沪科版九年级数学上册期末复习考题猜想 专题01 二次函数（易错必刷30题6种题型）

专题01二次函数（易错必刷30题6种题型专项训练）目录【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题）1【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题）3【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题8【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题17【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题28【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题386262【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题）1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是．2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是．3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为．4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为．5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则．【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题）6．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（    ）A．图像开口向下B．图像经过原点C．当时，随的增大而减小，则D．当时，随的增大而增大7．（22-23九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（，为常数，且），关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ）62 A．抛物线的对称轴为直线B．若，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧C．若点，在抛物线上，且，，则D．若点在抛物线上，则8．（21-22九年级上·天津河北·期末）已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）①当时，随的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数，总有，则．A．①②B．①③C．①②③D．①③④9．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知自变量为的函数，下列结论：①当自变量时，函数值；②自变量在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与轴有公共点；④无论何值，图象经过两个定点．其中正确结论有（填写序号）10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过点；②；③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为：④若是方程的两个根，其中，则．其中正确的是．（填写序号）【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．62 (1)求该抛物线的函数表达式；(2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值；(3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．12．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值；(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．62   (1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点，过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标；(3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下，当线段的长度最大时，求的最小值．14．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，B4,0，与y轴交于点C，P为上方抛物线上一动点，过P作垂直于x轴的直线l交线段于点F．(1)求出二次函数和所在直线的表达式；(2)在动直线l移动的过程中，试求线段长度的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使的面积等于的面积，若存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题15．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、B4,0两点，且．62 (1)求抛物线解析式；(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．16．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点C0,−3  (1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为P，求的面积(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．(1)求的面积；(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．62 18．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点．(1)求抛物线的表达式．(2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积．(3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？19．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值．【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题20．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点．62 (1)求抛物线解析式．(2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．21．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a．(1)已知点，求抛物线的解析式．(2)若，①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值；②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由．22．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．62 ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积．②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．23．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标；(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．24．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．(1)试求抛物线的解析式；(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题25．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是62 A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是．(1)求A，C两点的坐标．(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．(3)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及面积的最大值．26．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．  (1)求抛物线的表达式；(2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；(3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围．27．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线．62 (1)求抛物线的顶点坐标；(2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为．①当满足_______时，随的增大而增大；②直接写出的函数表达式；③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标．28．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．29．（23-24九年级上·云南昆明·期末））如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点．(1)求二次函数解析式；62 (2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值．30．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和（点在点的左侧）．①平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式；②平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长；③设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值．62 专题01二次函数（易错必刷30题6种题型专项训练）目录【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题）1【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题）3【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题8【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题17【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题28【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题386262【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题）1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是．【答案】【知识点】根据二次函数的定义求参数【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其图象为抛物线，据此即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是．【答案】【知识点】根据二次函数的定义求参数【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可．【详解】解：由题意得：，且，62 解得：，故答案为：3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为．【答案】2【知识点】根据二次函数的定义求参数【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵是二次函数，∴，解得：，∴；故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为．【答案】【知识点】根据二次函数的定义求参数【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数，、、为常数）叫二次函数．利用二次函数定义可得，且，再解即可．【详解】解：由题意得：，且，解得：，故答案为：．5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则．【答案】【知识点】根据二次函数的定义求参数【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如62 是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案．【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：．【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题）6．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（    ）A．图像开口向下B．图像经过原点C．当时，随的增大而减小，则D．当时，随的增大而增大【答案】C【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】二次函数化成顶点式为，再根据二次函数的性质进而求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线，选项A正确，不符合题意；∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大，选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意；把代入，得，∴抛物线经过，该函数图象经过原点，选项B正确，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．7．（22-23九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（，为常数，且），关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ）A．抛物线的对称轴为直线B．若，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧62 C．若点，在抛物线上，且，，则D．若点在抛物线上，则【答案】D【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】将解析式化为顶点式，得出对称轴为直线，即可判断A选项，令，则，根据判别式，即可判断B选项，根据已知条件，可得，根据抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，即可判断C选项，根据顶点坐标，可得函数最小值，进而判断D选项．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确；令，则，，若，，，∴则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧，故B选项正确；抛物线开口向上，若点，在抛物线上，且，，则，，∴，故C选项正确；∵，顶点坐标为，，抛物线开口向上，若点在抛物线上，则故D选项错误，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．8．（21-22九年级上·天津河北·期末）已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）①当时，随的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数，总有，则．62 A．①②B．①③C．①②③D．①③④【答案】D【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：①：∵二次函数为非零常数，，，又∵当时，随的增大而增大，∴，开口向下，∴当时，随的增大而减小，故①正确；②：∵二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，，若图象经过点，则，得，，∴，故②错误；③：又∵对称轴为直线，，∴，∴若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则，故③正确；④若图象上两点，对一切正数n，总有，，∴该函数与x轴的两个交点为，∴，解得，62 故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知自变量为的函数，下列结论：①当自变量时，函数值；②自变量在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与轴有公共点；④无论何值，图象经过两个定点．其中正确结论有（填写序号）【答案】③④/④③【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，将代入，即可判断①，，函数为，是一次函数，无最大或最小值，故②错误，分，根据一次函数与二次函数的性质，即可判断③，根据得出图象必过定点．即可判断④．【详解】（1）当时，①错误．（2）当，函数为，是一次函数，无最大或最小值．∴②错误．（3）若，则，与轴有公共点．若，则③正确．（4）．当时，；当时，．图象必过定点．∴④正确．10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过点；②；③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为：④若是方程的两个根，其中，则．62 其中正确的是．（填写序号）【答案】①②④【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可．【详解】解：①抛物线经过点，，，当时，，该抛物线一定经过，故此项正确；②由①得：，，，，，，，故此项正确；③抛物线的对称轴为直线，，当时，，解得，或，故此项错误．④抛物线，对称轴为直线，抛物线经过点，，62 ∵是方程的两个根，其中，，所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标，，∴，故此项正确，故答案为：①②④．【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值；(3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当P点运动到时，最大值为(3)存在，H点的坐标为或或或【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式；（2）过点P作轴交于点E，根据题意推出，62 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，最终利用函数法求最值；（3）分为边和对角线两种情况，进行讨论求解，先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，即，，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：由（1）知，当时，，，，是等腰直角三角形，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，，P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点E，设，则，，其中，∵，∴，∵，62 ∴为等腰直角三角形，∴当时，最大值为，此时；（3）解：平移后的函数解析式为，将与联立，得，解得两条抛物线交点M的坐标为−2,3，如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，，，，，，解得，设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：，解得，；同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，，62 ，解得，即，设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：，解得；如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设，，，解得，，即，，设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：，解得，；设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：，62 解得，；综上可知，H点的坐标为或或或【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．12．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值；(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为直线(2)当时，的最大值为4(3)存在，M的坐标是或【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、利用菱形的性质求线段长【分析】（1）设抛物线的表达式为，根据抛物线与x轴交点可得交点式，化简即可求解；62 （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值；（3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，因为抛物线与x轴交于点，，所以，则抛物线的对称轴为直线；（2）解：设直线的表达式为：，将点B的坐标代入上式得，解得，故直线的表达式为，设点，则点，则，，故有最大值，当时，的最大值为4；（3）解：存在，理由：当时，点，设点，而点；四边形是菱形，则，即，，解得：，即点M的坐标为或．62 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键．13．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．  (1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点，过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标；(3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下，当线段的长度最大时，求的最小值．【答案】(1)(2)1，(3)【知识点】等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、利用二次函数对称性求最短路径【分析】（1）先确定点A的坐标为，再结合等腰直角三角形的性质可得，然后运用待定系数法即可解答；（2）先用待定系数法可得的函数解析式为，设、，则，然后化成顶点式求最值即可；（3）先确定点，过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短时，最后运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：∵为等腰直角底边上的高，的顶点为点A，62 ∴A的坐标为，∴，∵为等腰直角底边上的高，∴，∴．把代入，解得：，∴抛物线的解析式为即．（2）解：设直线的函数解析式为，∵，∴的函数解析式为．设，，  ，∴当时，最大为1，∴．（3）解：∵在抛物线上，∴．∵是此抛物线的对称轴，∴过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短，;∴最短．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、求函数解析、求函数最值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．62 14．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，B4,0，与y轴交于点C，P为上方抛物线上一动点，过P作垂直于x轴的直线l交线段于点F．(1)求出二次函数和所在直线的表达式；(2)在动直线l移动的过程中，试求线段长度的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使的面积等于的面积，若存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数的表达式为：，所在直线的表达式为：；(2)的最大值为，此时点P的坐标为；(3)存在，，，．【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为，则，由待定系数法求出所在直线的表达式即可（2）设点的横坐标为．可得，，则，再利用二次函数的性质可得答案；（3）由的面积等于的面积，可得点Q与点C的到x轴的距离相等，所以点Q的纵坐标为，代入二次函数关系式，分别求解即可．【详解】（1）解：将点，，代入，得：，解得：，62 二次函数的表达式为：，当时，，，设所在直线的表达式为：，将、代入，得：，解得：，所在直线的表达式为：；（2）解：设点的横坐标为．，，，∴当时，的最大值为，此时点P的坐标为．（3）解：∵的面积等于的面积，∴点Q与点C的到x轴的距离相等，，∴点Q的纵坐标为，∴，解得：（舍去），∴点Q坐标为，，．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、三角形的面积；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题15．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、B4,062 两点，且．(1)求抛物线解析式；(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．【答案】(1)(2)【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是：（1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可；（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解．【详解】（1）解∶∵B4,0，∴，∵，∴，∴，把、B4,0、代入，得，62 解得，∴抛物线解析式为；（2）解：，∴抛物线的对称轴为，如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；∵、两点关于对称，∵，，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴．16．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点C0,−362   (1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为P，求的面积(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)1(3)存在，点Q坐标为：【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解；（3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时，的周长最小，求出直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，∴设抛物线的解析式为：，将点C0,−3代入得：，解得a=−1，∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）得，∴顶点坐标，∵，62 ∴的面积为：；（3）解：连接与直线交于点Q，  ∵点A与点B关于对称，∴，∴的周长为，∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为，∵设直线的解析式为：，代入得：，解得，∴直线的解析式为：，当时，y=−1，∴点Q坐标为：．17．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．(1)求的面积；(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使62 的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．【答案】(1)6(2)存在，【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质，根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则，，利用三角形面积公式求解即可；联立方程求得点，利用勾股定理即可求得．连接、，结合对称性可知，则、、三点共线时，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为：，利用对称轴即可求得点P．【详解】（1）解：令，即，解得或∴，，则，当时，，∴C0,−3，，∴．（2）存在这样的点，理由如下，联立，解得或，∴，∵，∴．62 连接、，如图，则∵∴．∴当、、三点共线时，有最小值，设直线的解析式为：，则，解得，则直线的解析式为：，∵时，，∴．18．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点．62 (1)求抛物线的表达式．(2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积．(3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？【答案】(1)(2)(3)【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、列一次函数解析式并求值、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）把、两点的坐标代入求出和的值即可求出抛物线的解析式；（2）先得出点的坐标为，再结合三角形面积公式，以为底，到的距离为，代入面积公式计算，即可作答．（3）易得关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为点M，连接，运用待定系数法解的解析式为，令，则，即可作答．此题考查了二次函数图象上的坐标特征，待定系数法求函数的解析式；轴对称性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：连接，如图所示：62 当时，，故点的坐标为，，两点的纵坐标相同，轴，点到的距离为，．（3）解：∵，，，∴关于对称轴对称，∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接，此时周长最小，∵，，设的解析式为，把和分别代入，得出，解得，∴的解析式为，令，则，∴．62 19．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值．【答案】(1)(2)【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用二次函数对称性求最短路径【分析】本题主要考查待定系数法，二次函数图像的图像和性质，勾股定理以及利用轴对称求最短路径，熟练掌握二次函数图像的图像和性质是解题的关键．（1）将代入函数解析式即可求出答案；（2）利用轴对称求最短路径的相关概念，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点，得到即可求出答案．【详解】（1）解：将代入二次函数，得：，解得，故二次函数的解析式为；（2）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点，，62 ，由图像可知，，E为的中点，E点坐标为，的平分线交于点D，，故得，由勾股定理，得，，．【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题20．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点．62 (1)求抛物线解析式．(2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．【答案】(1)(2)，【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)【分析】（1）根据题意可得，点与点关于对称，可得，设抛物线解析式为，运用待定系数法即可求解；（2）根据题意，设，如图所示，过点作轴交于点，则，可得，再根据三角形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法可得，由此即可求解．【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，∴，由抛物线的对称性可知：点与点关于对称，∴点的坐标为，∵抛物线过，∴可设抛物线解析式为，又∵抛物线过点C0，2，∴，62 ∴，∴．（2）解：的解析式为，点为直线上方的抛物线上的一点，设，如图所示，过点作轴交于点，∴∴，∴，∴当时，的面积有最大值是，∴，此时点坐标．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，几何图形面积的计算方法，图形结合分析的方法是解题的关键．21．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a．62 (1)已知点，求抛物线的解析式．(2)若，①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值；②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由．【答案】(1)(2)①；②在①的条件下，的面积不是最大，理由见解析【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，根据二次函数求最值，二次函数面积问题等知识．（1）直接把点代入抛物线解析式即可得出m的值，则可得出抛物线解析式．（2）①若，则，求出，B，C点的坐标，设点，然后用待定系数法求出的解析式，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得，可得出，再证明是等腰直角三角形，进一步得出，则，再利用二次函数的性质即可得出当，取得最大值．②在①的条件下，，可得出当时，的面积最大，即可得出结论．【详解】（1）解：把点代入得，∴，∴抛物线的解析式为，62 （2）①若，则，∴抛物线与x轴交于点，B4,0，与y轴交于点，设点设直线BC的解析式为，∴解得：，∴直线的解析式为，如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得，∴，由B4,0，可知∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴当时，取得最大值∵，符合题意，取得最大值时，．②在①的条件下，的面积不是最大，理由如下：由①可知．∵，62 ∴当时，的面积最大．22．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积．②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)①3；②存在满足条件的点，其坐标为或．【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识．（1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式；（2）①由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积；②设，则可用表示出的面积，可得到的方程，则可求得点坐标．【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、，，解得，抛物线解析式为；（2）解：①，，且，设直线解析式为，则有，62 解得，直线解析式为，设对称轴交于点，如图1，则，，；②设，由①可知，，，，解得或，点坐标为或，即存在满足条件的点，其坐标为或．23．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，．62 (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标；(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或或【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)【分析】（1）将，代入，利用待定系数法求解；（2）求出直线的解析式为，作轴交于点H，设，则，列出关于p的二次函数关系式，即可求解；（3）设点N的坐标为，分别考虑当点N在x轴上方时，以及当点N在x轴下方时，利用建立一元二次方程求解，即可解题．【详解】（1）解：将，代入，得：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：当时，，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为，62 如图，作轴交于点H，设，则，，，，当时，取最大值，最大值为，此时点P的坐标为；（3）解：，，，，，；设点N的坐标为，当点N在x轴上方时，，，整理得，解得，点N的坐标为或；62 当点N在x轴下方时，，，整理得，解得，点N的坐标为或；综上可知，点N的坐标为或或或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，抛物线中三角形面积的最值问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．24．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．(1)试求抛物线的解析式；(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(2)P点坐标为或(3)m有最小值，【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形62 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．（1）根据待定系数法即可求出函数解析式；（2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解．（3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可．【详解】（1）解：由，，得，即，把A，B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：作轴交于M点，如图1由，得的解析式为，设P点坐标为．的长为，，；由，得62 ．化简，得，解得，点坐标为或；（3）解：m有最小值，理由如下：在上作，如图2作关于对称轴的对称点，连接，取得最小值为．在中，由勾股定理，得，．【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题25．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是．(1)求A，C两点的坐标．(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．(3)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及62 面积的最大值．【答案】(1)(2)；(3)存在，面积有最大值，P点坐标为．【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移的性质，分割法求三角形面积是解题的关键．（1）用待定系数法求函数的解析式，再根据图象上点的坐标特点求A、C的坐标；（2）根据D点的平移情况确定函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，即可求平移后的函数解析；（3）过点P作轴交于点Q，设，则，可得，当时，的面积有最大值，此时P点坐标为．【详解】（1）解：将点代入，∴，解得，∴抛物线的解析式为，∵，∴，当时，，解得或，∴；（2）当时，，∴，∵平移后D点到A点位置，∴函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，62 ∴；（3）存在点P，使的面积最大，理由如下：设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，过点P作轴交于点Q，设，则，∴，∴当t时，的面积有最大值，此时P点坐标为．26．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．  (1)求抛物线的表达式；(2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点62 的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；(3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)或；(3)【知识点】求关于原点对称的点的坐标、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数的平移、点的平移、关于原点对称的点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）将代入求得a的值即可解答；（2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标；（3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，然后求解即可．【详解】（1）解：将代入中可得，，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）解：设，则将点P向上平移2个单位长度得到点，∴，∵关于原点对称的点的坐标为，∴，解得，或．（3）解：∵∴平移后的抛物线解析式为，62 ∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴，解得，，．27．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为．①当满足_______时，随的增大而增大；②直接写出的函数表达式；③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标．【答案】(1)(2)①；②；③或【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）①画出二次函数平移后的草图即可得出结论；②对于二次函数的平移，需要在顶点式的基础上进行，左右平移只针对，依据左加右减即可得出结论；③根据草图可知的对称轴为直线，两点关于直线对称，，又因点是线段的三等分点，所以可分为两种情况，和62 ，将线段长度代入即可求得点的坐标．【详解】（1）解：，抛物线的顶点坐标为．（2）①由题意可知，的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大，；②的表达式为，当时，的图像向右平移2个单位长度，函数解析式为：，当时，，的表达式为；③如图，由题意可知，的对称轴为直线，两点关于直线对称，两点关于直线对称，，，由平移得，，当时，即，62 解得，此时点的坐标为，当时，即，解得，此时点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质（增减性、对称性）、二次函数草图的画法、求解二次函数的顶点式、平移对二次函数图像及解析式的影响，根据题意画出相对应二次函数的草图是解题的关键．28．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．【答案】(1)抛物线表达式为(2)存在，(3)或【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键．（1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可；62 （2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可；（3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，∴，∴设抛物线表达式为，将代入得，∴抛物线表达式为；（2）存在点，使的面积最大．过点作轴于，交直线于点，设，则，由题意得：，故，∴当时，最大．此时，，∴；（3）∵，∴对称轴为直线，设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时，∵∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移362 个单位得到点，∴且，∴或，∴或．29．（23-24九年级上·云南昆明·期末））如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点．(1)求二次函数解析式；(2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值．【答案】(1)(2)存在，(3)点，，【知识点】二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题)【分析】（1）根据题意列方程得到，解方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到，求得，解方程组得到点、的坐标分别为、，根据勾股定理即可得到结论；62 （3）设点，则点，由（2）知，点、的坐标分别为、，求得直线的表达式为，得到点，，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，，，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，时，，，，，二次函数解析式为；（2）存在；，点是二次函数图象的顶点，，，联立两个函数表达式得，解得或，即点、的坐标分别为、，由点，，的坐标，得，，，是斜边，，解得，；62 （3）设点，则点，由（2）知，点、的坐标分别为、，由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为，由题意得：，解得：，所以直线的表达式为，当时，，故点，，面积，，故面积有最大值，此时，故点，，当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，故点，则的最大值．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用直角三角形的勾股定理是解题的关键．．30．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和（点在点的左侧）．①平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式；62 ②平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长；③设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值．【答案】(1)抛物线的顶点坐标(2)①；②的长为；③关于的函数表达式为，的最小值是【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式即可求解；（2）①依题意得出，设平移后的抛物线为，将点代入解析式即可求解；②根据二次函数图象的对称性得出，，即可求解；③点的横坐标为，由②可得，根据，得，设平移后的解析式为，将点代入得，根据勾股定理得出即关于的函数表达式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∴顶点坐标；（2）解：①∵，点的横坐标为，令，∴，∵平移后的抛物线顶点在直线上，设平移后的抛物线为，将点代入得，，62 解得：，∴抛物线解析式为②∵，对称轴为直线∵点的横坐标为，关于对称，则，关于对称，则，∵点在点的左侧∴∴的长为；③∵点的横坐标为，由②可得，∵，则解得，∴平移后的抛物线顶点在直线上，设，设平移后的解析式为，将点代入得，∴即∵∴表达式为62 ∴当时，取得最小值为，即的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，求顶点坐标，线段长度问题，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键．62