八年级数学（第十五章 一次函数）15.4 角的平分线（沪科版 学习、上课资料）

15.4角的平分线第十五章轴对称图形与等腰三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2作已知角的平分线角的平分线的性质角的平分线的判定三角形的角平分线的性质(拓展点) 知1－讲感悟新知知识点作已知角的平分线11.角的平分线的作法(1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线.(2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线.(3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论. 感悟新知2.尺规作图步骤与图示已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.知1－讲 感悟新知知1－讲特别解读1.“适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不要太短； 感悟新知(2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求(如图15.4-1).知1－讲 感悟新知知1－讲2.“以大于MN的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交；3.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段；4.依据作图可知△OMC≌△ONC，(SSS)所以OC平分∠AOB. 知1－练感悟新知如图15.4-2，已知∠AOB，求作：∠AOM=∠AOB.例1 知1－练感悟新知解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的四分之一角. 知1－练感悟新知解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F；(2)分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求作的角(如图15.4-2). 感悟新知方法点拨将一个角四等分，可先作这个角的平分线，将这个角二等分，再作分成的两个角的平分线，可将原角四等分.知1－练 知2－讲感悟新知知识点角的平分线的性质2性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.角的平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度.两者缺一不可. 感悟新知知2－讲特别提醒◆角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).◆利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”. 感悟新知2.几何语言如图15.4-3，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE.知2－讲 感悟新知知2－练[期末·烟台海阳]如图15.4-4，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，AE=2BF．例2 知2－练感悟新知解题秘方：掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．解题中，通常过角平分线上一点作角两边的垂线段，“角平分线，垂两边”. 感悟新知知2－练(1)求证：DE=DF；证明：如图15.4-4，过D作DG⊥AB于G，∵AD平分∠CAB，DE⊥AC，∴DE=DG.∵BF∥AC，∴∠F=∠CED=90°，即DF⊥BF.∵BD平分∠ABF，∴DF=DG，∴DE=DF. 感悟新知知2－练(2)若BF=2，求AB的长．解：在△CDE和△BDF中，∵∴△CDE≌△BDF.(ASA)∴CE=BF，∠C=∠FBD.∵AE=2BF，∴AE+CE=2BF+BF=3BF，即AC=3BF=6.∵∠ABC=∠FBD，∠C=∠FBD，∴∠C=∠ABC.∴AB=AC=6． 感悟新知方法点拨运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线性质的模型(即两个必要条件)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.知2－练 感悟新知知2－练[期末·淄博沂源]如图15.4-5，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．例3 知2－练感悟新知解题秘方：根据角平分线的性质得到线段相等，用线段相等去证明三角形全等，再根据全等三角形的性质定理即可得证. 感悟新知知2－练(1)求证：CF=EB；证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，(HL)∴CF=EB. 感悟新知知2－练(2)请你判断AE，AF与BE之间的数量关系，并说明理由．解：AF+BE=AE．理由如下：由(1)可知DC=DE，又∵AD=AD，∴Rt△DCA≌Rt△DEA，(HL)∴AC=AE.∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE． 感悟新知方法点拨解决线段之间的和差问题，掌握角平分线的性质和三角形全等的判定和性质是解题的关键．知2－练 感悟新知知2－练[模拟·济南章丘区]如图15.4-6，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．例4 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和，可得出关于DE的方程，求出即可． 知2－练感悟新知解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF.∵AB=6，BC=8，S△ABC=28，∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB•DE+BC•DF=DE•(AB+BC)=28，即DE×(6+8)=28，∴DE=4． 感悟新知方法点拨求垂线段的长度，用等积法是首要选择，根据角平分线性质得出DE＝DF是解此题的关键．知2－练 感悟新知知3－讲知识点角的平分线的判定31.判定定理角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.2.几何语言如图15.4-7，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. 感悟新知知3－讲3.角平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如图15.4－7，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角的平分线上(角的内部的)点到角两边的距离相等. 知3－讲感悟新知特别提醒1.使用该定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 知3－练感悟新知[月考·大连]如图15.4-8，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．例5 知3－练感悟新知解题秘方：首先利用三角形全等得出DE=DF，再根据三角形角平分线的判定定理即可求证． 知3－练感悟新知证明：∵D为BC中点，∴BD=DC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．∵∴Rt△BDE≌Rt△CDF，(HL)∴DE=DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是△ABC的角平分线． 感悟新知方法点拨证明角平分线的方法思路:1.从数量上证明被角平分线分成的两个角相等.2.从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可.这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想.知3－练 感悟新知知4－讲知识点三角形的角平分线的性质（拓展点）41.性质定理三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.这一点叫三角形的内心. 感悟新知知4－讲2.几何语言如图15.4-9，在△ABC中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE=OG=OF. 知4－讲感悟新知要点解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 感悟新知知4－练[月考·滨州]如图15.4-10，点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点．求证：点P在∠ACN的平分线上．例6 知4－练感悟新知解题秘方：紧扣到CA，CN的距离相等的点在该角的平分线上．证明：过P作PE⊥BM于E，PF⊥AC于F，PG⊥BN于G，∵P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点，∴PE=PF，PE=PG.∴PF=PG.∴点P在∠ACN的平分线上． 感悟新知方法点拨角平分线的性质与判定都离不开“点到角两边的距离”，所以过点作角两边的垂线是运用角平分线性质或判定最常见的辅助线.因此常将证角平分线转化为证垂线段相等；反之也常将证垂线段相等转化为证角平分线.知4－练 角的平分线作已知角的平分线尺规全等角的平分线性质判定