人教版九年级数学上册期末复习考点清单 专题03 旋转（4个考点清单 11种题型解读）

专题03旋转（考点清单，4个考点清单+11种题型解读）61,【清单01】旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的），如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转。【清单02】旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。【清单03】旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.【清单04】中心对称(两个图形)1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；2.性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形.(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.4.作图步骤：①连接原图形上所有的特殊点和对称中心；②将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；③将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形61,【清单05】中心对称图形(一个图形)把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.【清单06】点坐标对称1.关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点关于原点的对称点为2.关于轴对称的点的特征两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于x轴的对称点为3.关于轴对称的点的特征两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于y轴的对称点为【清单07】图案设计图案设计一般是利用图形的平移、轴对称和旋转来完成的考点题型1：判断图形的旋转【例1】（2023-24九年级上·安徽芜湖·期末）下列运动属于旋转的是（    ）A．运动员投掷标枪B．火箭升空C．飞驰的动车D．钟表的钟摆的运动【例2】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　）61,A．B．C．D．【变式1-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）下列属于旋转运动的是（        ）A．小明向北走了10米B．传送带传送货物C．电梯从1楼到10楼D．小萌在荡秋千【变式1-2】（2023-24九年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ）A．B．C．D．考点题型2：旋转三元素的判定【例3】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（    ）A．B．C．D．【例4】（2023-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为．61,【变式2-1】（2023-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ）A．点PB．点QC．点MD．点N【变式2-2】（2023-24九年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ）A．1个B．2个C．3个D．无数个【变式2-3】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，四边形是正方形，是上一点(1)旋转中心是哪一点？61,(2)旋转了多少度？(3)如果点是的中点，那么经过上述旋转后，点转到了什么位置？考点题型3：利用旋转的性质求解【例5】（2023-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ）A．B．C．D．【例6】（2023-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．【变式3-1】（2023-24九年级上·云南曲靖·期末）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（   ）61,A．B．C．D．【变式3-2】（2023-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，则的度数是（    ）A．B．C．D．【变式3-3】（2023-24九年级上·全国·期末）已知：如图，P是正方形内一点，．(1)作出绕B点逆时针旋转后的图形（不要求写作法）；(2)求的长．考点题型4：利用旋转的性质证明【例7】（2023-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．61,(1)求证：；(2)若，求的度数．【例8】（2023-24九年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，分别延长与交于点，连接、．  (1)求证：平分；(2)若，，求的长．【变式4-1】（2023-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．61,(1)如图①，求证；(2)如图②，延长交直线于点，交于点，求证；【变式4-2】（2023-24九年级下·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．(1)判断和的大小关系，并说明理由；(2)求证：；(3)求证：四边形是平行四边形．【变式4-3】（2023-24九年级下·山东菏泽·期末）如图，点E与F分别在正方形的边、上，．求证：．61,  考点题型5：平面直角坐标系中图形旋转【例9】（2023-24九年级上·全国·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（   ）A．B．C．D．【例10】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为．【变式5-1】（2023-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ）61,A．2,0B．C．D．【变式5-2】（2023-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是．【变式5-3】（2023-24九年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．(1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________；(2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________．考点题型6：图形旋转的规律问题【例11】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ）61,A．0,1B．C．1,0D．【例12】（2023-24九年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为．【变式6-1】（2023-24九年级下·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转90°得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标．【变式6-2】（2023-24九年级下·广东汕头·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到则的直角顶点的坐标为．61,【变式6-3】（2023-24九年级上·四川泸州·期末）如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为．考点题型7：中心对称【例13】（2023-24九年级上·河北保定·期末）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ）A．B．C．点A的对称点是点D．【例14】（2023-24九年级上·云南昆明·期末）如图，在坐标平面内（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度，点，，都在格点上）．61,(1)作关于原点中心对称的，并直接写出点的坐标；(2)求以，，为顶点的三角形的面积．【变式7-1】（2023-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ）A．B．C．D．【变式7-2】（2023-24九年级上·全国·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：61,(1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．(2)作出关于坐标原点O成中心对称的，并写出点的坐标．(3)判断是否可由绕某点M旋转得到．若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标．【变式7-3】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D．若，则阴影部分的面积之和为．考点题型8：中心对称图形【例15】（2023-24九年级上·全国·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）61,A．B．C．D．【例16】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等．(1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形；(2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形；(3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形．【变式8-1】（2023-24九年级上·山东德州·期末）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）  A．点B．点C．线段的中点D．线段的中点【变式8-2】（2023-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点61,关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）．A．−1,1B．C．2,0D．【变式8-3】（2023-24九年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．  (1)将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出；(2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标；(3)若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________．考点题型9：关于原点的中心对称【例17】（2023-24九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a、b的值为（  ）A．B．C．D．【例18】（2023-24九年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是．61,  【变式9-1】（2023-24九年级上·辽宁大连·期末）若点与点关于原点对称，则的值是（    ）A．3B．C．5D．【变式9-2】（2023-24九年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　）A．2.5B．3C．3.5D．4【变式9-3】（2023-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ）A．B．C．D．考点题型10：图案设计【例19】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　）A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移【例20】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中．61,(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．【变式10-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是（   ）A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移【变式10-2】（2023-24九年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________；(2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．【变式10-3】（2023-24九年级上·吉林·期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：61,(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）61,专题03旋转（考点清单，4个考点清单+11种题型解读）61,【清单01】旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的），如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转。【清单02】旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。【清单03】旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.【清单04】中心对称(两个图形)1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；2.性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形.(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.4.作图步骤：①连接原图形上所有的特殊点和对称中心；②将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；③将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形61,【清单05】中心对称图形(一个图形)把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.【清单06】点坐标对称1.关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点关于原点的对称点为2.关于轴对称的点的特征两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于x轴的对称点为3.关于轴对称的点的特征两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于y轴的对称点为【清单07】图案设计图案设计一般是利用图形的平移、轴对称和旋转来完成的考点题型1：判断图形的旋转【例1】（2023-24九年级上·安徽芜湖·期末）下列运动属于旋转的是（    ）A．运动员投掷标枪B．火箭升空C．飞驰的动车D．钟表的钟摆的运动【答案】D【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转；运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移，故选：D【例2】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　）61,A．B．C．D．【答案】B【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；B．由图形对称而得出，故本选项符合题意；C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；故选：B．【变式1-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）下列属于旋转运动的是（        ）A．小明向北走了10米B．传送带传送货物C．电梯从1楼到10楼D．小萌在荡秋千【答案】D【详解】解：A.小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；B.传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；C.电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；D.小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．故选D．【点睛】本题考查图形旋转运动，掌握旋转定义与特征，旋转中心，旋转方向，旋转角度是解题关键．【变式1-2】（2023-24九年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ）A．B．C．61,D．【答案】B【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，所以，该轨迹对应的车轮为正方形的．故选：B．【变式1-3】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意；B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意；C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意；D、图形可以通过平移得到，故不符合题意；故选B．考点题型2：旋转三元素的判定【例3】（2023-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，旋转角是或，故选：A．61,【例4】（2023-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为．【答案】【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为．故答案为：．【变式2-1】（2023-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ）61,A．点PB．点QC．点MD．点N【答案】A【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，，的垂直平分线的交点为点P，旋转中心是点P，故选：A．【变式2-2】（2023-24九年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ）A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】C【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形；以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形；以CD的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形；所以旋转中心有3个．故选：C．【变式2-3】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，四边形是正方形，是上一点(1)旋转中心是哪一点？61,(2)旋转了多少度？(3)如果点是的中点，那么经过上述旋转后，点转到了什么位置？【答案】(1)点(2)旋转角是(3)点旋转到的中点处【详解】（1）解：由图得知：经旋转后到达的位置，公共顶点是点，故旋转中心是点．（2）解：由图得知：经旋转后到达的位置，故的对应边是，∵四边形是正方形，∴，∴旋转角是．（3）解：如图，由图得知：经旋转后到达的位置，故的对应边是，∴点旋转到的中点处．考点题型3：利用旋转的性质求解【例5】（2023-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ）A．B．C．D．【答案】B61,【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，∴，，，∴，且，∴，故选：B．【例6】（2023-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．【答案】见解析【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，∴，而点在的延长线上，，∴，∴，∴．【变式3-1】（2023-24九年级上·云南曲靖·期末）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（   ）A．B．C．D．【答案】C61,【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，故选：C．【变式3-2】（2023-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，则的度数是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，∴，∵B，C，E三点在同一直线上，∴，∴．∴，故选：A．【变式3-3】（2023-24九年级上·全国·期末）已知：如图，P是正方形内一点，．(1)作出绕B点逆时针旋转后的图形（不要求写作法）；(2)求的长．61,【答案】(1)图见解析(2)3【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：由旋转可知：，∴，，∴，∴．考点题型4：利用旋转的性质证明【例7】（2023-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，∴．∵将线段绕A点旋转到的位置，∴．在与中，61,，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键．【例8】（2023-24九年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，分别延长与交于点，连接、．  (1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)见详解(2)【详解】（1）证明：由旋转得：，，，在和中61,，()，，平分．（2）解：由旋转得：，，由（1）得：，，，，，，，，，解得：，在中，，，解得：．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定及性质，面积法，勾股定理，线段垂直平分线的判定定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．【变式4-1】（2023-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．61,(1)如图①，求证；(2)如图②，延长交直线于点，交于点，求证；【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）证明：四边形是正方形，，．线段绕点顺时针旋转，得到线段，，，，．在和中，，（SAS）；（2）证明：如图，，．又，，61,；【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【变式4-2】（2023-24九年级下·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．(1)判断和的大小关系，并说明理由；(2)求证：；(3)求证：四边形是平行四边形．【答案】(1)，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）解：，理由如下：以点为中心，把逆时针旋转得到，，，为等边三角形，，为等边三角形，，，，，；（2）证明：在和中，61,，，；（3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，，，为等边三角形，，为等边三角形，，，，，，在和中，，，，由（1）可知：，由（2）可知：，又，，四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【变式4-3】（2023-24九年级下·山东菏泽·期末）如图，点E与F分别在正方形的边、上，．求证：．61,  【答案】见解析【详解】解：证明：，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图：，，，，，，，点、、共线，在和中，，，，即．  【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．61,考点题型5：平面直角坐标系中图形旋转【例9】（2023-24九年级上·全国·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（   ）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：作轴于点，如图，由题意，得：，，∵∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴点的坐标为；故选C．【例10】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为．61,【答案】或【详解】解：∵，，∴，设点A的对应点为点E，点B的对应点为F，如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H，由旋转的性质可得，∴，∴，∴；如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得；综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或，故答案为：或．【变式5-1】（2023-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，正的边在61,轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ）A．2,0B．C．D．【答案】D【详解】解：令点和点旋转后的对应点分别为和，过点作轴的垂线，垂足为，由旋转可知，是等边三角形，且边长为2，，轴，，则．在中，，所以点的坐标为．故选：D．【变式5-2】（2023-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是．【答案】61,【详解】解：作轴于，点的坐标为，，，∴，，，，∴．故答案为：．【变式5-3】（2023-24九年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．(1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________；(2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________．【答案】(1)见解析；(2)见解析；61,【详解】（1）解：如图1所示，△即为所求．由图可得，点，故答案为：；（2）解：如图2所示，即为所求．由图可得，点，故答案为：．考点题型6：图形旋转的规律问题【例11】（2023-24九年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ）61,A．0,1B．C．1,0D．【答案】A【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置，∵，∴的坐标和点的坐标重合，∴点的坐标是0,1；故选A．【例12】（2023-24九年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为．【答案】【详解】解：∵，∴，∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，∴，∴第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转，∴第2025次旋转结束时，点对应点与点A关于原点对称，61,∴点对应点的坐标为．故答案为：．【变式6-1】（2023-24九年级下·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转90°得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标．【答案】【详解】解：是等腰直角三角形，，，，将绕原点顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转90°得到等腰三角形，且，依此规律，每4次循环一周，，，，，，点与同在一个象限内，，，，点．故答案为：．【变式6-2】（2023-24九年级下·广东汕头·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到则的直角顶点的坐标为．61,【答案】【详解】解：点、，，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：，，∴的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，，∴的直角顶点的坐标为．故答案为．【变式6-3】（2023-24九年级上·四川泸州·期末）如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为．【答案】【详解】解：∵，且点C为的中点，∴点C的坐标为，即，根据题意有，第1次旋转结束时点C的坐标为；第2次旋转结束时点C的坐标为：61,第3次旋转结束时的坐标为；第4次旋转结束时点G的坐标为；　　第5次旋转结束时点C的坐标为；⋯⋯⋯所以，每旋转4次，回到原来的位置，所以，第2026次旋转结束时点的坐标为，故答案为：考点题型7：中心对称【例13】（2023-24九年级上·河北保定·期末）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ）A．B．C．点A的对称点是点D．【答案】D【详解】解：∵与'关于O成中心对称，∴，，点A的对称点是点，，故A，B，C正确，D不正确．故选：D．【例14】（2023-24九年级上·云南昆明·期末）如图，在坐标平面内（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度，点，，都在格点上）．61,(1)作关于原点中心对称的，并直接写出点的坐标；(2)求以，，为顶点的三角形的面积．【答案】(1)图见解析，的坐标为(2)12【详解】（1）解：如解图，即为所求，点的坐标为；（2）由（1）得点，连接，的面积为．【变式7-1】（2023-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ）61,A．B．C．D．【答案】C【详解】∵该图是一个中心对称图形，∴，∵，，，∴，∴，故选：．【变式7-2】（2023-24九年级上·全国·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．(2)作出关于坐标原点O成中心对称的，并写出点的坐标．(3)判断是否可由绕某点M旋转得到．若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标．61,【答案】(1)见解析，点的坐标；(2)见解析，点的坐标；(3)见解析，点M的坐标．【详解】（1）解：如图，即为所求，点C1的坐标；（2）解：如图，即为所求，点的坐标；（3）解：如图，点M即为所求，点M的坐标．61,【变式7-3】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D．若，则阴影部分的面积之和为．【答案】12【详解】解：如图，过点作于点F，过点A作于点E，∵于点D．，∴四边形是矩形，∴，同理可知，四边形是矩形，∴61,∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，∴，图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和＝长方形的面积．故答案为：12．考点题型8：中心对称图形【例15】（2023-24九年级上·全国·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【例16】（2023-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等．(1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形；(2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形；61,(3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：∵平行四边形是中心对称图形，∴将线段向右平移两个单位，即可得到平行四边形，作图，如下，（2）解：∵等腰梯形是轴对称图形，∴以线段为腰，作等腰梯形，作图，如下，（3）解：∵正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，∴以线段为一边，做正方形，作图，如下．【变式8-1】（2023-24九年级上·山东德州·期末）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）61,  A．点B．点C．线段的中点D．线段的中点【答案】D【详解】解：∵此图形是中心对称图形，∴对称中心是线段的中点．故选：．【变式8-2】（2023-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）．A．−1,1B．C．2,0D．【答案】D【详解】解：∵点关于点的对称点，∴，∴，，61,∴，同理可得点，，，，，…∴点P每6次一循环，∵∴点与点坐标相同，即．故选：D．【变式8-3】（2023-24九年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为．  (1)将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出；(2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标；(3)若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求；  61,（3）如图，点的坐标是．故答案为：．考点题型9：关于原点的中心对称【例17】（2023-24九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a、b的值为（  ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：∵点与点关于原点对称，∴，解得：，故选：D．【例18】（2023-24九年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是．  【答案】【详解】解：由图可知，点A位于第二象限，∵轴于点E，轴于点F，且，，∴，∴点A的坐标是，点A关于原点的对称点的坐标是；故答案为：．61,【变式9-1】（2023-24九年级上·辽宁大连·期末）若点与点关于原点对称，则的值是（    ）A．3B．C．5D．【答案】D【详解】解∶∵点与点关于原点对称，∴，，∴，故选∶D．【变式9-2】（2023-24九年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　）A．2.5B．3C．3.5D．4【答案】D【详解】解：∵一次函数的图象经过一三四象限，∴一次函数的图象y轴向上平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称，∴平移后的函数的解析式为，∵直线经过点，该点关于原点的对称点为，将代入，得，解得，即平移后解析式为，可以化为：，所以一次函数的图象y轴向上平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称，或一次函数的图象x轴向左平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称，故选：D．【变式9-3】（2023-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ）A．B．61,C．D．【答案】C【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限，∴点在第三象限，∴，解不等式①得，，解不等式②得，，在数轴上表示如下：．故选：C．考点题型10：图案设计【例19】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　）A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移【答案】D【详解】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换，图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移．故选：D．【例20】（2023-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中．61,(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：如图1所示：（2）解：如图2所示：（3）解：如图3所示：61,【变式10-1】（2023-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是（   ）A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移【答案】D【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．故选：D．【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．【变式10-2】（2023-24九年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________；(2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．61,【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；故答案为：是轴对称图形；是中心对称图形；（2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：【变式10-3】（2023-24九年级上·吉林·期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图：61,（2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图：【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．61