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第二章一元二次函数方程和不等式章末检测试卷(附解析新人教A版必修第一册)

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一元二次函数、方程和不等式(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式x2≥2x的解集是(  )A.{x|x≥2}     B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤2}D.{x|x≤0或x≥2}解析:选D 由x2≥2x得x(x-2)≥0,解得x≤0或x≥2,故选D.2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(  )A.A≤BB.A≥BC.A<B或A>BD.A>B解析:选B ∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=+b2≥0,∴A≥B.3.不等式组的解集为(  )A.{x|-1<x<1}B.{x|0<x<3}C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<3}解析:选C 由得所以0<x<1,即不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.4.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(  )A.{x|x<5a或x>-a}B.{x|x>5a或x<-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}解析:选A 方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a.因为2a+1<0,所以a<-,所以-a>5a.结合二次函数y=x2-4ax-5a2的图象,得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a},故选A.5.已知a,b,c∈R,则下列说法中错误的是(  )A.a>b⇒ac2≥bc2B.>,c<0⇒a<bC.a3>b3,ab>0⇒<D.a2>b2,ab>0⇒<解析:选D 对于A,c2≥0,则由a>b可得ac2≥bc2,故A中说法正确;对于B,由>,得-=>0,当c<0时,有a-b<0,则a<b,故B中说法正确;9 对于C,∵a3>b3,ab>0,∴a3>b3两边同乘,得到>,∴<,故C中说法正确;对于D,∵a2>b2,ab>0,∴a2>b2两边同乘,得到>,不一定有<,故D中说法错误.故选D.6.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是(  )A.m≤-2或m≥2B.-2≤m≤2C.m<-2或m>2D.-2<m<2解析:选B 因为不等式x2+mx+1≥0的解集为R,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.7.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-300x+80000,为使平均处理成本最低,该厂每月处理量应为(  )A.300吨B.400吨C.500吨D.600吨解析:选B 由题意,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y=x2-300x+80000,所以平均处理成本为s===+-300,其中300≤x≤600,又+-300≥2-300=400-300=100,当且仅当=时等号成立,所以x=400时,平均处理成本最低.故选B.8.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值是(  )A.0B.1C.D.3解析:选B 由题意得==≤=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故+-=-+=-+1≤1,当且仅当y=1时,9 等号成立,故所求的最大值为1.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(  )A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>0解析:选BCD 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=2×=-1<0,-=2+=>0,又a<0,故b>0,c>0,故B、C正确;因为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选B、C、D.10.下列结论中正确的有(  )A.若a,b为正实数,a≠b,则a3+b3>a2b+ab2B.若a,b,m为正实数,a<b,则<C.若>,则a>bD.当x>0时,x+的最小值为2解析:选ACD 对于A,∵a,b为正实数,a≠b,∴a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0,∴a3+b3>a2b+ab2,故A正确;对于B,若a,b,m为正实数,a<b,则-=>0,则>,故B错误;对于C,若>,则a>b,故C正确;对于D,当x>0时,x+的最小值为2,当且仅当x=时取等号,故D正确.故选A、C、D.11.下列各式中,最大值是的是(  )A.y=x2+B.y=x(0≤x≤1)9 C.y=D.y=x+(x>-2)解析:选BC A中,y=x2+≥2=,因此式子无最大值;B中,y2=x2(1-x2)≤=,y≥0,∴0≤y≤,当且仅当x=时y取到最大值;C中,当x=0时,y=0,当x≠0时,y=≤=,当且仅当x=±1时y取到最大值;D中,y=x+=x+2+-2≥2-2=2(x>-2)(当且仅当x=0时取等号),无最大值,故选B、C.12.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏,若售价每提高1元,则日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入,则这批台灯的售价x(元)的取值可以是(  )A.10B.15C.16D.20解析:选BC 设这批台灯的售价定为x元,x≥15,则[30-(x-15)×2]·x>400,即x2-30x+200<0,因为方程x2-30x+200=0的两根分别为x1=10,x2=20,所以x2-30x+200<0的解集为{x|10<x<20},又因为x≥15,所以15≤x<20.故选B、C.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知a>b,a->b-同时成立,则ab应满足的条件是________.解析:因为a->b-,所以-=>0.又a>b,即a-b>0,所以>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.答案:ab<-1或ab>014.一个大于50小于60的两位数,其个位数字b比十位数字a9 大2.则这个两位数为________.解析:由题意知解得4<a<5.又a∈N*,∴a=5.∴b=7,∴所求的两位数为57.答案:5715.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-3或x>1},则a+b=________,一元一次不等式ax+b<0的解集为________.解析:由题意知,-3和1是方程x2+ax+b=0的两根,所以解得故a+b=-1.不等式ax+b<0即为2x-3<0,所以x<.答案:-1 16.已知正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为________.解析:因为x,y为正数,且x+2y=2,所以+y=1,所以=·=++5≥2+5=9,当且仅当x=4y=时,等号成立,所以的最小值为9.答案:9四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解下列不等式:(1)2+3x-2x2>0;(2)x(3-x)≤x(x+2)-1.解:(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0,所以(2x+1)(x-2)<0,故原不等式的解集是.(2)原不等式可化为2x2-x-1≥0.9 所以(2x+1)(x-1)≥0,故原不等式的解集为.18.(本小题满分12分)当p,q都为正数且p+q=1时,试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.解:(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q都为正数,所以-pq(x-y)2≤0,因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立.19.(本小题满分12分)已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?解:(1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图所示)知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.因此a的取值范围是{a|a<1}.(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图所示)知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,即解得-3<a<0.因此a的取值范围是{a|-3<a<0}.20.(本小题满分12分)已知a>0,b>0且+=1.(1)求ab的最小值;(2)求a+b的最小值.解:(1)因为a>0,b>0且+=1,所以+≥2=2,则2≤1,9 即ab≥8,当且仅当即时取等号,所以ab的最小值是8.(2)因为a>0,b>0且+=1,所以a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当即时取等号,所以a+b的最小值是3+2.21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R).解:(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对于一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对于一切实数x恒成立.当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;当a≠0时,由题意得解得a≥.所以实数a的取值范围是.(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,所以不等式的解集为;当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};9 ②当-1<a<0时,->1,不等式的解集为;③当a<-1时,-<1,不等式的解集为.综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为.22.(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?解:(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为万元,∴年销售收入为·Q=(32Q+3)+x,∴W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x=(32Q+3)-x=(32Q+3-x)=(x≥0).(2)由(1)得,W===--+50.∵x+1≥1,∴+≥2=8,∴W≤42,当且仅当=,即x=7时,W有最大值42,9 即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.9

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-17 11:00:08 页数:9
价格:¥3 大小:93.00 KB
文章作者:随遇而安

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