初中数学新人教版七年级下册第十章二元一次方程组教案（2025春）

第十章　二元一次方程组10.1　二元一次方程组的概念【素养目标】1.认识二元一次方程和二元一次方程组，体会二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型.2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会检验所给的一对未知数的值是否为二元一次方程或二元一次方程组的解.3.会求二元一次方程的正整数解.【教学重点】理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义.【教学难点】1.感知二元一次方程解的不确定性和二元一次方程组解的确定性.2.求二元一次方程的正整数解.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]回顾方程知识，为突破本课时重难点做准备.同学们，在七年级上册，我们学习了一元一次方程，你还记得什么是一元一次方程吗？“元”“次”分别表示什么含义？请举例说明.一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.如：2x＋3＝5，y＋6＝8.用一元一次方程可以解决许多实际生活问题.请大家思考教材P87引言中的问题，对于此类含有两个未知量的问题，我们能否根据题意设出两个未知数，并列出方程解决问题呢？本节课我们将对该问题进行探究与学习.[教学建议]学生代表独立回答，教师提示并总结，引出二元一次方程(组)的有关知识.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]以实际问题为例，进行分析探究，引入二元一次方程(组)的概念.探究点1　认识二元一次方程(组)某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？问题1　问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系？①大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数；②大型采棉机1h采摘面积＋小型采棉机1h采摘面积＝1h采摘总面积.问题2　设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝6，2x＋y＝8表示.问题3　上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？这两个方程都含有两个未知数，左边都是整式，所含未知数的项的次数都是1.与一元一次方程的不同点：比一元一次方程多一个次数为1的未知数，即有两个未知数.概念引入：一个方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋y＝6和2x＋y＝8.把这两个方程合在一起，写成x＋y＝6，2x＋y＝8，就组成了一个方程组.[教学建议]22 学生独立思考并完成相应的问题，教师引导学生一起得出二元一次方程和二元一次方程组的概念.在识别二元一次方程(组)时，应提醒学生注意二元一次方程(组)的三个特征：①“二元”，即方程(组)中含有两个未知数；②(方程组中的两个)方程的两边都是整式；③“一次”，即方程(组)所含未知数的项的次数都是1.概念引入：一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.[对应训练]1.下列方程中，是二元一次方程的是（D）A.3x－2y＝4zB.6xy＋9＝0C.1x＋4y＝6D.4x＝y－242.下列方程组中，是二元一次方程组的是(A)[设计意图]结合问题中未知数的实际意义，列举出所有满足方程的未知数的值，引入二元一次方程(组)的解的概念.探究点2　二元一次方程(组)的解下面我们继续来探究上个探究点中的问题.问题1　满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中.结合问题的实际意义，采棉机台数均为正整数.x12345y543212x＋y7891011如果不考虑方程x＋y＝6与前面实际问题的联系，那么x＝－1，y＝7；x＝0.1，y＝5.9；…也都是这个方程的解.概念引入：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.问题2　一个一元一次方程有几个解？一个二元一次方程呢？一个一元一次方程只有一个解，一个二元一次方程有无数对解.问题3　结合在上表中填入的x，y的值，计算2x＋y的值并填在表中.上表中哪对x，y的值同时满足方程2x＋y＝8.x＝2，y＝4同时满足方程2x＋y＝8.x＝2，y＝4既满足方程x＋y＝6，又满足方程2x＋y＝8.也就是说，x＝2，y＝4是方程x＋y＝6与方程2x＋y＝8的公共解.我们把x＝2，y＝4叫作二元一次方程组x＋y＝6，2x＋y＝8的解，这个解通常记作x＝2，y＝4.概念引入：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.问题4　请联系上面的问题，确认这个种棉大户租用了多少台大、小型采棉机.这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.[对应训练]1.教材P90习题10.1第1题.2.若x＝2，y＝5是关于x，y的方程kx－2y＝－2的一个解，则k的值为4.[教学建议]学生独立思考并完成表格，教师引导学生得出二元一次方程(组)的解的概念，加深对该概念的理解.二元一次方程组的解的特点：①是一对数值，即x＝a，y＝b.②同时满足方程组中的每一个方程.活动三：重点突破，提升探究[设计意图]22 以实际问题为例，让学生独立完成由实际问题建立方程模型，并结合实际意义求方程组的解的过程.例　观察小红与小明的对话，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，确定成人、儿童的人数.解：设成人的人数为x，儿童的人数为y.根据题意，得x＋y＝8，5x＋3y＝34.①②因为x，y均表示人数，所以x，y都是非负整数.在方程①中，满足条件的x，y的值有x012345678y876543210经验证，x＝5，y＝3也是方程②的解.则二元一次方程组的解是x＝5，y＝3.答：他们去了5个成人，3个儿童.[对应训练]教材P89练习.[教学建议]学生分小组讨论解答.教师适时引导学生根据问题的实际意义确定未知数的取值.通常此类问题中未知数是非负整数(或正整数)，要具体问题具体分析.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.如何判断一个方程(组)是不是二元一次方程(组)?2.如何判断一对数值是不是二元一次方程(组)的解？【作业布置】1.教材P90习题10.1第2，3，4，5题.10.2　消元——解二元一次方程组10.2.1　代入消元法第1课时　用代入消元法解简单的二元一次方程组【素养目标】1.了解解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”，“化复杂为简单”的化归思想.2.了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步骤.3.会用代入消元法求简单的二元一次方程组的解.【教学重点】了解代入法的一般步骤，会用代入法解简单的二元一次方程组.【教学难点】对代入消元法解方程组的过程的理解.【教学过程】活动一：回顾旧知，新课导入[设计意图]回顾上节课的内容，为引入新课做准备.在上节课中，我们探究了教材P87的问题，通过设租用的大型采棉机的台数为x，小型采棉机的台数为y，结合问题中的相等关系，列出了二元一次方程组x＋y＝6，2x＋y＝8.①②之后我们又结合未知数的实际意义，通过逐一尝试的方法，找出了方程组的解.很明显这种方法较为受限且求解过程比较烦琐，那有没有一种简单的方法解方程组呢？这节课我们继续研究怎样解二元一次方程组.[教学建议]教师直接列举不适合列表求公共解的实际问题，激发学生探究方程组其他解法的兴趣.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]将解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，引入将“二元”转化为“一元”的“消元”思想，总结出用代入消元法解二元一次方程组的步骤.探究点　用代入法解简单的二元一次方程组问题1　对于教材P87的租用大、小型采棉机问题，你能否列一元一次方程求解？设这个种棉大户租用了大型采棉机x台，则租用了小型采棉机(6－x)台.22 根据题意，得2x＋(6－x)＝8.③解得x＝2.则6－x＝4.这个种棉大户租用了大型采棉机2台，小型采棉机4台.问题2　对于教材P87的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程组得到所列出的一元一次方程③吗？方程①可以写为y＝6－x，因为方程①②中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把方程②中的y换为6－x，即可得到方程③.解方程③，得x＝2.把x＝2代入y＝6－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解.概念引入：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.例1　(教材P92例1)用代入法解方程组　问题1　选择哪个方程进行变形会比较简便，为什么？选择方程①进行变形会比较简便，因为方程①中x，y的系数的绝对值都是1.问题2　用含y的式子表示x，写出解答过程.问题3　问题2中的方程③可以代入方程①吗？为什么？不能.把方程③代入方程①后，会得到不含未知数的恒等式3＝3，无法继续求解.方程③由方程①变形得到，不能代入原方程.问题4　问题2中的y＝－1代入方程①或方程②，能求得x的值吗？能.代入方程①，②还需要进一步变形才能求得x的值，代入方程③更简便.问题5　方程①能否用含x的式子表示y来求解？试试看.能.解：由①，得y＝x－3.③把③代入②，得3x－8(x－3)＝14.解这个方程，得x＝2.把x＝2代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是x＝2，y＝－1.例2　(教材P92例2)用代入法解方程组3x－5y＝3，①2x－y＝16.②分析：方程②中y的系数是－1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比较简便.解：由②，得y＝2x－16.③把③代入①，得3x－5(2x－16)＝3.解这个方程，得x＝11.把x＝11代入③，得y＝6.所以这个方程组的解是x＝11，y＝6.[对应训练]教材P93练习第1，2题.[教学建议]学生分组讨论合作完成问题，感悟探究过程中所蕴含的化归思想.教师适时予以提示或指导，最终引导学生得出代入消元法的概念.[教学建议]教师注意规范学生的解题格式，并强调二元一次方程组的解是一对，应写成x＝a，y＝b的形式.在用代入法解二元一次方程组时，若未知数的系数比较复杂，可将求得的解回代入方程组进行检验.活动三：重点突破，提升探究[设计意图]将二元一次方程组的解与解二元一次方程组结合，加深对概念的理解，强化解方程组的方法的应用.例3　已知x＝2，y＝1是二元一次方程组mx＋ny＝8，nx－my＝1的解，求m，n的值.解：把x＝2，y＝1代入原方程组中，22 得到关于m，n的二元一次方程组2m＋n＝8，2n－m＝1.①②由②，得m＝2n－1.③把③代入①，得2(2n－1)＋n＝8.解这个方程，得n＝2.把n＝2代入③，得m＝3.所以这个方程组的解为m＝3，n＝2.所以m的值为3，n的值为2.[对应训练]已知x＝2，y＝1是二元一次方程组ax＋by＝7，ax－by＝1的解，求a－b的值.解：把x＝2，y＝1代入原方程组中，得到关于a，b的二元一次方程组2a＋b＝7，2a－b＝1.解这个方程组，得a＝2，b＝3.所以a－b＝2－3＝－1.[教学建议]学生独立思考完成，教师提醒学生，方程组的解必定满足方程组中每一个方程，故将方程组的解回代，即可得到关于其他字母的方程(组).活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.解二元一次方程组的基本思想是什么？2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是怎样的？3.用代入法解二元一次方程组时，有哪些技巧？(以变形和代入两方面为例)【作业布置】1.教材P99习题10.2第2(1)(2)，4，8题.第2课时　用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组【素养目标】会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.【教学重点】用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组.【教学难点】方程组中未知数的系数都不为1(或－1)时，如何用一个未知数表示另一个未知数从而实现代入消元的灵活运用.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]通过回忆上节课所学，引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课进行铺垫.(1)什么是二元一次方程组？方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.(2)①y＝3x，2x－y＝9，②x＋5y＝8，2x－y＝5，③2x＋7y＝11，3x－4y＝6是二元一次方程组吗？①②和③有什么不同？都是二元一次方程组.①②的两个方程中有一个未知数的系数为1或－1，③的两个方程中未知数的系数都不为1或－1.(3)如何用代入法解方程组①②？试着做一做.解方程组①，得x＝－9，y＝－27.解方程组②，得x＝3，y＝1.像③这样的方程组也可以用代入法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容.[教学建议]教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征.也可在进入正课之前给学生时间自行尝试仿照上节课的代入法解一解，有助于体会方程形式上的特点，并对于解题难度上的区别有一个初步认知.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]通过例题逐步设问，引导学生利用代入法解稍复杂的二元一次方程组.探究点1　用代入法解稍复杂的二元一次方程组22 例1　(教材P93例3)用代入法解方程组2x－5y＝－11，①9x＋7y＝39.②问题1　类比上节课所学，用代入法求解这种未知数的系数都不为1或－1的二元一次方程组时，第一步应做些什么？应对某个方程进行变形，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，并注意将被表示的未知数的系数化为1.问题2　对于这个方程组，选择表示出哪个方程中的哪个未知数会使计算更简便？为什么？由于方程①中的x的系数的绝对值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x会使计算更简便.问题3　根据你在问题2中的结论，写出解答过程.解：由①，得x＝52y－112.③(1)变形把③代入②，得9(52y－112)＋7y＝39.(2)代入解这个方程，得y＝3.(3)求解把y＝3代入③，得x＝2.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝3.(5)写解问题4　解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.可以.解：由①，得y＝25x＋115.③把③代入②，得9x＋7(25x＋115)＝39.解这个方程，得x＝2.把x＝2代入③，得y＝3.所以这个方程组的解是x＝2，y＝3.[对应训练]教材P95练习第1题.[教学建议]这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导.由于本节课涉及的方程组的系数较为复杂，学生在解答完毕后可将解代回进行检验.教师也可对学生提问不同的变形方式会不会改变方程的解，鼓励学生用不同的方式去解方程，并让学生从中自行感悟缘由.[设计意图]通过运用代入法解决实际问题，提高解方程组的能力和应用意识.探究点2　代入法解二元一次方程组的实际应用例2　(教材P94例4)快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？问题1　写出题中所包含的相等关系.相等关系1：送120件的报酬＋揽45件的报酬＝270元；相等关系2：送90件的报酬＋揽25件的报酬＝185元.问题2　设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，请用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系.120x＋45y＝270，90x＋25y＝185.问题3　请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用代入法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的解答.解：根据问题2中的设元，列得方程组120x＋45y＝270，①90x＋25y＝185.②由①，得x＝94－38y.③把③代入②，得90(94－38y)＋25y＝185.22 解这个方程，得y＝2.把y＝2代入③，得x＝1.5.所以这个方程组的解是x＝1.5，y＝2.答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.[对应训练]教材P95练习第2题.[教学建议]教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程.教师可引导学生对用代入法解二元一次方程组的实际问题的一般步骤进行总结：①审题，找出题中的相等关系；②设元，设出两个未知数；③列式，根据两个相等关系列出二元一次方程组；④求解，解方程组；⑤检验：有些情况下要检验方程组的解是否符合实际意义；⑥作答：最后要写出实际问题的答案.活动三：变式训练，巩固提升[设计意图]考查构造稍复杂的二元一次方程组并进行计算，强化本节课所学内容.例3　对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax＋by＋1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算.若3*5＝15，4*7＝28，求5*9的值.解：根据题意得3a＋5b＋1＝15，4a＋7b＋1＝28，即3a＋5b＝14，4a＋7b＝27.解这个方程组，得a＝－37，b＝25.所以5*9＝5×(－37)＋9×25＋1＝41.[对应训练]若|3a＋2b＋7|＋（5a－3b＋1）2＝0，求a，b的值.解：根据题意，得3a＋2b＋7＝0，5a－3b＋1＝0，解这个方程组，得a＝－2319，b＝－3219.所以a的值为－2319，b的值为－3219.[教学建议]解决此类求值问题，通常是根据式子中隐含的相等关系构造二元一次方程组，然后解方程组得到未知数的值，再代入所要求的式子中求值.形式多样，包括但不限于例题中的新定义运算与对应训练中的利用非负性列方程组.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能用代入法解稍复杂的二元一次方程组吗？如何变形方程能使计算更简便？举例说明.2.你能用代入法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？【作业布置】1.教材P99习题10.2第1，2(3)(4)，11题.10.2.2　加减消元法第1课时　用加减消元法解简单的二元一次方程组【素养目标】1.体验加减消元法，在此基础上学习加减消元法的概念，理解加减消元法.2.会运用加减消元法求二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤.【教学重点】掌握用加减法解简单的二元一次方程组.【教学难点】对于运用加减消元法，把“二元”转化为“一元”，从而正确求解二元一次方程组的理解.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]复习等式的性质，方便引入加减消元法.在前面的课时，我们研究了用代入法解二元一次方程组，这种方法的基本思想是消元，即把二元一次方程组转化为一元一次方程.22 除了用代入法消元外，还有没有其他的方法消元呢？大家看下面3个问题：①如果a＝b，那么a±c＝b±c.②如果a＝b，那么ac＝bc.③如果a＝b，c＝d，那么a±c＝b±d成立吗？为什么？以上这些性质运用在方程上，是否有助于解方程组呢？本节课我们将对该问题进行探讨.[教学建议]教师带领学生一起回顾等式的性质，引出方程的变形、加减法解二元一次方程组有关知识.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]通过探究的方式，让学生初步体会到用加减消元法解二元一次方程组的思想、方法和步骤.探究点　用加减消元法解简单的二元一次方程组1.同一未知数的系数相等——两个方程相减(教材P95上方的思考)前面我们用代入法求出了方程组x＋y＝6，①2x＋y＝8②的解.除此之外，还有没有别的方法呢？问题1　这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系并结合“活动一”中的问题，你能发现新的消元方法吗？这两个方程中未知数y的系数相等，我们可以通过两个方程相减，即②－①(或①－②)来消去未知数y.问题2　②－①的意义是什么？为什么要②－①？②－①就是用方程②的左边减去方程①的左边，方程②的右边减去方程①的右边.解二元一次方程组需要“消元”，通过②－①可以消去未知数y，得到关于x的一元一次方程.问题3　②－①的理论依据是什么？等式的性质.等式两边都加(或减)相等的量，结果仍相等.问题4　请用②－①的方式解方程组.解：②－①，得x＝2.把x＝2代入①，得y＝4.所以这个方程组的解是x＝2，y＝4.问题5　①－②也能消去未知数y，求得x吗？(请学生上台板演)能.①－②，得－x＝－2，即x＝2.把x＝2代入①，得y＝4.所以这个方程组的解是x＝2，y＝4.2.同一未知数的系数互为相反数——两个方程相加(教材P95下方的思考)联系前面的探索过程，想一想怎样解方程组3x＋10y＝2.8，15x－10y＝8.①②问题1　这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？该如何消元？两个方程中未知数y的系数互为相反数，则两个方程相加即可消去未知数y.问题2　根据你的消元思路解方程组.解：①＋②，得18x＝10.8，x＝0.6.把x＝0.6代入①，得3×0.6＋10y＝2.8，y＝0.1.所以这个方程组的解是x＝0.6，y＝0.1.概念引入：当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.例1　(教材P96例5)用加减法解方程组3x＋y2＝0，①2x－y2＝15.②解：①＋②，得5x＝15，x＝3.把x＝3代入①，得3×3＋y2＝0，y＝－18.所以这个方程组的解是x＝3，y＝－18.问题　把x＝3代入例1中的方程②，可以解得y吗？22 可以.把x＝3代入②，得2×3－y2＝15，y＝－18.[对应训练]教材P96练习.[教学建议]学生分组讨论完成加减法的探究过程.教师适时予以提示或指导，最终引导学生得出加减消元法的概念，并结合“活动一”说明加减法的理论依据就是等式的性质.初学加减法时，涉及的方程中未知数的系数或者相等，或者互为相反数，对于不是这两种的稍复杂情形，在下节课再进行深入学习.活动三：强化训练，巩固提升[设计意图]设置利用加减法解方程组求参数的值或取值范围的题目，强化学生学以致用的能力.例2　已知x＋y＝0，且x，y满足二元一次方程组2x＋5y＝k，x－4y＝15，求k的值.解：根据题意，可得x＋y＝0，x－4y＝15.解这个方程组，得x＝3，y＝－3.把x＝3，y＝－3代入方程2x＋5y＝k，得k＝2×3＋5×(－3)＝－9.例3　已知关于x，y的方程组2x＋y＝2a＋1，①x＋2y＝a－1②的解满足x－y＝4，求a的值.解：①－②，得x－y＝a＋2.又关于x，y的方程组2x＋y＝2a＋1，x＋2y＝a－1的解满足x－y＝4，所以a＋2＝4，所以a＝2.[对应训练]已知关于x，y的方程组2m－5n＝2a－3，①m＋3n＝5a②的解满足3m－2n＝4，求a的值.解：①＋②，得3m－2n＝7a－3.因为3m－2n＝4，所以7a－3＝4，所以a＝1.[教学建议]教师讲解例题，重点关注学生对于解题思路的把握.在例2中学生可能采用先解原方程的方法，但这样的解题过程会比较烦琐，应启发学生构建新的方程组从而简化解题过程.例3同样如此，若把x，y用含a的式子表示出来再代入会比较复杂，可引导学生观察，把x－y看成整体，用加减法得到用参数表示的相关形式的式子，即可进一步得到参数值.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？2.如果直接用加减消元法解方程组，未知数的系数应满足什么条件？【作业布置】1.教材P99习题10.2第3(1)(2)，5，9题第2课时　用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组【素养目标】1.会用加减消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.2.能运用合适的方法解二元一次方程组，体验先观察，再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.【教学重点】用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.【教学难点】方程组中未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，如何运用等式的性质对方程进行适当变形，从而实现加减消元的灵活运用.【教学过程】活动一：悬疑设置，新课导入[设计意图]引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课中学习用加减法求解进行铺垫.(1)观察方程：①x＋6y＝0，2x－6y＝9；②3x＋5y＝7，3x－4y＝－11；③2x＋7y＝10，4x－5y＝6.①②和③有什么不同？①②的两个方程中都有一个未知数的系数相等或互为相反数，③22 的两个方程中未知数的系数不具备这种特征.(2)如何用加减法解方程组①②？试着做一做.解方程组①，得x＝3，y＝－12.解方程组②，得x＝－1，y＝2.像③这样的方程组也可以用加减法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容.[教学建议]与学习用代入法求解稍复杂的二元一次方程组时类似，以设问的方法导入新课，教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]通过例题逐步设问，引导学生利用加减法解稍复杂的二元一次方程组.探究点1　用加减法解稍复杂的二元一次方程组例1　(教材P96例6)用加减法解方程组3x－2y＝4，①7x＋4y＝18.②问题1　观察方程组两个方程中未知数的系数，这个方程组能否直接加减消元？这两个方程中没有同一个未知数的系数相等或互为相反数，直接加减这两个方程不能消元.问题2　怎样对方程①②变形，才能使得这两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数，从而用加减法求解呢？观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数.问题3　根据你在问题2中的结论，写出解答过程.解：①×2，得6x－4y＝8.③(1)变形②＋③，得13x＝26，(2)加减x＝2.(3)求解把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝1.(5)写解问题4　如果用加减法消去x，应该怎样解？解得的结果一样吗？与消去y相比，哪个计算更简便？如果用加减法消去x，需要对两个方程都进行变形，使两个方程中x的系数相等，可以①×7，②×3.解：①×7，得21x－14y＝28.③②×3，得21x＋12y＝54.④(1)变形④－③，得26y＝26，(2)加减y＝1.(3)求解把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x＝2.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝1.(5)写解解得的结果一样.用加减法消去y比用加减法消去x计算更简便.归纳总结：解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为先消去哪个未知数而产生变化.一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个.[对应训练]教材P98练习第1题.[教学建议]这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导，要使学生理解加减消元的本质是利用等式的性质，将未知数的系数化为相等或互为相反数，从而将方程组演变为上节课所学的形式.通过整个探究过程，使学生发现规律：消去哪个未知数，就找寻两个方程中该未知数系数的最小公倍数.[设计意图]通过运用加减法解决实际问题，强化解方程组的技巧和应用意识.探究点2　加减法解二元一次方程组的实际应用22 例2　(教材P97例7)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？问题1　写出题中所包含的相等关系.相等关系1：5头牛的价格＋2只羊的价格＝10两金；相等关系2：2头牛的价格＋5只羊的价格＝8两金.问题2　设每头牛值金x两，每只羊值金y两，请用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系.5x＋2y＝10，2x＋5y＝8.问题3　请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用加减法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的解答.解：根据问题2中的设元，列得方程组5x＋2y＝10，①2x＋5y＝8.②①×2，得10x＋4y＝20.③②×5，得10x＋25y＝40.④④－③，得21y＝20，y＝2021.把y＝2021代入①，得x＝3421.所以这个方程组的解是x＝3421，y＝2021.答：每头牛和每只羊分别值金3421两和2021两.[对应训练]教材P98练习第2题.[教学建议]教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程.注意提醒学生，在用加减消元法解方程组时，通常要先将得到的二元一次方程组整理成ax＋by＝m，cx＋dy＝n的形式，再求解.在关于例题的教学中，也可让学生上台板演，自己尝试用加减法消去y，并计算出结果，看是否一致.活动三：交流新知，灵活运用[设计意图]强化学生对二元一次方程组解法的认识，能够选择合适的方法解方程组.(教材P98思考)(1)怎样解下面的方程组？问题1　观察上面的两个方程组，你分别选择用什么方法求解？为什么？方程组Ⅰ中方程①中y的系数是1，选择用代入法；方程组Ⅱ中y的系数互为相反数，选择用加减法.问题2　方程组Ⅰ能直接用加减法求解吗？若不能，要如何变形才能使用加减法？不能.如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消去y，可以①×3－②×5.问题3　求出方程组的解.解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝0.4，x＝－1.把x＝－1代入③，得y＝3.5.所以这个方程组的解是x＝－1，y＝3.5.(Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2.把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5.所以这个方程组的解是x＝2，y＝0.5.(2)选择你认为简便的方法解习题10.1的第4题(“鸡兔同笼”问题).解：设笼中有鸡x只，兔子y只.根据题意，得x＋y＝35，2x＋4y＝94.①②①×2，得2x＋2y＝70.③②－③，得2y＝24，y＝12.把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23.所以这个方程组的解是x＝23，y＝12.22 答：笼中有鸡23只，兔子12只.[对应训练]1.用合适的方法解下列方程组：(1)3x－y＝2，6x－3y＝5；①②　　　(2)2x－5y＝－21，4x＋3y＝23.①②解：(1)由①，得y＝3x－2.③把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝13.把x＝13代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是x＝13，y＝－1.(2)①×2，得4x－10y＝－42.③②－③，得13y＝65，y＝5.把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2.所以这个方程组的解是x＝2，y＝5.2.某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品共180件，其中甲种商品每件进价60元，乙种商品每件进价50元.该商场购进甲、乙两种商品各多少件？解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件.根据题意，得x＋y＝180，60x＋50y＝10000.解这个方程组，得x＝100，y＝80.答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.加减法和代入法都是通过消元解方程组，对一个方程组用哪种方法解都可以，但是不同的解法在难度上会有差异，应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值不是1，且相同未知数的系数不成整数倍关系时，一般经过变形，利用加减法会使过程更简便.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能用加减法解稍复杂的二元一次方程组吗？你能用加减法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？2.对于一个二元一次方程组，你能选择最适合它的解法吗？【作业布置】1.教材P99习题10.2第3(3)(4)，6，7，10，12题.10.3　实际问题与二元一次方程组第1课时　和差倍分问题【素养目标】1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组.2.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答.3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.【教学重点】以方程组为工具，分析、解决含有多个未知数的实际问题.【教学难点】确定解题策略，比较估算与精确计算.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]复习二元一次方程组的解法及列一元一次方程解应用题的步骤，引入本节课内容.结合之前所学的知识，回答下面的问题.(1)解二元一次方程组的基本思想是什么？常见方法有哪些？解二元一次方程组的基本思想是消元，常见方法有代入消元法和加减消元法.(2)列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？一般步骤是审、设、列、解、验、答.22 即(1)审清题意，找出已知量和未知量；(2)设未知数，并用含未知数的式子表示出相关的量；(3)根据题中的相等关系列出方程；(4)解方程；(5)检验所得结果是否满足所设方程且具有实际意义；(6)根据提问作答.前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问题.[教学建议]教师可让学生结合教材P94例4和P97例7，初步探究列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的共性问题.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]以教材探究题为例，探讨用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤和方法，引入和差倍分问题.探究点　和差倍分问题例1　(教材P101探究1)养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20kg，每头小牛1天需饲料7～8kg.你能通过计算检验他的估计吗？我们分步来解决这个问题：问题1　怎样判断李大叔的估计是否正确？根据题中给出的数量关系求出每头大牛和每头小牛1天各约需饲料用量，再来判断李大叔的估计是否正确.问题2　写出题中的已知量和未知量.已知量：购进前后大牛和小牛的数量，购进前后每天饲料的用量.未知量：大牛1天饲料的消耗量和小牛1天饲料的消耗量.问题3　设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.写出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.问题4　请将下面的解答过程补充完整.设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组解这个方程组，得这就是说，每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg.问题5　饲养员李大叔的估计正确吗？根据问题4的结果可知，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.归纳总结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：审审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系设设未知数(分直接设元和间接设元)，用含未知数的式子表示出相关量列根据相等关系列出两个方程，组成方程组解解方程组，求出未知数的值验检验所求未知数的值是否满足题意和实际意义答根据问题作答(包括单位名称)和差倍分问题中常见的相等关系：较大量＝较小量＋多余量；总量＝一份的量×倍数；各分量相加＝总量.[对应训练]教材P101练习第1，2，3题.[教学建议]学生可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，再与同学交流，教师注意规范解题过程.对于学生列出的其他正确方程，如12x＋5y＝265，教师可让学生介绍自己的想法并予以肯定，指出列方程组时应尽量使用原题中的数据，如265应写成940－675；对于同一问题的不同解法，结果应一致，若不一致，则需仔细检查过程是否有纰漏.活动三：知识延伸，举一反三[设计意图]引导学生用二元一次方程组解决配套问题.例2　某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能生产200只茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套.要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应如何安排生产？22 问题1　写出题中的已知量和未知量.已知量：工人总数，每名工人一天能生产茶杯或茶壶的数量，组成一套茶具所需茶杯和茶壶的数量.未知量：生产茶杯的工人数量，生产茶壶的工人数量.(1)审问题2　应如何设元？设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.(2)设问题3　找出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.①生产茶杯的工人数量＋生产茶壶的工人数量＝120；x＋y＝120②茶杯的数量∶茶壶的数量＝8∶1.200x∶50y＝8∶1(可变形为200x＝8×50y)(3)列问题4　写出完整的解题过程.解：设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.根据工人总数，茶杯、茶壶的生产量与配比的数量关系，列方程组x＋y＝120，200x＝8×50y.解这个方程组，得x＝80，y＝40.(4)解(5)验答：要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶.(6)答归纳总结：配套问题中常见的相等关系：数量较少量×相应倍数＝数量较多量；总量各部分之间的比例＝每一套各部分之间的比例.[对应训练]某家具厂接到了一笔定制方桌的订单，下面是两位木匠师傅的对话.如何分配木料才能完成这笔订单？这笔订单需要方桌多少张？解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿.根据题意，得x＋y＝5.5，4×50x＝300y＋100.解这个方程组，得x＝3.5，y＝2.所以50×3.5＝175(张).答：用3.5m3木料做桌面、2m3木料做桌腿即可完成这笔订单，这笔订单需要方桌175张.[教学建议]学生独立思考作答，解决配套问题的关键就是找出各部件之间的数量关系，通过比例的性质将比例式转化为等积式.在用二元一次方程组解决实际问题时，审、验这两个步骤通常是在草稿纸上进行.活动四：强化训练，学以致用[设计意图]进一步巩固用二元一次方程组解应用题的思想，强化对列二元一次方程组解应用题的方法和步骤的掌握.例3　为支援抗洪救灾工作，甲、乙两运输队接受了运输20000箱救灾物资的任务，任务要求在15天内(包含15天)完成.已知两队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱救灾物资，乙队每辆车每天能够运输100箱救灾物资，前4天两队一共运输了8000箱.4天后，乙队临时被调派去执行更为紧急的任务，在规定的时间内甲队能否单独完成剩下的运输任务？解：设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车.结合汽车辆数与所运物资的数量关系，列方程组x＋y＝18，4（120x＋100y）＝8000.解这个方程组，得x＝10，y＝8.则甲队完成剩余运输任务所需时间为(20000－8000)÷(120×10)＝10(天).因为10＋4<15，所以在规定的时间内甲队能单独完成剩下的运输任务.[对应训练]各级教育部门高度重视中小学生安全教育，各学校也时常开展应急安全防护和撤离的演练.某校有一栋教学大楼，进出这栋大楼共有五道门，有大小相同的两道正门，大小相同的三道侧门，经安全检测得知：开启两道正门和一道侧门，每分钟可以通过600人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过540人.若紧急情况下，通过正门、侧门的效率均降低为原来的80%，该校要求大楼内1656名全体师生必须通过这五道门紧急撤离.22 那么全体师生全部撤离该栋教学大楼需要多少分钟？解：设正常情况下，平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以通过x人，y人.由题意列方程组2x＋y＝600，x＋2y＝540.解这个方程组，得x＝220，y＝160.1656÷[(2×220＋3×160)×80%]＝2.25(min).答：全体师生全部撤离该栋教学大楼需要2.25min.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.例题需要先根据已知条件求出甲、乙两队所拥有的汽车数，再计算出甲队完成剩余任务所需的时间，最后确定是否超出规定时间.活动五：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.在结合实际问题列方程组之前我们需要先做哪些工作？2.列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？【作业布置】1.教材P105习题10.3第1，3，4，9题.第2课时　几何图形与图文信息问题【素养目标】1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.2.实际问题与图形相关时，则可以绘制出简图，根据图形特点寻找相等关系，列出方程组.【教学重点】借助几何图形分析题目中的各个量之间的关系.【教学难点】借助图形分析问题中所蕴含的数量关系.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]以图形问题为例，引出本节课所要学习的内容.1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？2.把长方形纸片折成面积之比为1∶2的两个小长方形，又有哪些折法？在实际生活中，经常会遇到像上面这样如何对几何图形进行分割的问题，本节课我们一起来探讨下.[教学建议]通过折叠长方形纸片，按要求分配长方形的面积，引入本节课对几何图形问题的探究.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]以教材探究题为例，引入几何图形问题，探究如何分析、解答此类问题.探究点　几何图形问题例1　(教材P102探究2)据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?我们一起来分析探讨下：问题1　把一个大长方形分割成两个小长方形，可能有哪些划分方案？可能有如图所示的两种划分方案.问题2　如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关.问题3　以图①为例，要表示种植面积需设哪些量？要表示单位面积产量呢？可设这两块地的长AE，BE分别为xm，ym.可设甲种作物每平方米产量为a(a≠0)，则乙种作物每平方米产量为2a.问题4　结合问题3中所设的未知数，找出相等关系并列方程组求解.如图，设甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF.根据题意可找出下列相等关系：22 ①AE＋BE＝AB，即x＋y＝200.②产量＝单位面积产量×种植面积，则甲种作物总产量为a·AE·AD，即100ax；乙种作物总产量为2a·BE·AD，即200ay.③甲种作物的总产量∶乙种作物的总产量＝3∶4，即100ax∶200ay＝3∶4.根据题意，得整理，得解这个方程组，得问题5　如何表述你的种植方案？过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物.问题6　(教材P103练习T1)如果利用第二种划分方案，分别在长方形DMNC和MABN土地中种植甲、乙两种作物，那么AM的长度是多少？解：如图，设DM＝xm，AM＝ym.可得方程组整理，得解这个方程组，得所以AM＝40m.答：AM的长度是40m.[对应训练]1.教材P103练习第2题.2.小明在探究完上面的例题后，提出这样一个想法：如果把原题中“分为两块小长方形土地”改为“分为两块梯形土地”，其他条件不变，还能否通过划分土地使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?小明作出如下探究：如图，若甲、乙两种作物的种植区域分别为梯形AEFD和梯形BEFC，DF＝CF＝100m.如何划分AB，可使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?解：设甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.设AE＝xm，BE＝ym.根据题意，可列方程组整理，得解这个方程组，得因此，过AB上距离A端140m的E处，连接EF，将这块土地分为两块梯形土地，可使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4.[教学建议]由学生按问题顺序分析题目，确定未知数及相等关系，厘清解题思路.在寻找相等关系时，问题4中的相等关系①与两个小长方形的面积之和＝大长方形的面积是等效的.在一些较复杂的问题中，部分条件未明确给出时，可尝试设辅助元(如例1问题3中所设的a)以表示出相关量，之后对方程进行整理化简即可消去辅助元.几何类问题通常在边长或者面积上存在一个相等关系.活动三：知识延伸，举一反三[设计意图]以实际问题为例，引入图文信息问题.例2　根据图中提供的信息，解答后面的问题：(1)求水瓶和水杯的单价；(2)王老师购买了6只水瓶和20只水杯，商家给予八折优惠，则王老师共需付款多少钱？问题1　观察上图，你能获得哪些信息？①1只水瓶和1只水杯共需48元；②3只水瓶和4只水杯共需152元.问题2　设每只水瓶的价格为x元，每只水杯的价格为y元，请将获取的信息表示成含未知数的等式.①1×水瓶单价＋1×水杯单价＝48元，即x＋y＝48；②3×水瓶单价＋4×水杯单价＝152元，即3x＋4y＝152.问题3　第(2)小问中的付款金额应如何求解？根据(1)中求得的水瓶与水杯的单价，计算6只水瓶和20只水杯的总价后乘以0.8即可.问题4　请写出完整的解答过程.解：(1)设水瓶的单价为每只x元，水杯的单价为每只y元.根据图中水瓶、水杯的价格关系，列方程组解这个方程组，得答：水瓶的单价为每只40元，水杯的单价为每只8元.(2)(6×40＋20×8)×0.8＝320(元).答：王老师共需付款320元.22 [对应训练]1.教材P103练习第3题.2.王老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处赵主任交账，以下是两人的对话：赵主任为什么说他记错了，请你用方程组的知识给予解释.解：设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的书购买了y本.根据题意，得解这个方程组，得因为x，y作为书本的数量，必须是正整数，所以赵主任说王老师记错了.[教学建议]学生独立思考作答，解决此类问题的关键是正确理解题意，从图中找出相等关系，分析出数量关系并列出方程组.活动四：强化训练，学以致用[设计意图]列举具体图形的例子，强化学生解决几何问题的能力.例3　如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，则每个小长方形的长和宽分别是多少？解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm.根据图中长度的相等关系，列方程组解这个方程组，得答：每个小长方形的长为40cm，宽为10cm.[对应训练]小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图②所示的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3mm的小正方形.你能求出这些长方形的长和宽吗？解：设长方形的长和宽分别为xmm和ymm.根据图中长度的相等关系，列方程组解这个方程组，得答：这些长方形的长为15mm，宽为9mm.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.在此类问题中，拼成的大长方形的长、宽可用小长方形的长、宽表示，然后再通过已知量或把大长方形的长、宽作为中间量，即可得到相应的相等关系.对应训练中学生可能会由图②中面积的和差关系得到关于x，y的二次方程，教师应注意引导学生转而观察线段间的关系.活动五：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.如何从几何图形或图文对话中提取有效信息，获取相等关系？2.如何用画图或列表的方法分析数量关系？【作业布置】1.教材P105习题10.3第5，6题.第3课时　调配问题与行程问题【素养目标】1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.2.进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.3.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.【教学重点】用列表的方式分析题目中各个量的关系.【教学难点】借助列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系.【教学过程】活动一：旧知回顾，新课导入[设计意图]以经济问题为例，列出二元一次方程，进而引入新课.填一填：(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是(1＋20%)x万元；22 (2)若该厂去年的总支出是y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是(1－10%)y万元；(3)若该厂今年的利润比去年增加了50%，则结合(1)(2)可列方程为(1＋20%)x－(1－10%)y＝(1＋50%)(x－y).在上册我们已经学习了用一元一次方程解决销售问题，本节课我们将探究学习如何用二元一次方程组解决实际销售问题.[教学建议]教师引导学生回顾销售利润相关公式，将填空补充完整，引入本节课对销售问题的探究.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]以教材探究题为例，引入销售问题，运用间接设元法解决实际问题.探究点　调配问题例1　(教材P103探究3)如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元？我们通过问题串的形式一起来探究下：问题1　本题最终要解决的问题是什么？纺织面料的销售额－(原料费＋运输费)＝？，即求这批纺织面料的净利润.问题2　销售额、原料费、运输费各是多少？它们与哪些量有关？是什么关系？销售额和原料费无法直接求出，运输费为(5200＋16640)元.①销售额＝产品数量×产品单价，②原料费＝原料数量×原料单价，③运输费＝运价×货物质量×路程.上述相等关系中，产品数量和原料数量为未知量.问题3　我们设购买xt长绒棉，制成yt纺织面料.请根据题中数量关系填写下表：问题4　根据上表中运费之间的关系，列出方程组，求出未知数的值.根据题意，得0.5（10x＋20y）＝5200，0.2（120x＋110y）＝16640.整理，得x＋2y＝1040，12x＋11y＝8320.解这个方程组，得x＝400，y＝320.问题5　求这个实际问题的最终答案.42500×320－30800×400－5200－16640＝1258160(元).因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元.[对应训练]1.教材P104练习第1，2题.2.如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的路程是到A地路程的2倍.该食品厂从A地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品(制作过程中有损耗)运到B地销售，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/(t·km)，铁路运费为1元/(t·km).(1)这家食品厂到A，B两地的路程分别是多少千米？(2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元？(利润＝总售价－总成本－总运费)解：(1)设这家食品厂到A地的路程是xkm，到B地的路程是ykm.根据题意，得x＋y＝20＋100＋30，y＝2x.解这个方程组，得x＝50，y＝100.答：这家食品厂到A地的路程是50km，到B地的路程是100km.(2)食品厂到A地的铁路路程为50－20＝30(km)，食品厂到B地的铁路路程为100－30＝70(km).设这家食品厂此次收购食材mt，销售食品nt.根据题意，得1.5×（20m＋30n）＝15600，1×（30m＋70n）＝2022 600.解这个方程组，得m＝220，n＝200.这批食品每吨的售价应为(863800＋15600＋20600＋220×5000)÷200＝10000(元).答：要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为10000元.[教学建议]教师带领学生共同完成问题1～3，分析出题中各个量之间的相等关系并用含未知数的式子表示出关键量，之后由学生独立完成问题4和5.注意强调：当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，可把关键量设为间接未知数列方程组求解，再求得问题的答案.对于数量关系比较复杂的应用题，可采用列表法进行分析，进而列出方程.活动三：知识延伸，举一反三[设计意图]以实际问题为例，引入行程问题.例2　小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.小华家离学校多远？问题1　请分析小华从家到学校和从学校到家的路况.如图，小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路.小华从家到学校的路况是先走平路再走下坡路；小华从学校到家的路况是先走上坡路再走平路.问题2　为什么题干中从家到学校和从学校到家所花费的时间不一样？因为去学校时的坡路是下坡，回家时的坡路是上坡，坡路的路程固定，但下坡和上坡的速度不一样，所以花费的时间也不一样，故往返花费的时间不一样.问题3　该问题应如何设元？设小华家到学校平路长xm，坡路长ym.问题4　请找出题中的相等关系，并用含x，y的等式表示出来.①往：走平路的时间＋走下坡的时间＝10min，即x60＋y80＝10；②返：走上坡的时间＋走平路的时间＝15min，即y40＋x60＝15.问题5　请写出完整的解答过程.解：设小华家到学校平路长xm，坡路长ym.根据相等关系，得x60＋y80＝10，y40＋x60＝15.解这个方程组，得x＝300，y＝400.小华家到学校的路程为300＋400＝700(m).答：小华家离学校700m远.[对应训练]教材P104练习第3题.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.本题的重点在于分析出往程的下坡在返程会变成上坡，结合对应的速度即可表示出相应路段所花费的时间，进而由相等关系构建出方程组.虽然往返时，上下坡会发生转换，但对应路段的路程始终是不变的.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？【作业布置】1.教材P105习题8.3第2，7，8题.*10.4　三元一次方程组的解法第1课时　三元一次方程组的解法【素养目标】1.了解三元一次方程组的概念.2.会运用“代入法”或“加减法”对三元一次方程组逐步消元，进而求解.3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.【教学重点】三元一次方程组的解法及“消元”思想.22 【教学难点】根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元.【教学过程】活动一：创设情境，新课导入[设计意图]列举实际问题，为引入三元一次方程(组)做准备.[情境导入](教材P107问题)请大家看下面这一问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？我们可以通过设元解一元一次方程或二元一次方程组，得到上面问题的答案为胜14场，平5场，负3场.观察上述问题，我们发现：这道题中一共有三个未知量和三个相等关系.参考二元一次方程组，我们能否把这三个未知量都设出来，然后通过方程求出它们的值呢？今天我们将学习如何通过列三元一次方程组来解决此类问题.[教学建议]教师引导学生思考两种解法应如何设元和列方程(组)，不必写出解方程(组)的过程.活动二：问题引入，自主探究[设计意图]结合解二元一次方程组的“消元”方法，探索三元一次方程组的解法.探究点　三元一次方程组的有关概念及解法问题1　对于“活动一”中的问题，请结合已知条件写出相等关系：①胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22；②胜场积分＋平场积分＋负场积分＝47；③胜的场数＝负的场数×4＋2.问题2　设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到哪三个方程？x＋y＋z＝22，①　3x＋y＝47，②　x＝4z＋2.③问题3　大家知道，方程②③是二元一次方程，观察方程①，结合二元一次方程的定义，方程①有什么特点？方程①中含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.概念引入：一个方程中含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成概念引入：一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.问题4　这个方程组能用代入法解吗？如果能，请写出解题过程.(请学生上台板演)解：把③分别代入①②，得到关于y，z的二元一次方程组解这个方程组，得把z＝3代入③，得x＝14.因此，这个三元一次方程组的解为问题5　你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？解：可以用加减法解这个三元一次方程组.因为方程③中不含未知数y，故考虑通过方程①②消去y.②－①，得2x－z＝25.④③与④组成方程组解这个方程组，得把x＝14，z＝3代入①，得y＝5.因此，原方程组的解为(方法不唯一)归纳总结：解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样.例　(教材P108例1)解三元一次方程组3x＋4z＝7，2x＋3y＋z＝9，5x－9y＋7z＝8.①②③问题1　观察方程组中的各个方程的未知数，你有什么发现？22 方程①中，不含未知数y；方程②和方程③中，三个未知数均含有.问题2　根据上面的发现，你认为选择哪种方法解方程组较简便，请写出解答过程.用加减法较简便.解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④①与④组成方程组解这个方程组，得把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝13.因此，这个三元一次方程组的解为问题3　你还有其他解法吗？试一试，并与上面的解法进行比较.解：由①，得x＝7－4z3.④把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组[对应训练]1.下列是三元一次方程组的是（D）2.解方程组(1)若先消去x，得到关于y，z的方程组是(2)若先消去y，得到关于x，z的方程组是(3)若先消去z，得到关于x，y的方程组是(答案均不唯一)3.教材P109练习.[教学建议]学生分组讨论合作完成问题，得出三元一次方程(组)的概念，类比二元一次方程组的解法，将三元一次方程组消元后求解，体会方程组解法的多样性.当三元一次方程组中有二元一次方程时，可将二元一次方程变形后代入(或直接代入)另两个方程，运用代入法消元；也可对另外两个方程运用加减法消去二元一次方程中不含的未知数.活动三：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？2.解三元一次方程组时有哪些需要注意的问题？如何消元可以使过程更简便？【作业布置】1.教材P111习题10.4第1，2题.第2课时　三元一次方程组的应用【素养目标】会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、通过建立方程组模型解决问题的能力.【教学重点】三元一次方程组的应用.【教学难点】由问题情境构建三元一次方程组，解三元一次方程组的方法选择.【教学过程】活动一：悬疑设置，新课导入[设计意图]以学生熟悉的三角形进行举例为新课做铺垫.上节课我们学习了三元一次方程组的解法，现在我们来看下面这道题目：已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的13，求这个三角形三边的长.这道题要用方程的知识来解决，题目中有3个相等关系，故需列出三元一次方程组.同学们，上面这个问题你会解答了吗？还想了解更多方程组的应用问题吗？让我们开始新课的学习吧！[教学建议]学生自主交流探索，不需解答，有解题思路即可.三角形的三条边长均未知，可顺其自然想到需设三个未知数，从而列三元一次方程组解决问题.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]由问题条件抽象出三元一次方程组，从而应用其解决问题.探究点　三元一次方程组的应用例1　(教材P109例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值.22 问题1　要想求a，b，c三个未知数的值，一般要列一个三元一次方程组，根据题意，你能否列出此方程组.根据题中给出的三组x，y的对应值，把它们代入等式y＝ax2＋bx＋c中，即可得到三个关于a，b，c的三元一次方程a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3和25a＋5b＋c＝60，从而组成一个三元一次方程组问题2　怎样消元解方程组最简便？观察方程组中三个未知数系数的特点，发现c的系数都是1，故先消去c最容易.问题3　请写出解答过程.解：根据题意，得三元一次方程组②－①，得a＋b＝1.④③－①，得4a＋b＝10.⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.例2　(教材P110例3)一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.问题1　如何设元可以正确地反映题目中的数量关系？直接设一个未知数表示这个三位数可以解题吗？把这个三位数各数位上的数看成三个未知数，可以正确地反映题目中的数量关系.直接设一个未知数表示这个三位数无法解题.问题2　题目中有几个相等关系？请根据你在问题1中的设元方法将它们表示出来，并列出方程组.题目中有三个相等关系.设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.相等关系1：各数位上的数的和为14→x＋y＋z＝14；相等关系2：百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13→2x－y＝13z；相等关系3：如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99→100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z.列得三元一次方程组问题3　请根据你在问题2中列出的方程组继续完成本题的解答.[对应训练]1.尝试解决活动一中的问题.2.教材P111练习第1，2题.[教学建议]教师引导学生观察未知数系数的关系，考虑解此类由三个一次方程组成的方程组时，怎么消元，先消哪个元，可使过程更简便.[教学建议]通过设问逐步引导学生列出三元一次方程组，从而解决实际问题.数字问题是方程学习中的经典问题，通过三位数的三个数位，学生容易想到可设三个元，并发掘题目中隐含的三个相等关系，从而列出方程组.活动三：变式训练，灵活运用[设计意图]考查根据题意构造三元一次方程组解题，巩固本节课所学.例3　若(a＋2c－2)2＋|4b－3c－4|＋a2－4b－1＝0，其中a，b，c是有理数，试求a，b，c的值.[教学建议]学生自主完成解题，教师根据学生的完成情况进行有针对性的点评.解此类题时要注意审题，明确题意是隐含列三元一次方程组，并能够正确地计算出结果.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能根据实际问题中的相等关系构建三元一次方程组吗？能解决实际问题吗？【作业布置】1.教材P111习题10.4第3，4，5题.22