七年级数学（第三章 一次方程与方程组）3.2 一元一次方程的应用（沪科版 学习、上课资料）

3.2一元一次方程的应用第三章一次方程与方程组 学习目标课时讲解1建立一元一次方程模型解决实际问题等积变形问题行程问题储蓄问题销售问题配套问题工程问题 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2 知1－讲感悟新知知识点建立一元一次方程模型解决实际问题11.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1)弄清题意和题中的数量关系，用字母(如x，y(表示问题里的未知数；(2)分析题意，找出相等关系(可借助于示意图、表格等)； 感悟新知(3)根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4)解这个方程，求出未知数的值；(5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位名称).知1－讲 感悟新知知1－讲特别提醒列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点：1.恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一.2.题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择；3.求出方程的解后要检验，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义. 感悟新知2.常见的两种基本相等关系(1)总量与分量关系问题：总量=各分量的和；(2)余缺问题：表示同一个量的两个不同的式子相等.知1－讲 知1－练感悟新知利用方程解答下列问题：(1)x的3倍与2的和等于x的2倍与1的差，求x的值；(2)已知整式－3x+2与2x－1的值互为相反数，求x的值.例1 知1－练感悟新知解题秘方：直接根据文字中提示的相等关系列出方程，求出未知数的值. 知1－练感悟新知解：(1)列方程，得3x+2=2x－1.移项、合并同类项，得x=－3.(2)根据题意，得－3x+2+2x－1=0.移项，得－3x+2x=－2+1.合并同类项，得－x=－1.系数化为1，得x=1. 感悟新知方法点拨列方程解决文字题时，有的已直接反映了相等关系；也有的相等关系通过其他文字揭示，如“互为相反数”，即两个量的和为0等.知1－练 知1－练感悟新知某校七年级200名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观，其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2倍少10名，问到乙纪念馆参观的学生有多少名？例2 知1－练感悟新知解题秘方：用分量的和等于总量列出方程，解决问题.解：设到乙纪念馆参观的学生有x名，则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名.根据题意，得2x－10+x=200.解得x=70.答：到乙纪念馆参观的学生有70名. 感悟新知方法点拨列一元一次方程解决实际问题的关键是审题，寻找相等关系.知1－练 知1－练感悟新知[期末·南京]某制造工厂计划若干天完成一批玩具的订货任务，如果每天生产玩具20个，那么就比订货任务少生产100个；如果每天生产玩具23个，那么就可超过订货任务20个，求原计划几天完成任务.例3 知1－练感悟新知解题秘方：不管是余是缺，总量不变是列方程的关键．解：设原计划x天完成任务.依题意得20x+100=23x－20.解得x=40．答：原计划40天完成任务． 感悟新知解法提醒“余”是分配中的多余情况，“缺”是分配中的缺少情况，有的题目不会出现“余”或“缺”的字样，余缺问题中，一般会给出两个条件：什么情况下会“余”，“余”多少；什么情况下会“缺”，“缺”多少.知1－练 知1－练感悟新知[期中·武汉]列一元一次方程解决下列问题：某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t，新、旧工艺的废水排量之比为2∶5，两种工艺的废水排量各是多少？环保限制的最大量是多少？例4 知1－练感悟新知解题秘方：未知的量若以比例的形式出现，则解决问题的关键是求出单位量，通过设单位量表示总量列方程． 知1－练感悟新知解：设用新工艺的废水排量为2xt，则用旧工艺的废水排量为5xt.依题意，得2x+100=5x－200.解得x=100.所以2x=200，5x=500，2x+100=300．答：用新工艺的废水排量为200t，用旧工艺的废水排量为500t，环保限制的最大量是300t． 感悟新知方法点拨在比例问题中设未知数的方法：遇到比例问题时，一般先设1份为未知数，再用含未知数的式子表示相关的量.如当已知新工艺的废水排量∶旧工艺的废水排量=2∶5时，可以设新工艺的废水排量为2xt，则旧工艺的废水排量为5xt.知1－练 知1－练感悟新知一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和为9，如果把这个两位数加上63，那么恰好成为原两位数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求原来的两位数.例5 知1－练感悟新知解题秘方：用各数位上的数字表示原数和新数，利用两个数之间的关系列方程. 知1－练感悟新知解：设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为9－x.根据题意，得10(9－x)+x+63=10x+9－x.解得x=8.所以9－x=1.答：原来的两位数是18. 知1－练感悟新知教你一招：巧设元解数字问题的方法：(1)连续数设中间；(2)多位自然数设一位；(3)数字换位设部分；(4)小数点移动直接设；(5)数字成比例设比值；(6)特殊关系特殊设. 感悟新知知识储备用式子表示多位数时，这个多位数=个位数字×1+十位数字×10+百位数字×100+千位数字×1000+万位数字×10000+…，如一个五位数，个位、十位、百位、千位、万位上的数字分别为a，b，c，d，e，则这个数可表示为10000e+1000d+100c+10b+a或104e+103d+102c+10b+a.知1－练 感悟新知知2－讲知识点等积变形问题21.等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的面积或体积不变.等积变形问题中的等量关系：变化前图形的面积或物体的体积=变化后图形的面积或物体的体积. 感悟新知知2－讲2.易错警示等积变形问题中涉及求圆柱体积时，会用到圆柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是半径. 知2－讲感悟新知知识链接常见立体图形的体积公式：1.V正方体=a3(a为棱长).2.V长方体=abh(a、b为底面的长、宽，h为高).3.V圆柱=πR2h(R为底面圆的半径，h为高).4.V圆锥=πR2h(R为底面圆的半径，h为高). 感悟新知知2－练将装满水的底面直径为40cm，高为60cm的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50cm的圆柱形水桶里(水不会溢出)，这时水面的高度是多少厘米？例6 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣“容器改变但水的体积没有变”这一等量关系解决问题. 知2－练感悟新知解：设这时水面的高度为xcm.根据题意可得π×()2×60=π×()2×x.解得x=38.4.答：这时水面的高度为38.4cm. 感悟新知方法点拨等积变形中，类似的问题还有相同体积的水注入不同形状的容器中，虽然容器的形状不同，但水的体积没有改变.知2－练 感悟新知知3－讲知识点行程问题31.行程问题中的基本关系式路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间. 感悟新知知3－讲2.行程问题中的相等关系(1)相遇问题中的相等关系：①若甲、乙相向而行，甲走的路程+乙走的路程=甲、乙出发点之间的路程；②若甲、乙同时出发，甲用的时间=乙用的时间. 感悟新知知3－讲(2)追及问题中的相等关系：①快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间.(3)航行问题中的相等关系：顺水(顺风)速度=静水(无风)速度+水(风)速度；逆水(逆风)速度=静水(无风)速度－水(风)速度. 知3－讲感悟新知特别提醒1.在行程问题的三个量(路程、速度、时间)中，一个量已知，另一个量设元，则第三个量用来列方程.2.在相遇和追及问题中，若两者同时出发，则时间相等，利用两者路程之间的关系列方程.3.航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路线相同，则路程不变. 知3－练感悟新知甲站和乙站相距1500km，一列慢车从甲站开出，速度为60km/h，一列快车从乙站开出，速度为90km/h.例7解题秘方：根据相遇和追及问题中路程之间的关系列出方程. 感悟新知知3－练(1)若两车相向而行，慢车先开30min，快车开出几小时后两车相遇？解：设快车开出xh后两车相遇.由题意，得60×(x+)+90x=1500.解得x=9.8.答：快车开出9.8h后两车相遇. 感悟新知知3－练(2)若两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距1800km？解：设yh后两车相距1800km.由题意，得60y+90y+1500=1800.解得y=2.答：2h后两车相距1800km. 感悟新知知3－练(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面)？解：设zh后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面).由题意，得60z+1500－90z=1200.解得z=10.答：10h后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面). 知3－练感悟新知思路分析(1)设快车开出xh后两车相遇.列表：相等关系：慢车行驶的路程+快车行驶的路程=1500km.或画线段示意图，如图3.2-1.慢车快车路程/km60(x+)90x速度/(km/h)6090时间/hx+x 知3－练感悟新知(2)设yh后两车相距1800km.列表：相等关系：两车行驶的路程和+1500km=1800km.或画线段示意图，如图3.2-2.慢车快车路程/km60y90y速度/(km/h)6090时间/hyy 知3－练感悟新知(3)设zh后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面).相等关系：慢车行驶的路程+1500km－快车行驶的路程=1200km. 知3－练感悟新知方法点拨：(1)分析行程问题时，可借助图示、列表来分析数量关系，图示可直观地找出路程之间的关系，列表可将路程、速度、时间的关系清晰地展示出来. 知3－练感悟新知(2)本例是求时间，我们可设时间为未知数，从路程找相等关系；如果要求的是路程，那么我们可设路程为未知数，从时间找相等关系，其依据是路程、速度和时间三者间的关系.如(1)小题若将“几时后两车相遇”改为“相遇时快车行驶了多少千米”，如果间接设未知数，原解题过程不变，将x求出后，再求出90x的值即可，如果直接设未知数，解题过程改为：设相遇时快车行驶了mkm. 知3－练感悟新知列表：相等关系：慢车行驶时间－h=快车行驶时间.列方程为－=.路程/km速度/(km/h)时间/h慢车1500－m60快车m90 知3－练感悟新知小李和爸爸周末去体育中心晨练，两人沿400m的跑道匀速跑步，每次总是小李跑了2圈爸爸跑3圈，一次两人在同地反向而跑，小李最后发现隔了32s两人第一次相遇．例8 知3－练感悟新知解题秘方：可将环形中的相遇或追及问题转化为直线形中的相遇或追及问题． 知3－练感悟新知方法点拨环形运动问题中的相等关系(同时同地出发)：(1)同向相遇：第一次相遇快者跑的路程－第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的长度；(2)反向相遇：第一次相遇快者跑的路程+第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的长度. 感悟新知知3－练(1)求两人的速度.解：设小李的速度为2xm/s，则爸爸的速度为3xm/s．根据题意得32(2x+3x)=400.解得x=2.5.所以2x=5，3x=7.5．答：小李的速度为5m/s，爸爸的速度为7.5m/s. 感悟新知知3－练(2)若小李和爸爸在同地同向而跑，则过多久两人首次相遇？解：设过了ts两人首次相遇．根据题意得7.5t－5t=400.解得t=160．答：过了160s两人首次相遇． 感悟新知知3－练一列火车匀速行驶经过一座桥，火车完全通过桥共用了50s，整列火车在桥上的时间为30s，已知桥长1200m，求火车的长度和速度.例9解题秘方：理解“完全通过桥”和“整列火车在桥上”时火车的运动过程，根据火车行驶的速度不变列方程. 知3－练感悟新知路程/m时间/s速度/(m/s)完全通过桥1200+x50整列火车在桥上1200－x30解：设火车的长度为xm.列表：相等关系：完全通过桥的速度=整列火车在桥上的速度. 知3－练感悟新知根据题意，得=.解得x=300.==30.答：火车的长度为300m，速度为30m/s. 知3－练感悟新知方法归纳1.火车过桥问题的图形表示：火车“完全通过桥”是指从火车头上桥到火车尾离桥，如图3.2-3；而“整列火车在桥上”是指火车尾上桥到火车头离桥，如图3.2-4. 知3－练感悟新知2.两列火车错车问题的相等关系：相向：两列火车所行路程的和=两列火车车身长的和；同向：两列火车所行路程的差=两列火车车身长的和. 感悟新知知4－讲知识点储蓄问题41.概念储户存入银行的钱叫做本金，银行付给储户的酬金叫做利息，本金和利息的和叫做本息和，每个时期利息与本金的比叫做利率. 感悟新知知4－讲2.等量关系本金×利率×期数=利息；本金+利息=本息和；=月(年)利率. 知4－讲感悟新知特别警示储蓄问题中应注意的问题：(1)计算利息时不要忘记乘期数；(2)要注意区分给出的是年利率还是月利率. 感悟新知知4－练为了准备婷婷6年后上大学的费用50000元，她的父亲现在就开始进行教育储蓄，利率如表所示.例10教育储蓄年利率1年2.25%3年2.70%6年2.88% 感悟新知知4－练下面有两种储蓄方式：(1)先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存下一个3年期；(2)直接存一个6年期的.你认为哪种储蓄方式开始时需要存入的本金比较少？ 感悟新知易错警示本题自动转存时本金发生了变化，不再是原始的本金，而是3年后的本息和.存3年要用3年的年利率2.70%，存6年要用6年的年利率2.88%，不要代错.知4－练 知4－练感悟新知解题秘方：利用本金、利率、期数、利息、本息和之间的等量关系列方程分别求出两种方式的存入金额，比较判断即可. 知4－练感悟新知解：如果按第一种储蓄方式，设开始存入x元.根据题意，得x(1+2.70%×3)·(1+2.70%×3)=50000.解得x≈42788.如果按第二种储蓄方式，设开始存入y元.根据题意，得y+y×2.88%×6=50000.解得y≈42633.因为42633<42788，所以按第二种储蓄方式开始时需要存入的本金比较少. 感悟新知知5－讲知识点销售问题51.在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率. 感悟新知知5－讲2.相关的相等关系(1)售价=标价×；(2)利润=售价-进价；(3)利润=进价×利润率；(4)利润率=×100%. 知5－讲感悟新知知识储备1.利润率是相对于进价而言的，是利润占进价的百分比.2.在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几.3.利润的两种计算方式是常用到的相等关系：售价－进价=进价×利润率. 感悟新知知5－练[中考·牡丹江]某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了提高销量，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打_______折．例11 感悟新知警示误区求折扣时，若设打x折，则售价不能表示为标价乘x%，也不能表示为标价乘x，应该是售价=标价×.知5－练 知5－练感悟新知解题秘方：根据“利润=售价－进价”列出方程即可求解．解：设商店应打x折.依题意，得180×－120=120×20%.解得x=8．答案：八 感悟新知知5－练某商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.则每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？例12 知5－练感悟新知解题秘方：根据计算销售总额的两种方式列出方程.解：设每件衬衫降价x元.根据题意，得120×400+(500－400)×(120－x)=500×80×(1+45%).解得x=20.答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 感悟新知知识储备当涉及销售总额的销售问题时，销售总额有两种计算方法：(1)销售总额=单个售价×销售量；(2)销售总额=成本×(1+盈利率).知5－练 感悟新知知5－练某商店将两个进价不同的豆浆机都卖了378元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，那么这家商店是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？例13 知5－练感悟新知解题秘方：根据进价高于售价则亏损，进价低于售价则盈利，进价等于售价则不盈不亏进行判断. 知5－练感悟新知解：设盈利20%的豆浆机的进价为x元.由题意，得(1+20%)x=378，解得x=315.设亏损20%的豆浆机的进价为y元.由题意，得(1－20%)y=378，解得y=472.5.所以这两个豆浆机的进价和是315+472.5=787.5(元).因为这两个豆浆机共卖了378×2=756(元)，且756－787.5=－31.5(元)，所以这家商店是亏损的，亏损了31.5元. 感悟新知方法点拨当售价相同，盈利率与亏损率也相同时，其结果一定是亏损，因为盈利商品的进价一定小于售价，亏损商品的进价一定大于售价，而盈利的钱数=盈利商品的进价×盈利率，亏损的钱数=亏损商品的进价×亏损率，故亏损的钱数大于盈利的钱数.知5－练 感悟新知知6－讲知识点配套问题61.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据. 感悟新知知6－讲2.生产配套问题中的基本相等关系加工(或生产)的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比. 感悟新知知6－讲3.调配问题中的基本相等关系指从甲处调一些人(或物)到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲人(或物)数+乙人(或物)数=总人(或物)数. 知6－讲感悟新知知识链接1.列方程解应用题的一般步骤：审→设→列→解→验→答.2.配套问题中的关键词语“刚好”与“最多”要认真区别. 感悟新知知6－练[期末·重庆]某制造“机器人”的车间有28名工人，每人每天可以生产“机器人”的机壳500个或机脚800个．1个机壳需要配4个机脚，为使每天生产的机壳和机脚刚好配套．应安排生产机壳和机脚的工人各多少名？例14 感悟新知解法提醒生产配套问题的关键是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出现，则生产总量的比例等于一套的比例；若配套的方式给出数量，如m件A产品与n件B产品配套，则相等关系是“A产品的件数×n=B产品的件数×m.”知6－练 知6－练感悟新知解题秘方：解题的关键是找准题目中的相等关系．解：设安排x名工人生产机壳，则安排(28－x)名工人生产机脚.依题意，得4×500x=800(28－x).解得x=8．则28－x=20.答：应安排8名工人生产机壳，安排20名工人生产机脚． 感悟新知知6－练学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？例15解题秘方：此类问题多用列表法找相等关系. 知6－练感悟新知解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20－x)人.列表如下：根据题意，得×(23+x)=17+(20－x).解得x=17，则20－x=3.答：应调往甲处17人，调往乙处3人.原有人数增加人数现有人数甲处23x23+x乙处1720－x17+(20－x) 感悟新知误区警示调配问题中，若从一处调到另一处，则一处减，另一处加，且加减的量相同；若另外从其他地方调入，则两处都加，且两处加的总数等于调入总数.知6－练 感悟新知知7－讲知识点工程问题71.基本关系式工作量=工作效率×工作时间，工作时间=，工作效率=. 感悟新知知7－讲2.找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，从另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程. 知7－讲感悟新知特别提醒1.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看作整体1.2.常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和. 感悟新知知7－练甲、乙两个工程队接力完成一段长为1.2km的河道整治任务，共用时60天.已知甲队每天整治24m，乙队每天整治16m，求甲、乙两队分别整治河道多少米.例16 知7－练感悟新知解题秘方：在工程问题中，工作量、工作效率、工作时间，已知一个量，设另一个量，用第三个量列方程. 知7－练感悟新知解：设甲队整治河道xm，则乙队整治河道(1200－x)m.根据题意，得+=60.解得x=720.则1200－x=480.答：甲队整治河道720m，乙队整治河道480m. 感悟新知解法提醒本题中的相等关系有：(1)甲队的工作量+乙队的工作量=1200m.(2)甲队的工作时间+乙队的工作时间=60天.知7－练 感悟新知另解设甲队整治河道y天，则乙队整治河道(60－y)天，根据工作量可列方程为24y+16(60－y)=1200.知7－练 感悟新知知7－练[期末·滨州]一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成，乙工程队单独做需要12天完成．现在由甲工程队单独做4天，剩下的工程由甲、乙合作完成．例17 知7－练感悟新知解题秘方：先由甲工程队单独做4天，再由甲、乙合作x天完成，根据“工作量=工作效率×工作时间”列方程． 感悟新知知7－练(1)(列方程解答)剩下的部分合作还需要几天完成？解：设剩下的部分合作还需要x天完成．根据题意，得×4+(+)x=1.解得x=6.答：剩下的部分合作还需要6天完成. 感悟新知另解若将总工作量分几部分完成，则常见的等量关系为各部分的工作量之和等于总工作量1，即(4+x)+x=1.知7－练 感悟新知知7－练(2)若该工程的总费用为240万元，根据实际完成情况，甲、乙两工程队各得多少万元？解：甲完成的工作量为×(4+6)=，则甲、乙完成的工作量都是，所以报酬应相同，均为120万元． 一元一次方程的应用实际问题建立一元一次方程模型解决配套储蓄工程行程销售等积变形