角形的性质（重点）（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．【清单05】最短路径问题（重点）1.垂直线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。2.将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．①两定一动②一定两动50 ③两定两动3.“造桥选址”问题A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．MN【考点题型一】轴对称与轴对称图形1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下面的图形是轴对称图形的是（   ）A．B．C．D．2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（）50 A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则．4．（22-23八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，点在内，点、分别是点关于、的对称点，且与、分别相交于点、，若的周长为20，求的长．【考点题型二】线段的垂直平分线50 5．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（）A．，B．，C．D．，平分6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接，若，，则．7．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．  8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，在中，，为的中点，且，已知的周长为，且，求、的长．50 【考点题型三】等腰三角形的性质与判定9．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（    ）A．1B．2C．3D．410．（21-22八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，，的平分线相交于点，过作交于点，交于点，则的周长等于．11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．(1)求的度数；(2)若，求长．50 12．（20-21八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，求的度数．【考点题型四】综合应用13．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形．(1)如图1，点D、E分别为边上的点，且．①求证：；②求的度数．(2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、50 、之间的数量关系并加以证明．(3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差．14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，连接，且，点关于的对称点为，连接，分别交于点，，(1)依题意补全图形．(2)改变的大小，在变化过程中，的大小是否发生变化？若有变化，请写出的变化范围；若不变，请求出的大小；(3)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．【考点题型五】与边或周长有关的问题15．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知等腰一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是（    ）A．15B．21C．15或21D．15或1216．（22-23八年级上·湖南常德·期末）一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为（   ）50 A．B．C．或D．17．（23-24八年级上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它的第三边的长为．18．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．(1)若腰长比底边长短，求它的三边长；(2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由．【考点题型六】与角有关的问题19．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ）A．B．C．或D．或20．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一个内角为另一个内角的2倍，那么该等腰三角形的顶角等于（    ）A．或B．C．或D．或21．（22-23八年级上·广东汕头·期末）一个等腰三角形的两个内角的和为，则它的顶角度数为．22．（21-22八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．23．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）是等腰腰上的高，且，则等腰底角的度数是多少？（画出符合题意的图形，并直接写出结果）50 【考点题型七】与高有关的问题24．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ）A．B．C．或D．或25．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点、点在线段的垂直平分线上，且，则的度数为．26．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数．【考点题型八】综合创新问题27．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．50 (1)求证：：(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．28．（21-22八年级上·吉林长春·阶段练习）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点B，C，Q，当C，Q两点重合时，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：(1)当Q在线段上时，；当Q在线段延长线上时，（用含t的代数式表示）．(2)当秒时，求S的值．(3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围．29．（23-24八年级上·吉林延边·期末）在中，，直线l过点A，且．与关于直线l对称，点B的对称点是点D，与的三边围成的图形记作图形“M”．(1)如图①，若，则的度数为_______；50 (2)如图②，点P在直线l上，且，过点P作，垂足为点F．求证：；(3)若，将直线l沿着方向向右平移1个单位长度，与、分别交于点F、G．点H在上方的直线l上，且．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，运动时间为，点P关于直线的对称点为点．①如图③，若点恰好在边上，连接，则线段的长度为______，______s；②当点落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围．50 专题03轴对称（考点清单，5个考点清单+8种题型解读）50 【清单01】轴对称1.轴对称图形和轴对称　　（1）轴对称图形　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求归纳：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点归纳:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点归纳：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.【清单02】作轴对称图形1.作轴对称图形50 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【清单03】等腰三角形1.等腰三角形　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．　　要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性质　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　　　边”）.要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点归纳：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．50 （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【清单04】含30°角的直角三角形的性质（重点）（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．【清单05】最短路径问题（重点）1.垂直线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。2.将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．①两定一动②一定两动50 ③两定两动3.“造桥选址”问题A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．MN【考点题型一】轴对称与轴对称图形1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下面的图形是轴对称图形的是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．50 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选C．2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【答案】A【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．【详解】解：和关于直线对称，∴，故①正确，和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，∴，故②正确；和关于直线对称，线段、、被直线垂直平分，直线垂直平分，故③正确；和关于直线对称，线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，∴正确的有①②③，故选：A．50 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则．【答案】90°/90度【分析】本题考查了轴对称性质．根据轴对称性质，对应的角相等，．【详解】解：与关于所在直线为对称，，，又，，．故答案为：．4．（22-23八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，点在内，点、分别是点关于、的对称点，且与、分别相交于点、，若的周长为20，求的长．【答案】【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据线段的代换即可求解．【详解】解：∵点M是P点关于的对称点，∴，∵N是P点关于的对称点，50 ∴，∴的周长，∵的周长为20，∴．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正确理解题意、熟练掌握轴对称的性质是解题关键．【考点题型二】线段的垂直平分线5．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（）A．，B．，C．D．，平分【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．【详解】解：A、∴点和点都在线段的垂直平分线上，∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意；B、∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意；C、当时，是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段的垂直平分线，故选项符合题意；D、平分，∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意；故选：C．6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接，若，，则．50 【答案】7【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键．根据的边的垂直平分线交于点D，得出，再由求解即可．【详解】解：∵的边的垂直平分线交于点D，，，∴，∴，故答案为：7．7．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．  【答案】证明过程见详解【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，利用条件证得是解题的关键．由垂直平分，可得，由D为中点，则可得，且F为的中点，则可证得结论．【详解】证明：垂直平分，，∵D为的中点，，，∵F为的中点，即,垂直平分．8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，在中，，为的中点，且，已知的周长为，且，求、的长．50 【答案】，【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握其性质．根据题意可知，然后根据，可得出、的长度．【详解】解：∵的周长为8，∴∵的垂直平分线交于点D，交于点E，∴，∴，即，∵，∴，．【考点题型三】等腰三角形的性质与判定9．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】C50 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合分析是解题的关键．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论②；根据上述证明，设，则，，，可判定结论③；根据题意可证，得到，结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④；由此即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故①正确；如图所示，过点作于点50 由①的证明可得，，则，∵，∴，∵点是CD中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故②正确；由上述证明，设，则，，，∴，∴，故③正确；∵，∴，由①可知，，，∴，，∴，∴，∵，∴，50 ∴，∴，∴，∴，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C．10．（21-22八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，，的平分线相交于点，过作交于点，交于点，则的周长等于．【答案】18【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．平行结合角平分线，推出，进而得到的周长为，即可得出结果．【详解】解：∵和的平分线相交于点D，∴，∵过点D作的平行线交于点E，交于点F，∴，∴，∴的周长为；50 故答案为：18．11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．(1)求的度数；(2)若，求长．【答案】(1)(2)4【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质得出，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，再用角的和差来计算求解；（2）由（1）得，结合等腰三角形性质得到的度数，再结合三角形外角性质得到，从而得出即可求解．【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，∴，∴．∵，，∴，∴．（2）解：由（1）得．．∵是的外角，∴，∴，∴．50 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理和外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解答关键．12．（20-21八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和外角的性质．（1）连接，根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，求得即可．（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案．【详解】（1）证明：连接，为线段的垂直平分线，．，点为的中点，为线段的垂直平分线．．．∴为等腰三角形；（2）解：，点为的中点，50 为的平分线．．．．∵为等腰三角形，．．【考点题型四】综合应用13．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形．(1)如图1，点D、E分别为边上的点，且．①求证：；②求的度数．(2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明．(3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差．【答案】(1)①证明见解析；②(2)猜想，证明见解析(3)的最大值与最小值的差为【分析】（1）①先由等边三角形的性质得到，，再根据“边角边”，证明三角形全等即可．②利用全等三角形的性质得到，再根据三角形的外角的性质即可解决问题；（2）在上取一点，使得，证明，得到50 ，据此根据线段的和差关系可证明；（3）以为边向外作等边，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进而得出的取值范围，即可得出的最大值和最小值，然后相减即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵是等边三角形，∴，，在和中，，∴；②解：∵，∴，∴；（2）解：猜想，证明如下：如图2中，在上取一点，使得，连接，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，在和中，，50 ∴，∴，∴；（3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值为，最大值为，∵，∴的最大值与最小值的差为．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系和三角形外角的性质等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，连接50 ，且，点关于的对称点为，连接，分别交于点，，(1)依题意补全图形．(2)改变的大小，在变化过程中，的大小是否发生变化？若有变化，请写出的变化范围；若不变，请求出的大小；(3)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)补全图形见解析；(2)的大小不会发生变化，；(3)，理由见解析．【分析】（）依题意补全图形即可；（）连接，，在上截取，由点关于的对称点为，则垂直平分，所以，，，，由，则垂直平分，则，故，设，则，，由内角和定理得，从而有；（）由（）得：，则，，证明，根据全等三角形的性质得，最后由和差即可求解．【详解】（1）如图，（2）的大小不会发生变化，，理由，如图，连接，，在上截取，50 ∵点关于的对称点为，∴垂直平分，∴，，，，由，则垂直平分，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，由得，∴，∴，设，∴，∴，在中，由内角和定理得，∵，∴，∴，∴，∴；（3），理由，如（）图，50 由（）得：，∴，，∴，∴，由（）得：，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【考点题型五】与边或周长有关的问题15．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知等腰一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是（    ）A．15B．21C．15或21D．15或12【答案】B50 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【详解】解：，∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为9，∴有两种情况：①3为底，9为腰，那么，则三角形的周长；②9为底，3为腰，那么，不符合题意，∴该三角形的周长是21．故选：B．16．（22-23八年级上·湖南常德·期末）一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为（   ）A．B．C．或D．【答案】D【分析】分边长为4的边为底边和腰两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．【详解】解：当边长为4的边为底边时，则这个三角形的三边为4，，，∵，∴不能构成三角形，不符合题意；当边长为4的边为腰时，则这个三角形的三边为4，4，，∵，∴能构成三角形，符合题意，∴这个等腰三角形的周长为，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，实数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．17．（23-24八年级上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它的第三边的长为．50 【答案】4或5【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．分4为腰和底边两种情况进行讨论即可．【详解】解：∵等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，∴当4为腰长时，第三边的长也是4，，满足题意；当4为底时，第三边的长是5，，满足题意；∴第三边的长为4或5．故答案为：4或5．18．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．(1)若腰长比底边长短，求它的三边长；(2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由．【答案】(1)，，(2)能，另外两条边长都是【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证．（1）设腰长为，则底边长为，由条件列出方程，求解即可；（2）分腰长为和底边长为两种情况讨论即可．【详解】（1）解：设腰长为，则底边长为，．解得．∴它的三边分别为，，．（2）解：能围成有一边长的长是的等腰三角形．理由如下：①如果长的边为底边，设腰长为，则．解得．②如果长的边为腰，则另两边长为，．∵，不符合三角形两边之和大于第三边，故不能围成腰长为的等腰三角形，综上所述，能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长都是50 【考点题型六】与角有关的问题19．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】没有说明是顶角与底角的比还是底角与顶角的比，则应该分两种情况进行分析，根据三角形的内角和定理即可求得其底角的度数．【详解】解：当底角与顶角的比是时，设底角为，顶角为，根据三角形内角和得，，解得：，即底角为；当顶角与底角的比是，设顶角为，底角为，根据三角形内角和得，，解得：，，即底角为；所以底角的度数为或．故选D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．20．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一个内角为另一个内角的2倍，那么该等腰三角形的顶角等于（    ）A．或B．C．或D．或【答案】A【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；设其中一个角的度数为，则另一个角为，分两种情况由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【详解】解：设其中一个角的度数为，则另一个角为，①顶角度数为时，则解得：，②当顶角为时，则50 ∴，则顶角为，故选：A．21．（22-23八年级上·广东汕头·期末）一个等腰三角形的两个内角的和为，则它的顶角度数为．【答案】或【分析】分两种情况：当等腰三角形的两个底角的和为时；当等腰三角形的顶角和一个底角的和为时，即可求解．【详解】解：当等腰三角形的两个底角的和为时，它的顶角度数为，当等腰三角形的顶角和一个底角的和为时，它的底角度数为，∴它的顶角度数为，综上所述，它的顶角度数为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．22．（21-22八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．【答案】图见解析，100°或70°或55°【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，综上所述，顶角为100°或55°或70°．50 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．23．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）是等腰腰上的高，且，则等腰底角的度数是多少？（画出符合题意的图形，并直接写出结果）【答案】图见解析，等腰底角的度数是或或．【分析】本题考查了等腰直角的性质，直角三角形的性质．分三种情况讨论，分别画出图形，利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：当为锐角三角形时，如图，  ∵，∴，∴；当为钝角三角形，且时，如图，  ∵，∴，∴；当为钝角三角形，且时，如图，50   ∵，∴，∴；综上，等腰底角的度数是或或．【考点题型七】与高有关的问题24．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，进行分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案是正确解答本题的关键．【详解】解：①当为锐角三角形时，如图，高与左边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为．50 故选D．25．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点、点在线段的垂直平分线上，且，则的度数为．【答案】或【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，分类计算，分点C，D在的同侧和异侧计算即可．【详解】∵点、点在线段的垂直平分线上，∴，∴，，∵，∴，，当点C，D在的同侧时，；当点C，D在的异侧时，故答案为：或．26．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数．【答案】（1）腰长为10，底边长为4；（2）这个等腰三角形的底角的度数是或【分析】（1）设，则，分两种情况：①当，时，②当，时，分别列方程求出x得到腰长，即可求出底边；50 （2）分①若是锐角三角形，②若三角形是钝角三角形两种情况求解【详解】解：（1）设，则，①当，时，则，∴，∴，，∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；②当，时，则，∴，∴，，∵，∴此时不成立．  综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；（2）在中，设于D．①若是锐角三角形，，∴底角；  ②若三角形是钝角三角形，，∴底角50   综上，这个等腰三角形的底角的度数是或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角求角度，三角形外角的性质，在解题时要注意找出等量关系是解题的关键．【考点题型八】综合创新问题27．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．(1)求证：：(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．【答案】(1)见解析(2)2或8(3)或【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论；（2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论；（3）借助（2）的结论即可得出范围．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴50 在和中，∴；（2）如图，由（1）知，，∵为直角三角形，①当时，∵，∴，②当时，即，∴，即是直角三角形时，或8.（3）∵为钝角三角形，∴当时，，②当时，．即：是钝角三角形时，或．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出．28．（21-22八年级上·吉林长春·阶段练习）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点B，C，Q，当C，Q两点重合时，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：50 (1)当Q在线段上时，；当Q在线段延长线上时，（用含t的代数式表示）．(2)当秒时，求S的值．(3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围．【答案】(1)，；(2)S的值为；(3)（）或（）【分析】此题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、用转化法求图形的面积、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键．（1）由题意可知，，，当点Q在线段上时，则，当点Q在线段的延长线上时，则；（2）当时，，设交于点F，先证明，，即可求出的面积，即S的值；（3）作于点E，则，得，先求得的面积为，再确定当重合部分为四边形时t的取值范围，用含t的代数式表示线段或的长，再用转化法表示出当重合部分为四边形时该四边形的面积，整理成用含t的式子表示S的等式即可．【详解】（1）解：如图1，∵，∴当点Q在线段上时，则，当点Q在线段的延长线上时，则，故答案为：，．（2）当时，，50 如图1，设交于点F，∵，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴S的值为．（3）如图1，作于点E，∵，∴，∴，当点P落在上时，则，当点Q与点B重合时，则，当点R与点C重合时，则，当点P落在上时，则，如图2，当时，设交于点G，∵，∴，∴，∴；∴如图3，当时，设交于点H，∵，∴，∴，∴，50 ∴，综上所述，（）或（）．29．（23-24八年级上·吉林延边·期末）在中，，直线l过点A，且．与关于直线l对称，点B的对称点是点D，与的三边围成的图形记作图形“M”．(1)如图①，若，则的度数为_______；(2)如图②，点P在直线l上，且，过点P作，垂足为点F．求证：；(3)若，将直线l沿着方向向右平移1个单位长度，与、分别交于点F、G．点H在上方的直线l上，且．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，运动时间为，点P关于直线的对称点为点．①如图③，若点恰好在边上，连接，则线段的长度为______，______s；②当点落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围．【答案】(1)55°(2)详见解析(3)①2，；②或【分析】本题主要考查了解直角三角形，轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用分类讨论和数学结合的思想求解．（1）根据与关于直线l对称，先求出的度数，即可求解．（2）根据全等三角形与图形对称，证明和即可解出．50 （3）根据条件判断出为等腰直角三角形，在分情况讨论即可求出结果．【详解】（1）解：，，与关于直线l对称，．故答案为．（2）解：，，，又，，，在和中，，，，与关于直线l对称，，．（3）解：①根据题意得，为等腰直角三角形．，，，，∵，∴，50 故答案为，②解：点落在图形“M”的内部，分两种情况讨论当在内部时，由①可得：当时，，点恰好在边，当时，，点恰好在边，故时，在内部．当在内部时，延长，交直线l于点O，同理可得，，当P点落在O点时，即当时，，点恰好在边，同理，当点恰好在边上时，∴时，在内部．综上所述，或时，点落在图形“M”的内部（不包括边界）．50