初中数学新人教版七年级下册7.1.2 两条直线垂直教案（2025春）

7.1.2两条直线垂直【素养目标】1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离.【教学重点】掌握垂直中角度和位置的双重含义；理解垂线的基本事实并会利用所学知识进行简单的推理；理解“垂线段最短”，并能运用于生活实际.【教学难点】过直线上（外）一点作已知直线的垂线，对点到直线的距离的理解.【教学过程】活动一：回顾旧知，新课导入在前面我们学习了两条直线相交形成的四个角，这四个角形成了4对邻补角和2对对顶角.大家还记得邻补角和对顶角的定义吗？如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线有怎样的特殊关系？下面的图片是日常生活中存在这种关系的一些实例.今天我们就来研究这个问题.[教学建议]教师带领学生回顾相交线的知识，以所成角的特殊情况引入对垂直的探究.[设计意图]回顾相交线所成的角，以生活实例引入垂直的概念.活动二：问题引入，自主探究探究点1认识垂线和垂直问题在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化.在b转动的过程中，当∠α=90°时，木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？其他三个角的度数都是90°.概念引入：一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.[教学建议]学生动手探究两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相[设计意图]通过对相交线模型的探究，引入垂线的相关知识.由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直.如图，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.这个推理过程可写成什么形式？因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程.因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°.这说明垂直的定义具有双重含义.请找出“活动一”图片中互相垂直的直线.学生自行回答即可.[对应训练]1.教材P6练习第1题.2.如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（C）A.40°B.45°C.50°D.55垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.[设计意图]探究点2垂线的基本事实(垂线的性质1)问题如图，现有一条已知直线l，用三角尺或量角器分别过直线上一点A和直线外一点B，画l的垂线，这样的垂线你能画出几条？通过实际操作，我们得出：经过直线上一点能画1条直线与已知直线垂直；经过直线外一点能画1条直线与已知直线垂直.3 归纳总结：将上述结论合并在一起，我们得到关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例1（教材P5例2）如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.解：如图所示.[对应训练]1.下列说法正确的有（B）①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知[教学建议]学生独立思考并动手操作，教师总结常规画法.画垂线的方法多种多样，对于学生使用的其他正确的方法，教师应予以肯定与鼓励.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可以在线段（射线）上，也可以在线段的延长线（射线的反向延长线）上.通过回顾垂线的画法，引入对垂线性质的探究.直线垂直；③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.教材P6练习第2题.[设计意图]探究点3垂线的性质2——垂线段最短如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？对于这个问题，我们可以将其简化为求点P到直线l的最短路线.对此，我们进行如下探究：如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O.A是直线l上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？PO的长度小于PA的长度.改变点A的位置后，测量各线段的长度，比较得出：线段PO的长度最短，即当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是过点P作直线l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.归纳总结：如果我们规定，当PO⊥直线l时，线段PO为点P到直线l的垂线段，即可得出如下结论（垂线的性质2）：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.问题1我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形有什么区别与联系？垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.问题2以前我们学习过两点之间的距离，大家还记得怎样才能得到两点之间的距离吗？测量连接两个点的线段的长度.问题3类比两点之间的距离，一个点到一条直线的距离又该如何确定？确定点到直线的距离，应该测量点到直线的垂线段的长度.概念引入：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.[对应训练]1.现在，你知道本探究点中如何挖渠能使渠道最短吗？解：应从点P处向河岸作垂线，这样得到的垂线段即为最短的渠道.2.教材P6练习第3题.[教学建议]教师先引导学生将实际问题抽象成几何图形，然后通过图形探究垂线的性质，得出结论，最后可让学生举例说明“垂线段最短”在日常生活中的应用.教师也可以利用几何画板构图，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系，让学生有更直观地感受.对于“点到直线的距离”应强调说明：距离指的是长度，是一个数量，而垂线段是图形，两者不能混淆.以实际生活问题为例，引出垂线段及点到直线的距离的概念并探究其性质.活动三：重点突破，提升探究例2如图，直线AB,CD相交于点O，MO⊥AB于点O.(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;3 (2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数.解：(1)因为MO⊥AB,所以∠AOM=90°.所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.(2)由已知条件∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.由邻补角的定义，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.[对应训练]如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于点O.（1）若∠COF=50°，求∠COE的度数；（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度数.解：（1）因为FO⊥AB，所以∠AOF=90°.因为∠COF=50°，所以∠AOC=∠AOF-∠COF=90°-50°=40°.由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.（2）因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.因为∠AOD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=36°.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.教师应提醒学生注意：垂直和直线夹角成90°是相互对应的关系，但两者存在一定的区别，垂直是两条直线的位置关系，90°是角的度数.[设计意图]利用垂直的定义，结合邻补角、对顶角等知识解决角度问题.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是垂线？如何用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线？垂线的基本事实是什么？2.“垂线段最短”和点到直线的距离的含义是什么？垂线段和垂线之间有哪些区别和联系？【作业布置】1.教材P8习题7.1第2，3，4，6，8题.3