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新人教B版必修第一册第二章等式与不等式章末检测试卷(附解析)

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等式与不等式     A卷—学考测评卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.方程-x2-5x+6=0的解集为(  )A.{-6,1}       B.{2,3}C.{-1,6}D.{-2,-3}解析:选A 方程-x2-5x+6=0可化为x2+5x-6=0,即(x+6)·(x-1)=0,解得x=-6或x=1,∴方程的解集为{-6,1}.2.不等式<0的解集为(  )A.{x|x>1}B.{x|x<-2}C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1或x<-2}解析:选C 原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,则原不等式的解集为{x|-2<x<1}.3.小明准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(  )A.30x-60≥400B.30x+60≥400C.30x-60≤400D.30x+60≤400解析:选B 设x个月后所存的钱数为y,则y=30x+60,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30x+60≥400.4.不等式组的解集为(  )A.(0,)B.(,2)C.(,4)D.(2,4)解析:选C 由|x-2|<2,得0<x<4,由x2>3,得x>或x<-,∴原不等式组的解集为(,4).5.不等式(x-1)≥0的解集是(  )A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|x≥1,或x=-2}D.{x|x≤-2,或x=1}解析:选C 当x=-2时,0≥0成立.当x>-2时,原不等式变为x-1≥0,即x≥1.15 ∴不等式的解集为{x|x≥1,或x=-2}.6.已知a>0,b>0,且2a+b=2,则ab的最大值为(  )A.B.C.1D.解析:选A ∵a>0,b>0,且2a+b=2,则ab=×(2a·b)≤=,当且仅当2a=b且2a+b=2,即a=,b=1时“=”成立,此时取得最大值.故选A.7.方程组的实数解的个数是(  )A.4B.2C.1D.0解析:选B 由①得y=±2x,原方程组可以转化为解得或无解.故方程组的实数解的个数是2.8.若不等式ax2+ax-4<0的解集为R,则实数a的取值范围是(  )A.-16≤a<0B.a>-16C.-16<a≤0D.a<0解析:选C 设y=ax2+ax-4,x∈R,则由题意可知y<0恒成立.当a=0时,y=-4<0满足题意;当a≠0时,需满足即解得-16<a<0.故-16<a≤0.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中一定成立的是(  )A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ab2D.ac(a-c)<0解析:选ABD 由c<b<a且ac<0,知a>0,c<0,而b的取值不确定,当b=0时,C不成立.根据不等式的性质可知A、B、D均正确.10.下列四个命题中,是真命题的是(  )15 A.∀x∈R,且x≠0,x+≥2B.∃x∈R,使得x2+1≤2xC.若x>0,y>0,则≥D.若x≥,则的最小值为1解析:选BCD 对于A,∀x∈R,且x≠0,x+≥2对x<0时不成立;对于B,当x=1时,x2+1=2,2x=2,x2+1≤2x成立,正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,化为≥,当且仅当x=y>0时取等号,正确;对于D,y===,因为x≥,所以x-2>0.所以≥·2=1,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.故y的最小值为1.11.设正实数a,b满足a+b=1,则(  )A.+有最小值4B.有最大值C.+有最大值D.a2+b2有最小值解析:选ABCD 正实数a,b满足a+b=1,即有a+b≥2,可得0<ab≤,即有+=≥4,即有a=b时,+取得最小值4,无最大值;由0<≤,可得有最大值;由+==≤=,15 可得a=b时,+取得最大值;由a2+b2≥2ab可得2(a2+b2)≥(a+b)2=1;则a2+b2≥,当a=b=时,a2+b2取得最小值,综上可得A、B、C、D均正确.12.已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是(  )A.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B.方程x2+(m-3)x+m=0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D.方程x2+(m-3)x+m=0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}解析:选BCD 在A中,由Δ=(m-3)2-4m≥0得m≤1或m≥9,故A错误;在B中,当x=0时,函数y=x2+(m-3)x+m的值为m,由二次函数的图像知,方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0},故B正确;在C中,由题意得解得0<m≤1,故C正确;在D中,由Δ=(m-3)2-4m<0得1<m<9,又{m|1<m<9}⊆{m|m>1},故D正确.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若y=-x2+mx-1有正值,则m的取值范围是__________________.解析:因为y=-x2+mx-1有正值,所以Δ=m2-4>0,所以m>2或m<-2.答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)14.已知12<a<60,15<b<36,则a-b的取值范围为________,的取值范围为________.解析:由15<b<36得-36<-b<-15.又因为12<a<60,所以-24<a-b<45.由15<b<36得<<.又因为12<a<60,所以<<4.答案:(-24,45) 15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则不等式<0的解集是________.15 解析:由题图知,1和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以-=3且=2,所以b=-3a,c=2a且a>0.不等式<0等价于(ax+b)(cx+a)<0,即(x-3)(2x+1)<0,所以-<x<3.答案:16.若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.解析:由a+b=1,知+==,又ab≤=.∴9ab+10≤,∴≥.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求下列方程组的解集:(1)(2)解:(1)由①得y=2x,③将③代入②得x2-(2x)2+3=0,解得x=1或x=-1.当x=1时,y=2;当x=-1时,y=-2.∴方程组的解集是{(x,y)|(1,2),(-1,-2)}.(2)根据一元二次方程的根与系数的关系,把x,y看成是方程z2-11z+28=0的两根,解方程得z=4或z=7.∴方程组的解集是{(x,y)|(4,7),(7,4)}.18.(本小题满分12分)当p,q都为正数且p+q=1时,试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.解:(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.15 因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q都为正数,所以-pq(x-y)2≤0,因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立.19.(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.解:原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,即<0.①当-<,即a>0时,原不等式的解集为-<x<;②当-=,即a=0时,原不等式的解集为∅;③当->,即a<0时,原不等式的解集为<x<-.20.(本小题满分12分)已知a>0,b>0.(1)求证:+≥a+b;(2)利用(1)的结论,试求+(0<x<1)的最小值.解:(1)证明:∵a>0,b>0,∴++a+b=+≥2a+2b,当且仅当a=b时等号成立,∴+≥a+b(当且仅当a=b时等号成立).(2)∵0<x<1,∴0<1-x<1.可将1-x看作(1)中的a,x看作(1)中的b.依据(1)的结论,则有+≥1-x+x=1,当且仅当1-x=x,即x=时,等号成立,∴+的最小值为1.21.(本小题满分12分)某镇计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解:设矩形温室的左侧边长为am,后侧边长为bm,蔬菜的种植面积为Sm2,则ab=800.15 所以S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4=648,当且仅当a=2b,即a=40,b=20时等号成立,则S最大值=648.故当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为648m2.22.(本小题满分12分)已知a,b,c均为正实数,求证:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,则++≤3.证明:(1)因为a,b,c均为正实数,由均值不等式得a+b≥2,ab+c2≥2,两式相乘得(a+b)·(ab+c2)≥4abc,当且仅当a=b=c时取到等号,所以(a+b)(ab+c2)≥4abc.(2)因为a,b,c均为正实数,由均值不等式得·≤=,当且仅当a+1=2,即a=1时取等号,·≤=,当且仅当b+1=2,即b=1时取等号,·≤=,当且仅当c+1=2,即c=1时取等号.以上三式相加,得(++)≤=6.所以++≤3,当且仅当a=b=c=1时取等号.     B卷—高考滚动测评卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)=(  )A.{x|0≤x<1}    B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}解析:选B ∵全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},∴∁UB={x|x≤1},∴A∩(∁UB15 )={x|0<x≤1},故选B.2.四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A 若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD;反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定是菱形.故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.3.下列四个命题中的真命题为(  )A.∃x∈Z,1<4x<3B.∃x∈Z,5x+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+2>0解析:选D 选项A中,<x<且x∈Z,不成立;选项B中,x=-,与x∈Z矛盾;选项C中,x=±1,与∀x∈R矛盾;选项D中,由Δ=1-8=-7<0可知D正确.4.不等式|x|(1-2x)>0的解集为(  )A.(-∞,0)∪B.C.D.解析:选A 当x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x<;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所以x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪.5.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(  )A.{x|x<5a,或x>-a}B.{x|x>5a,或x<-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}解析:选A 方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a.因为2a+1<0,所以a<-,所以-a>5a.结合二次函数y=x2-4ax-5a2的图像,得原不等式的解集为{x|x<5a,或x>-a},故选A.6.若-4<x<1,则(  )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1解析:选D =,又∵-4<x<1,∴x-1<0.∴-(x-1)>0.15 ∴-≤-1.当且仅当x-1=,即x=0时等号成立.7.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是(  )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)解析:选A ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1.②当1<x<5时,原不等式可化为x-1-(5-x)<2,∴x<4,∴1<x<4.③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立.综上,原不等式的解集为(-∞,4),故选A.8.设p:≤x≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(  )A.B.C.D.解析:选B ∵q:a≤x≤a+1,p是q的充分不必要条件,∴或解得0≤a≤.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.设a,b是正实数,下列不等式中正确的是(  )A.>      B.a>|a-b|-bC.a2+b2>4ab-3b2D.ab+>2解析:选BD 对于A,>⇒1>⇒>,当a=b>0时,不等式不成立,故A中不等式错误;对于B,a+b>|a-b|⇒a>|a-b|-b,故B中不等式正确;对于C,a2+b2>4ab-3b2⇒a2+4b2-4ab>0⇒(a-2b)2>0,当a=2b时,不等式不成立,故C15 中不等式错误;对于D,ab+≥2>2,故D中不等式正确,故选B、D.10.下列结论中正确的有(  )A.若a,b为正实数,a≠b,则a3+b3>a2b+ab2B.若a,b,m为正实数,a<b,则<C.若>,则a>bD.当x>0时,x+的最小值为2解析:选ACD 对于A,∵a,b为正实数,a≠b,∴a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0,∴a3+b3>a2b+ab2正确;对于B,若a,b,m为正实数,a<b,则-=>0,则>,故B错误;对于C,若>,则a>b,故C正确;对于D,当x>0时,x+的最小值为2,当且仅当x=时取等号,故D正确.故选A、C、D.11.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(  )A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>0解析:选BCD 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,故相应的二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=-1<0,-=>0,又a<0,故b>0,c>0,故B、C正确;由二次函数的图像(图略)可知f(1)=a+b+c>0,故D正确.故选B、C、D.12.已知关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b,下列结论正确的是(  )A.当a<b<1时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为∅B.当a=1,b=4时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|0≤x≤4}C.当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式15 D.不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b=解析:选AB 由x2-3x+4≤b得3x2-12x+16-4b≤0,又b<1,所以Δ=48(b-1)<0.从而不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为∅,故A正确.当a=1时,不等式a≤x2-3x+4就是x2-4x+4≥0,解集为R,当b=4时,不等式x2-3x+4≤b就是x2-4x≤0,解集为{x|0≤x≤4},故B正确.在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-3x+4=(x-2)2+1的图像及直线y=a和y=b,如图所示.由图知,当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式,故C错误.由a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b},知a≤ymin,即a≤1,因此当x=a,x=b时函数值都是b.由当x=b时函数值是b,得b2-3b+4=b,解得b=或b=4.当b=时,由a2-3a+4=b=,解得a=或a=,不满足a≤1,不符合题意,故D错误.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.方程组的解集为________.解析:因由②得y=3x+代入①得x+6x+1+6=0,得x=-1,y=-.答案:15 14.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个根,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为________.解析:∵m,n是一元二次方程x2-3x+a=0的两个根,∴m+n=3,mn=a,∵(m-1)(n-1)=-6,∴mn-(m+n)+1=-6,∴a-3+1=-6,解得a=-4.答案:-415.若∃x>0,使得+x-a≤0,则实数a的取值范围是________.解析:∃x>0,使得+x-a≤0,等价于a大于等于+x的最小值,∵x+≥2=2(当且仅当x=1时等号成立),故a≥2.答案:a≥216.某商场的某种商品的年进货量为10000件,分若干次进货,每次进货的量相同,且每次进货的运费为100元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货量的一半来计算,每件2元,则每次进货量为______件时,一年的运费和租金之和最少为______元.解析:设每次进货x件,一年的运费和租金之和为y元,由题意,y=100·+2·=+x≥2=2000,当且仅当x=1000时取等号.答案:1000 2000四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):(1)(2)6-2x≤x2-3x<18.解:(1)原不等式组可化为即0<x<1,所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}.(2)原不等式等价于即15 因式分解,得所以所以-3<x≤-2或3≤x<6.所以原不等式的解集为{x|-3<x≤-2,或3≤x<6}.18.(本小题满分12分)正数x,y满足+=1.(1)求xy的最小值;(2)求x+2y的最小值.解:(1)由1=+≥2得xy≥36,当且仅当=,即y=9x=18时取等号,故xy的最小值为36.(2)由题意可得x+2y=(x+2y)=19++≥19+2=19+6,当且仅当=,即9x2=2y2时取等号,故x+2y的最小值为19+6.19.(本小题满分12分)已知不等式x(ax-1)>a(x-1),其中a∈R.(1)当a=时,解不等式;(2)若不等式在R上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,不等式即为x>(x-1),即x2-3x+1>0,解得x>或x<.故不等式的解集为∪.(2)不等式x(ax-1)>a(x-1)可化为ax2-(a+1)x+a>0,显然当a≤0时,不合题意;因此应有解得a>1.故a的取值范围是(1,+∞).20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+ax+b-a(a,b∈R),(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),求实数a+b的值;(2)设a=2,若不等式bf(x)>b2-3对任意实数x都成立,求实数b的取值范围.解:(1)因为不等式f(x)=x2+ax+b-a>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),所以-3,1为函数x2+ax+b-a=0的两个根,所以解得a=2,b=-1,所以a+b=1.15 (2)当a=2时,原不等式可化为bx2+2bx-2b+3>0对任意实数x都成立,①当b=0时,3>0恒成立;②当b≠0时,bx2+2bx-2b+3>0恒成立,则需解得0<b<1,综上,所求实数b的取值范围为[0,1).21.(本小题满分12分)由于春运的到来,某火车站为舒缓候车室人流的压力,决定在候车大楼外搭建临时候车区,其中某次列车的候车区是一个总面积为50m2的矩形区域(如图所示),矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙(长度为12m),其余三面用铁栏杆围挡,并留一个宽度为2m的入口.现已知铁栏杆的租用费用为80元/m.设该矩形区域的长为x(单位:m),租用铁栏杆的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数,并求租用搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的x;(2)若所需总费用不超过2160元,则x的取值范围是多少?解:(1)依题意有y=80,其中2<x≤12.由均值不等式可得y=80≥80×(2-2)=1440,当且仅当=x,即x=10时取“=”.综上,当x=10时,租用搭建此区域的铁栏杆所需费用最小,最小费用为1440元.(2)y=80≤2160,∴+x-2≤27,∴x2-29x+100≤0,解得4≤x≤25.又∵x≤12,∴4≤x≤12,即x的取值范围是[4,12].22.(本小题满分12分)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若>,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”.同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”.(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;(2)已知点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,判断点P(a+c,b+d)是否既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”,并证明你的结论.解:(1)根据题设中的定义可得点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为(3,4)和(3,7).(2)点P(a+c,b+d)既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”.证明如下:因为点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,所以>.15 因为a,b,c,d均大于0,所以ad>bc,所以ad-bc>0.所以-===>0,即>,所以点P(a+c,b+d)是点(c,d)的“上位点”,同理可得-==<0,即>,所以点P(a+c,b+d)是点(a,b)的“下位点”,所以点P(a+c,b+d)既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”.15

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-14 17:00:05 页数:15
价格:¥3 大小:158.00 KB
文章作者:随遇而安

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