专题15 排列组合（6大易错点分析 解题模板 举一反三 易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题15排列组合易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）相邻问题技巧总结相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（） A．种B．种C．种D．种易错分析：本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相邻”理解为“甲、乙、丙3人互不相邻”的情况，使结果中遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况．正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即，故选B．易错警示：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（       ）种加工方法．A．24B．32C．48D．64解：工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性故选：A变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（       ）A．种B．种C．种D．种解：首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.故选：C变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（       ）A．10种B．12种C．16种D．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2 种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ）A．1120B．7200C．8640D．14400【答案】B【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，所以共有种不同的排法．故选：B.2．六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（   ）A．48种B．72种C．120种D．144种【答案】D【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的两人排列有种，再排丙和丁有种，故共有种排法.故选：D.3．把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为 ，则（    ）A．5B．C．4D．【答案】A【分析】根据二项式的展开公式可得有5项有理项，4项无理项，从而可得、的值，再代入求解即可得答案.【详解】解：，其中，，当时为有理项，故有5项有理项，4项无理项，故，，故.故选:A．4．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（    ）A．48B．96C．144D．288【答案】C【分析】根据相邻捆绑法和不相邻问题插空法即可由排列数计算求解.【详解】由于A，B相邻，所以先将A,B看作一个整体捆绑起来与E,F进行全排列，然后将C，D插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可，故共有,故选：C5．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（    ）A．18种B．24种C．30种D．36种【答案】C【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有种站法， 所以一共有种不同的站法．故选：C6．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ）A．18种B．36种C．72种D．144种【答案】C【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【详解】由题意可得，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（    ）A．144B．864C．1728D．2880【答案】C【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【详解】甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，则所有不同站法的种数为．故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（    ）A．120种B．240种C．360种D．480种【答案】D【分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即，然后求学员A和B相邻的排列数，两数相减即可.【详解】一方面：若要求学员A和B相邻，则可以将学员A和B捆绑作为一个“元素”，此时一共有个元素，但注意到学员A和B可以互换位置，所以学员A和B相邻一共有种排法. 另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为种排法.结合以上两方面：学员A和B不相邻的不同的排法共有种排法.故选：D.9．某高铁动车检修基地库房内有共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车、高铁共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车停放在道的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据条件概型以及排列数的计算求得正确答案.【详解】记“两动车相邻”，“动车停在道”，则.故选：C10．班长邀请四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则两位同学座位相邻的概率是（　　）  A．B．C．D．【答案】A【分析】先计算出四位同学参加圆桌会议的情况数，再计算出两位同学座位相邻的情况，从而计算出概率.【详解】四位同学参加圆桌会议，共有种情况，其中两位同学可坐在①②，②③，③④三个位置，并可进行互换位置，有种情况，两位同学坐在其余两个位置，且可互换，有种情况，故两位同学座位相邻的情况有种情况， 所以两位同学座位相邻的概率为.故选：A11．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（    ）A．4种B．8种C．12种D．48种【答案】B【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有种不同的排法.故选：B12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（    ）A．70种B．72种C．36种D．12种【答案】C【分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，则共有种排法.故选：C13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（    ）A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种【答案】ABC【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确；对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确；对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确； 对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法，此时乙有种排法，共有种排法；（2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法，共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误.故选：ABC.14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ）A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种【答案】BD【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；故选：BD15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（    ）A．甲乙不相邻的不同排法有48种B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C．甲乙不排在两端的不同排法有36种D．甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种 【答案】BCD【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确；D：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有种，所以本选项正确.故选：BCD16．某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是（    ）A．若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序B．若女生甲在女生乙的前面，则有2520种不同的出场顺序C．若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序D．若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序【答案】BCD【分析】选项A采用“插空法”，先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得；选项B由女生甲在女生乙的前面与女生甲在女生乙的后面各占一半，结合4男3女的全排列求解即可；选项C先将4位男生捆绑作为一个整体进行全排列，然后3位女生和这个整体全排列可得；选项D采用“插空法”，分两次插入老师节目即可.【详解】若3个女生不相邻，则有种不同的出场顺序，A错误；若女生甲在女生乙的前面，则有种不同的出场顺序，B正确；若4位男生相邻，则有种不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再增加两个教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形成8个空，插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学生节目和刚插入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教师节目，有9种情况，所以这两位教师共有种不同的出场顺序，D正确.故选：BCD.17．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E 五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（    ）A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种【答案】AC【分析】对于A，根据社区A必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B，根据同学甲必须选择社区A，有乙丙都有5种选择求解；对于C，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；【详解】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故A正确；对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故B错误；对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），故C正确；对于D，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有（种），故D错误.故选：AC.18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（    ）A．3名男生排在一起，有6种不同排法B．2名女生排在一起，有48种不同排法C．3名男生均不相邻，有12种不同排法D．女生不站在两端，有108种不同排法【答案】BC【分析】利用捆绑法可判断A、B；利用插空法可判断C；利用分步计数法可判断D.【详解】解：由题意得：对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误；对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有种，B正确；对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有种，C正确； 对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误.故选：BC19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种【答案】ABC【分析】A选项，使用捆绑法进行求解；B选项，分两种情况，最左端排甲和最左端排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；C选项，采用插空法进行求解；D选项，定序问题采用倍缩法进行求解.【详解】A选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有种，A正确；B选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有种，若最左端排乙，则最右端只能从丙，丁，戊选出1人，其余三人与三个位置进行全排列，故有种选择，综上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，B正确；C选项，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，C正确；D选项，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，D错误.故选：ABC20．(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（    ）A．A与B相邻有48种摆法B．A与C相邻有48种摆法C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法【答案】ABC【分析】逐个分析每个选项正确与否即可 【详解】对于A选项：产品A与B相邻，把作为一个元素有种方法，而A，B可交换位置，所以有种摆法.故A选项符合题意.对于B选项：同A选项一样分析可知产品A与C相邻也有48种摆法.故B选项符合题意.对于C选项:当相邻又满足相邻，首先将产品捆绑起来作为一个元素并把产品放在产品与之间，注意到产品与可互换位置，所以首先排列有种摆法，把组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素进行排列，又有种摆法，所以A，B相邻又A，C相邻，有种摆法.故C选项符合题意.对于D选项：由A选项可知A与B相邻有48种摆法，由C选项可知A，B相邻又A，C相邻有12种摆法，因此A与B相邻，且A与C不相邻有种摆法.故D选项不符合题意.故选：ABC.21．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据排列组合，结合相邻问题，即可求解.【详解】（方法1：间接法）：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为．（方法2：直接法）：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有种站法，其余三名学生任意排列有种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（种）．或者，四名同学全排时，甲同学与老师相邻与甲同学与老师不相邻各占，故有．故选:BCD．易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题） 不相邻问题技巧总结1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数易错提醒：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数．（1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起．错解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，所以共有种排法；（2）将男生看成一个整体，与女生进行全排列即可，所以共有种排法．错因分析：解决此类问题时将“在一起”的进行“捆绑”，与其他元素进行排列即可．错解中（1）忽略了将男女生所看成的两个整体进行排列，即忽略了“整体排列”；（2）忽略了将男生进行排列，即忽略了“内部排列”．正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，最后两个整体全排列①，所以共有种排法；（2）将男生看成一个整体，先进行内部排列，再与女生进行全排列即可②，所以共有种排法．变式1：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局” 的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（       ）A．10种B．12种C．16种D．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A变式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（       ）A．B．C．D．解：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有种方法，甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有种方法，所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为，故选：A变式3：某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（       ）A．12种B．24种C．72种D．120种解：先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有种排法，故选：A.1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（    ）A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法B．若女生互不相邻，那么一共有种排法C．若甲不站最中间，那么一共有种排法D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法 【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确；故选：AC.2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（    ）A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法【答案】AD【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断.【详解】A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有种，故A正确；B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有，故B错误；C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，再由4个节目组成的5个空插入2 个舞蹈节目，所以符合题意的方法有种，故C错误；D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，所以不同的选法共种，故D正确.故选：AD.3．现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（    ）A．个空位全都相邻的坐法有种B．个空位中只有个相邻的坐法有种C．个空位均不相邻的坐法有种D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种【答案】AC【分析】对于A，用捆绑法即可；对于B，先用捆绑法再用插空法即可；对于C，用插空法即可；对于D，用插空法的同时注意分类即可.【详解】对于A，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：种，故A对；对于B，先排4个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有种方法，所以一共有种，故B错；对于C，先排4个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的个空位中有种，所以一共有，故C对；对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：，空位只有两个相邻的有，所以一共有种，故D错；故选：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ）．A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种【答案】BCD【分析】根据相关的计数原理逐项分析.【详解】对于A，将甲乙捆绑有种方法，若戊在丙丁之间有排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有种排法，所以总的排法有，故A错误；对于B，若甲在最左端，有种排法，若乙在最左端，先排甲有种排法，再排剩下的3人有，所以总共有种排法，正确；对于C，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有种，再插戊有种，总共有种，正确；对于D，先分组，将甲乙丙丁分成3组有种分法，再将分好的3组安排在3个社区有种方法，共有种方法，正确；故选：BCD.5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（   ）A．4个空位全都相邻的坐法有720种B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C．4个空位均不相邻的坐法有1800种D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种【答案】AC【分析】对于A，用捆绑法即可;对于B，先用捆绑法再用插空法即可；对于C，用插空法即可；对于D，用插空法的同时注意分类即可.【详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：，故A对； 对于B，先排5个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有中方法，所以一共有种，故B错；对于C，先排5个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有种，所以一共有，故C对；对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有：，空位只有两个相邻的有，所以一共有种，故D错；故选：AC6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（    ）A．B．C．D．【答案】CD【分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况．则有种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法，则歌手不相邻有种排法．故选：CD7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法【答案】ACD【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.故选：ACD.8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（    ）A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【答案】ACD【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确； D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；共有种分组方法，D正确.故选：ACD9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ）A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种【答案】BC【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优限法、定序法、分组分配法逐项判断即可.【详解】对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种，然后与戊全排列的安排种，丙、丁不能相邻的安排有种，共有种，故A不正确；对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则当甲在左端时，则有种安排方法；当乙在左端时，甲有种安排方法，其他人有种安排方法，故符合的总的安排方法种数为种，故B正确；对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有种，故C正确；对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则4人分三组的分组方法数为，再把三个组分配到三个社区的种方法数为，则总的安排方法数为种，故D不正确.故选：BC.10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36B．72C．81D．144【答案】D【分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，故共有种不同的排法，故选：D11．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ）A．288种B．360种C．480种D．504种【答案】C【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有种.故选：C12．，，，，五名学生按任意次序站成一排，其中和不相邻，则不同的排法种数为（    ）A．72B．36C．18D．64【答案】A【分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解.【详解】解：先将其余三人全排列，共有种情况，再将和插空，共有种情况，所以共有种情况，故选：A.13．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】利用全排列与插空法分别求得所需要考试顺序种类，再利用古典概型即可得解.【详解】这4个学科不同的考试顺序有种，先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中，则物理考试与数学考试不相邻的考试顺序共有种，所以所求概率为.故选：B.14．现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】用排除法，即7人的全排列减去3个女生都不相邻的情形（用插空法求三女生全不相邻的排法）.【详解】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即，故选：B.15．黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（    ）A．180B．210C．240D．360【答案】C【分析】用插入法求解.【详解】先把排列，然后选两个空档插入3，总方法为．故选：C．易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合）1．两个重要公式 (1)排列数公式．(2)组合数公式2、要点：一般用于计算，而和一般用于证明、解方程（不等式）.重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：；组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.从个不同的元素中任取个元素后只剩下个元素了，则从个不同的元素中任取个元素与从个不同的元素中任取个元素是等效的.则，故.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当时，通常将计算转化为计算，如②列等式：由，可得或，如，则或故或.（2）；组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有种，如果不取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有，根据分类加法原理：.等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1 而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：，，，.（3）.重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：；组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.从个不同的元素中任取个元素后只剩下个元素了，则从个不同的元素中任取个元素与从个不同的元素中任取个元素是等效的.则，故.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当时，通常将计算转化为计算，如②列等式：由，可得或，如，则或故或.（2）；组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有种，如果不取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有，根据分类加法原理：.等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形 常见的组合恒等式：，，，.（3）.易错提醒：解排列、组合的综合问题要注意以下几点（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．（2）对于有限多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．例、解不等式.【错解】由排列数公式得，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12.因为x∈N*，所以x＝8，9，10，11.【错因】在排列数公式A中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解中没有考虑到x－2>0，8≥x，导致错误．【正解】由，得，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又所以2<x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.【答案】x＝8.变式1．若，则n的值为（       ）A．7B．8C．9D．10解：因为，则由组合数的性质有，即，所以n的值为10.故选：D变式2．计算＋＋＋＋的值为（       ）A．B．C．－1D．－1解： .故选：C.变式3．若整数满足，则的值为（       ）A．1B．C．1或D．1或3解：由题可知或，整理得或，解得或或或．又，所以只有和满足条件，故的值为1或．故选：C1．可表示为（　　）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据排列数的定义可得出答案．【详解】，故选：B.2．已知，则（    ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【分析】根据排列组合公式得到，解得答案.【详解】，即，故，故. 故选：C3．！除以2019的余数为（    ）A．1B．2018C．2017D．前三个答案都不对【答案】B【分析】利用裂项可求，故可求余数.【详解】题中式子即，注意到，于是，因此所求余数为2018．故选：B.4．甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的4门校本课程中任选一门参加的事件数为甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为故所求概率为故选：A5．若，则n等（    ）A．8B．4C．3或4D．5或6【答案】A【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求出.【详解】由题意，根据排列数、组合数的公式，可得，，则，且，解得：.故选：A 6．若，则正整数（    ）A．7B．8C．9D．10【答案】B【分析】利用组合数、排列数的定义直接展开，解方程即可求得.【详解】因为，所以，解得：.故选：87．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（    ）A．15B．16C．17D．18【答案】C【分析】由题意得，化简计算可得，由于，，可得，从而可求出，经验证可得答案【详解】原来个车站有种车票，新增了个车站，有种车票，由题意得，即，整理得，∴，∵，，∴，∴，解得，即.当时，均不为整数，只有当时，符合题意，∴，故现在有17个车站.故选：C.8．不等式的解集为（   ）A．{2，8}B．{2，6}C．{7，12}D．{8}【答案】D【解析】直接根据排列数公式展开，再解不等式，即可得答案.【详解】 ，解得：.又，，即.故选：D【点睛】本题考查排列数公式的计算、不等式求解，考查基本运算求解能力.9．若，则.【答案】【分析】根据排列数、组合数公式计算可得.【详解】因为，即，所以，因为，所以.故答案为：10．已知，求x的值．【答案】.【分析】根据给定条件，利用排列数公式直接计算作答.【详解】，化为：，即，解得，所以x的值为.11．解关于正整数x的不等式．【答案】【分析】根据排列数的公式计算求解.【详解】由，可得，所以，整理得，解得，又因为，所以.12．解关于正整数n的方程：． 【答案】【分析】根据排列数的计算公式即可求解.【详解】由排列数的定义，有由此解得．此外，原方程可化为，再化简，可得，即，即．舍去非整数的根，故．13．已知，且.求的值.【答案】【分析】根据题意结合排列数、组合数运算求解可得，求导，利用导数运算求解.【详解】因为，则且，所以，整理可得，解得.令，则，因此，.14．（1）解不等式．（2）若，求正整数n．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据排列数及排列数公式，计算即可；（2）根据组合数及组合数公式，计算即可．【详解】（1）由，可得，可得.可得， 所以，即，因为，，，，，所以；（2），故，解得.15．（1）若，则x=.（2）不等式的解集为.【答案】5【分析】（1）根据排列数公式即可求解；（2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.【详解】（1）且，，化简得，解得（不合题意，舍去），；（2）∵，∴，即，解得.∵，∴.∴的取值集合为.故答案为：5；.易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理） 正难则反问题技巧总结正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。正规方法：限制（定位）问题优先处理：某个（几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其它元素，或某个（几个）位置要求排指定元素，可先排这个（几个）位置，再排其它位置。（即可从限制元素或限制位置两方面去考虑。）。秒杀方法：对立事件处理+韦恩图解释模型：7个同学站队，要求甲同学不站在排首，乙同学不站在排尾，求站队的总方案数.破解：①全部方案：,②其中不合理的方案则种方案.解释：易错提醒：排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以我们在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素原则、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则 等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时，解答组合问题必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．例、有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？易错分析：由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误解法：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有种不同的取法，故共有（种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有（种）；②取出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是．正解：方法一将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）易错警示：对于“至少”“至多”类型的问题，考生应注意从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．变式1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面点，不同取法有种。解：任取4个点共有种，再考虑不满足条件的取法：①每个表面六个点中任取四个点共面，即种；②每一条棱与对棱中点四个点共面，有6种；③与对棱平行的平行四边形共面，有3种，共有210-60-6-3=141种。变式2：从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队， 要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A.70种B.80种C.100种D.140种解：方法一：正难则反排除法：从9名医生中任意选3名医生有种，不满足的有：①都是男医生种；②都是女医生种，共有种，选C。方法二：多元问题分类处理法：①男医生2名、女医生1名：有种；②男医生1名、女医生2名：，一共有+=70种，选C。错误做法：，出现了重复计算。变式3：定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1,且对任意，中0的个数不少于1的个数。若，则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16C.14个D.12个解：，方法一：列举法：可列举出中间六项所有可能性共有14种，选C。方法二：正难则反排除法：中间六项共有种，0的个数小于1的个数有6种，共14种。1．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方染共有（    ）A．60种B．90种C．125种D．150种【答案】B【分析】根据题意，分2步进行分析：将5名交警分成1、2、2的三组；将分好的三组全排列，对应3个路口，由分步乘法计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：将5名交警分成1、2、2的三组，有种分组方法；将分好的三组全排列，对应3个路口，有种情况，则共有种分配方案. 故选:B.2．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件数，再求出甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的基本事件数，然后利用古典概率公式计算作答,【详解】当A，B，C三家医院都接待一个单位时有种，当A，B，C三家医院有两家接待两个单位时有种，因此，三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件有个，它们等可能，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的事件M，即甲不选C医院，选A，B医院之一，有种选法，乙、丙从A，B，C三家医院中任选一家，去掉他们都选A医院的情况，有种选法，因此，事件M含有的基本事件数为个，所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率.故选：B3．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（    ）A．B．120C．240D．720【答案】D【分析】由题意知：问题等价于3个元素排10个位置，应用排列数计算不同的分法种数即可.【详解】由题设，相当于3个元素排10个位置，有种不同的分法．故选：D．4．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（    ）A．81B．48C．36D．24【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①数字3不出现，②数字3出现1 次，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2=16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2=32个，故有16+32=48个四位数，故选：B.5．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（    ）种A．24B．36C．48D．60【答案】D【分析】首先，根据题意，分析得出应该分两类情况，共选3人参加研讨会和4名学生都参加，之后各自应用分步计数原理求得结果，之后应用分类加法计数原理求得结果.【详解】依题意，分两类情况：（1）每个学科选1人，共选3人参加研讨会，从4名学生中选3名进行排列即可，有种情况；（2）4名学生都参加，则必然有2名学生参加同一学科的研讨会，先从4名学生中选2名看作一个整体，有选法，将这个整体与其他学生全排列即可，有种排法，根据分步计数原理，共有种情况，综上所述，根据分类计数原理可得，每学科至少一名学生的情况有种，故选：D.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于简单题目.6．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（　）A．30种B．90种C．180种D．270种【答案】B 【分析】对三个盒子进行编号1，2，3，则每个盒子装球的情况可分为三类：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一类的放法种数相同.【详解】先考虑第一类，即3个盒子放球的个数为：1，2，2，则第1个盒子有：，第2个盒子有：，第3个盒子有：，第一类放法种数为，不同的放法种数有.【点睛】考查分类与分步计算原理，明确分类的标准是解决问题的突破口.7．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，现在从中任选人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选人，不同的选取法的种数为A．B．C．D．【答案】B【分析】试题分析：分两种情况，三班没人时，有种选法，三班恰有1人时，有种选法，所以共有种取法.故选B．8．下列说法正确的是（    ）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个【答案】ABC【分析】根据分步乘法计数原理可知A、C项正确；先选人，后排列，根据分步乘法计数原理即可得出B项；分为选0以及选2两种情况，分别求出结果，根据分类加法计数原理可得出D项错误.【详解】对于A项，每位同学均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种报名方法，故A项正确； 对于B项，第一步从4位同学中选出3人，有种方法；第二步，选出的3名同学，选择不同的项目，有种方法.根据分步乘法计数原理可知，共有种报名方法，故B项正确；对于C项，每项运动的冠军都有4种可能，根据分步乘法计数原理可知，共有种可能的结果，故C项正确；对于D项，若选择0，则0只能在第二位，其他两位从3个奇数中选择2个排好，所以有种可能；若选择2，则2可以排在前两位，有2种可能，其他两位从3个奇数中选择2个排好，所以有种可能.根据分类加法计数原理可得，共有种可能，故D项错误.故选：ABC.9．如图，线路从到之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现之间线路不通，则下列判断正确的是（    ）A．至多三个断点的有种B．至多三个断点的有种C．共有种D．共有种【答案】AC【分析】分五种情况分别讨论求解可得出.【详解】若有1个断点，则1,5中断开1个，有2种情况；若有2个断点，则1,5都断开有1种；1,5断开1个，2,3,4断开1个有种，共种情况；若有3个断点，则2,3,4断开有1种；1,5都断开，2,3,4断开1个有3种；1,5断开1个，2,3,4断开2个有种，共种；若有4个断点，则1,5都断开，2,3,4断开2个有3种；1,5断开1个，2,3,4都断开有2种，共有种；若有5个断点，有1种情况.综上，至多三个断点的有种，故A正确，B错误；所有情况共有种，故C正确，D错误.故选：AC. 10．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法.（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.【答案】（1）1024种；（2）120种；（3）240种.【分析】（1）根据分步计数原理求解即可；（2）根据分步计数原理求解即可；（3）利用部分平均分组的方法求解即可；【详解】（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，由分布计数原理知共有种.（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多报一项，因此可由项目选人，第一个项目有5种不同的选法，第二个项目有4种不同的选法，第三个项目有3种不同的选法，第四个项目有2种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法种.（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，故此需将5人分成4组，有种.每组参加一个项目，由分步计数原理得共有种.11．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？【答案】（1）720种（2）936种【分析】（1）由题意可知前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品，所以选出排列即可.（2）至多五次能找到，包括检测3次都是次品，检测四次测出3件次品，检测五次测出3件次品或着检测五次全是正品，剩下的为次品，以此求出每种情况求和可得结果.【详解】解：（1）若在第五次检测出最后一件次品，则前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品.则不同的检测方法共有种.（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有种 检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有种；检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有种．所以共有936种测试方法【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数的原理以及学生处理实际问题的能力，最后一次的问题一定要注意最后一次是确定的事件，本题属于中档题.12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）【答案】【分析】由题意，按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方案数量，再由加法计数原理相加计算.【详解】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法；③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法，则有.故答案为：13．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有（用数字作答）【答案】【分析】由题意，分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，由分类计数原理结合排列、组合的知识，计算即可得解.【详解】由题意，满足要求的情况可分为三种：①每个班接收1名同学，分配方案共有种； ②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名，分配方案共有种；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有种；所以不同的分配方案有种.故答案为：.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.14．某单位有A、B、C、D四个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这8人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有种不同的安排方法？【答案】192【解析】分返回单位的2人原来在同一科室，以及2人原来不在同一科室两种情况，分别求出安排方法数，把这两类的方法数相加，即得所求．【详解】返回单位的2人原来在同一科室时，有种方法，返回单位的2人原来不在同一科室时，有种方法，故不同的安排方法共有种方法，故答案为：.【点睛】本题考查查排列与组合及两个基本原理，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于中档题．易错点五：均匀分组与不均匀分组混淆致误（相同元素与不同元素分配问题）不同元素分组分配问题技巧总结分组问题与分配问题Ⅰ：将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题.分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题. 分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法①非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分完，其分法种数为：如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？②均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号的组，假定其中组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）.如果再有组均匀分组，应再除以.除的原因为：如：123456平均分成3组，可能是也可能是或者是等，一共有种不同的组别，但这些组都是一样的，所以除以.如：两两一组，分两组，若直接用种，但列举出来的分别为、、再往下列举就已经重复了.如：、、.如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？.③非均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数） ④均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）.易错提醒：均匀分组和部分均匀分组在计数过程中易出现重复现象，注意计算公式的应用．重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以．例、将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有______种．（用数字作答）易错分析：先把6本不同的书分成4组，然后分给4个人，但该题易出错的地方有两个：一是分组考虑不全造成漏解，分组方式有2种，即3，1，1，1与2，2，1，1；二是2，2，1，1分组时，忽视平均分组问题造成增解．正解：把6本不同的书分成4组，每组至少一本的分法有2种．①1组有3本，其余3组每组1本，不同的分法共有（种）；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有（种）．所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）．然后把分好的4组分给4个人，所以不同的分法共有（种）．故填1560．易错警示：关于分组问题，有均匀分组、不均匀分组和部分均匀分组三种，无论分成几组，考生应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象，解决这类问题必须按照均匀分组的公式来解决．变式1：12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有()种。A.B.3C.D.解：属于平均分组且排序型，共有种，选A。变式2：将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A.12种B.10种C.9种D.8种解：属于平均分组且排序型，共有种，选A。变式3：某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。（用数字作答）解：属于部分平均分组且排序型，即2，1，1，1；共有：种。如熟练可直接得表示分为四组，再进行排序得：种。1．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（    ）A．6种B．12种C．18种D．24种【答案】C【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有种．故选：C.2．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（    ）A．42种B．36种C．72种D．46种【答案】A【详解】分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有种不同的方法，故不同的放法有种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为 种；取球后将两球放在袋子中的方法数有种，所以不同的放法有种．综上可得不同的放法有42种．选A．3．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（    ）A．216B．288C．432D．512【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合插空法、捆绑法列式计算作答.【详解】求不同的排法种数这件事需要5步：先排3位妈妈，有种方法；把这位爸爸与2位男宝宝按爸爸在2位男宝宝之间，视为一个整体插入3位妈妈排列形成的中间2个间隙，有种方法；下面分为两类：①再任取2位女宝宝排在2位没有宝宝的妈妈间，有种方法；然后把余下的女宝宝排在男宝宝与妈妈的2个间隙中，有种方法；最后排2位男宝宝，有种方法，由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；②再任取2位女宝宝排在男宝宝和妈妈间，有种方法；然后把余下的女宝宝排在没有宝宝的妈妈中间，有种方法；最后排2位男宝宝，有种方法，由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；所以不同的排法共有种.故选：C【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置) ，再考虑其他元素(或位置)．4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（    ）A．20种B．30种C．50种D．60种【答案】A【分析】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，利用排列得到答案.【详解】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有种方法.故选：A5．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲､乙等6人报名参加了､､三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加､项目，乙不能参加､项目，那么共有（    ）种不同的选拔志愿者的方案.A．36B．40C．48D．52【答案】D【分析】根据题意，按甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4人中任选3人参加即可，有种选拔方法，②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下4人中任选2人参加A、B项目即可，有种选拔方法，③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选2人参加B、C项目即可，有种选拔方法，④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加C项目，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法，则有24＋12＋12＋4＝52种选拔方法；故选：D6．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（    ）A．10B．20C．40D．60 【答案】B【解析】分三类，分别求出甲在周一、周二、周三参加公益劳动即可得到答案.【详解】第一类：甲在周一，共有种方法，第二类：甲在周二，共有种方法，第一类：甲在周三，共有种方法，种不同的方法.故选：B7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【答案】A【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．8．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是A．B．C．D．【答案】A【分析】分别求出甲安排在第一、二、三天的可能性，代入概率公式，即可得答案.【详解】第一种情况：甲安排在第一天，则有种；第二种情况：甲安排在第二天，则有种； 第三种情况：甲安排在第三天，则有种，所以.故选：A9．从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有种．【答案】42【详解】根据题意，分2种情况讨论：①取出的两个球颜色相同；②取出的两个球颜色不同，有黄球和蓝球，黄球和红球，红球和蓝球，共三种情况，分别求出每一类情况的放入方法种数，由加法原理计算可得答案．根据题意，分两类情况：①若取出2个球全是同一种颜色，有3种可能，若为红色只需把它们放入蓝和黄即可，有（种），此时有（种）；②若取出的2个球为两种颜色的球，有（种），若为一红一黄，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，有3种方法，此时共有（种），因此不同的放法有种．10．将2枚白棋和2枚黑棋放入一个的棋盘中，使得棋盘的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为．【答案】3960【分析】利用去杂法可求不同方法的种数.【详解】解析：将两枚白棋放入方格中的方法数为种，两枚黑棋放入方格中使得它们既不在同一行，也不在同一列的方法数为，其中至少有1枚黑棋与白棋放入同一方格的方法数为种，两枚黑棋均放入两枚白棋所在的方格中的方法数为1种，故由容斥原理可知不同的方法数为种．故答案为：.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的组合计数问题，我们可以采用去杂法从反面考虑，但要注意防止重复计算，如本题中同色的棋子不做区分.11．现有红、黄、白三种颜色的小球（形状、大小完全相同）5个，每种颜色至多2个小球，若将这5 个小球排成一排，要求中间位置不放白球，且同种颜色的小球不相邻，则共有种排法．【答案】24【分析】中间位置必须为黄球或红球，考虑中间位置的颜色有1个球，或2个球，分类讨论即可.【详解】根据题意，中间位置的颜色有2种可能，即红球或黄球.若中间位置的小球颜色是红球或黄球，满足题意的排列个数相同.考虑中间位置是红球即可.此时，若红球个数总共只有1个，则有种排法；若红球个数总共有个，则有种排法；故所有的排法有：种.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合问题的求解，涉及分类讨论，属综合中档题.12．把座位编号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为(用数字作答)．【答案】96【详解】两张票必须是连号共有4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况；则共有4×24=96种情况；故答案为：96考点：排列、组合的应用点评：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法解决问题．13．全运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加、、三个项目的志愿者工作．因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加1个项目，若甲不能参加、项目，乙不能参加、项目，那么共有多少种不同的选拔志愿者的方案？【答案】52【分析】根据甲乙参加与否，分类计数，可分四种情况讨论，分别计算选拔方法数量，最后汇总即可【详解】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法； ③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法.综上，则有.∴共有52种不同的选拔志愿者的方案14．某电影院一排有10个座位，现有4名观众就座.（1）若4名观众必须相邻，则不同的坐法有多少种？（2）若4名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有多少种？（3）若4名观众两两不相邻，且要求每人左右两边至多只有2个空位，则不同的坐法有多少种？【答案】（1）168（2）2520（3）432【分析】（1）将四名观众捆绑一起看做一个符合元素，插入到6个空座位排列后所形成的间隔中，问题得以解决．（2）利用捆绑法和抽空法，根据分步计数原理可得；（3）根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，每两人之间插入一个空位，②，将3个空位插入到7个排好的元素之间，由分步计数原理计算可得答案．【详解】由题意，电影院一排有10个座位，现有4名观众就座后还剩下6个座位：（1）4名观众捆绑有种，插入6个座位一排的7个空位有7种，所以，4名观众必须相邻，不同的坐法有种；（2）4人中选两人捆绑有种，与另两个人组成3个元素插入7个空位中的3个空位有种，故4名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有种；（3）根据题意，由于4名观众每两人都不能相邻，即每两人之间至少要有1个空位，分2步进行分析：第一步，将4人全排列，每两人之间插入一个空位，有种情况，第二步，再安排剩余3个空位，分两类：①若前后两端存在一组连续2个空位，则先插入这组2个空位，再插入剩余1个空位，则有种情况；②若前后两端不存在一组连续2个空位，则需将3个空位分别插入不同位置，有种情况．综上，共有（种排法15．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法?(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8【分析】（1）1号小球可放进任意一个盒子里，故4种放法，2、3、4号小球也可任意放进一个盒子里，故各4种放法，根据分步计数原理，共44=256种放法；（2）每盒至多一球，即每个盒子中一个球，是全排列问题；（3）四个球放三个盒子，即有两个球在一个盒子里，进而求解；（4）首先任选一球放进编号相同的盒子，有C41种放法，其余球任放进一个盒子里，且使得编号不同，有2种放法，即可得解.【详解】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.(2)这是全排列问题,共有A44=24(种)放法.(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有C42种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有A43种投放方法,所以共有C42A43=144(种)放法.(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有C41×2=8(种)放法.【点睛】在计数过程中，首先要确定要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”，求每“类”或每“步”中不同方法的种数；再利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数.易错点六：由于重复计数致错（可重复与限制问题）可重复问题总原则：可重复问题方幂处理(乘法原理）Ⅰ：解决排列组合综合问题的一般过程（1）认真审题，确定要做什么事；（2）确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； （3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．Ⅱ：数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．Ⅲ：定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．易错提醒：解排列组合的应用题，要注意：由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．例、从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到的不同值的个数是（）A．9B．10C．18D．20错解：D由题意可知不同值的个数为．错因分析：错解中忽略了20种不同a，b取值的情况中，存在数值相同的情况，因此出现了重复计数的问题，需将其减掉．正解：C从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数有种不同的方法，但，，所以不同值的个数为．变式1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.B.C.D.解：每位同学选一个兴趣小组，属于可重复问题，所以参加方法共有种，参加同一个兴趣小组有3 种，，选A。变式2.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.解：每位同学选一天，属于可重复问题，共有种选法，只选一天有两种，，选D。变式3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是()A.B.C.D.解：，选A。1．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣篮表演，则西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用分步计数及组合排列数求西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的情况数，再应用全排列求4个代表队任意排的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】由题意，西昌代表队队员在第二、三位选一个位置有种，其它三个代表队在剩下三个位置上作全排有种， 所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位共有种情况；而4个代表队任意排有种，所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为.故选：A2．“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（    ）种不同的出场顺序.A．72B．78C．96D．120【答案】B【分析】讨论甲在第三出场、不在第一、三出场，结合排列和计数原理求解即可.【详解】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种；当甲不在第一、三出场时，共有种；故共有种不同的出场顺序.故选：B3．将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区的所有情况，以及甲不被分到A社区的情况，求出概率.【详解】甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有种情况，其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，剩余3人分配到3个社区，故共有种情况，故甲不被分到A社区的概率是．故选：C4．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有种． 【答案】84【分析】考虑前2个节目都是语言类节目和前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类两种情况，根据分步乘法原理以及分类加法原理，即可求得答案.【详解】若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况；若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况．综上，有种不同的排法，故答案为：845．某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有种．【答案】30【分析】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：①甲、乙均单独去一个乡镇，②甲、乙两人有一人和另外2人中的一人一起去一个乡镇，分别计算出选派方法，相加即可.【详解】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：①甲、乙均单独去一个乡镇，则剩下的2人一起去另一个乡镇，共有种选派方法；②甲、乙两人有一人和另外2人中的一人一起去一个乡镇，剩下的2人均单独去一个乡镇，共有种选派方法．由分类加法计数原理可知，不同的选派方法共有（种）．故答案为：6．首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A，B，C，D，E，F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程．若要求A，B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有种．（用数字作答）【答案】252【分析】分两种情况，A，B议程中有一项在上午和A，B议程都安排在下午，结合排列组合知识进行求解，得到答案.【详解】分两种情况，第一种，A，B议程中有一项在上午，有一项在下午举行，先从3个上午中选1个和3个下午中选一个，由A，B议程进行选择，有种选择， 再从剩余的2个下午中选择1个安排C议程，有种选择，剩余的3场会议和3个时间段进行全排列，有种选择，所以有种选择，第二种，A，B议程都安排在下午，C议程也按照在下午，故下午的3个时间段进行全排列，有种选择，再将剩余的3个议程和3个上午时间段进行全排列，有种选择，所以有种选择，综上：不同的安排方案一共有种选择.故答案为：2527．填空：（1）甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同的选修方案共有种．（2）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有种．（3）4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案共有种．（4）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有种．（5）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有种．【答案】；；；；.【分析】（1）应用分步计数，及组合数求不同的选修方案数；（2）应用分步分类计数，及组合、排列数求牌照号码数；（3）应用不平均分组，及组合、排列数求不同的分配方案数；（4）应用插空法，及组合、排列数求不同的站法数；（5）应用特殊元素法，及分步计数、组合、排列数求不同的排法数；【详解】（1）由题设，不同的选修方案有种；（2）若2个英文字母相同，则有种；若2个英文字母不相同，则有种；所以，共有种. （3）由题意，教师按人数分组，则种不同的分配方案.（4）将除甲乙外的三人先排成一排有种，所成排中有4个空，再把甲乙插入其中一个空有种，所以共有种.（5）由题意，前3节课任选一节上数学有种，再前5节课余下的4节任选一节上英语有种，最后将其它4科全排有种，所以，不同的排法有种.故答案为：；；；；.8．某公司为员工制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览，如果M，N为必选城市，并且在游览过程中必须按先M后N的次序，则不同的游览线路有多少种？【答案】600【分析】根据先选后排的原则，再进行消序即可.【详解】已知，必选，则从剩下的5个城市中，再抽取3个，有种不同情况，此时5个城市已确定，将其全排列，可得共种情况，又由、顺序一定，则根据分步计数原理，可得不同的游览线路有种.9．用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？【答案】可以组成个无重复数字的五位数；能被5整除的五位数有个.【分析】根据排列数的计算公式以及题目的要求求得正确答案.【详解】用可以组成个无重复数字的五位数.若五位数的个位为，这样的五位数有个. 若五位数的个位为，这样的五位数有个.所以其中能被5整除的五位数有个.10．某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少种不同的安排方法？【答案】种【分析】先安排甲和乙，然后安排其他人，结合排列数的计算求得正确答案.【详解】安排甲和乙在日至日，然后安排其他人，所以安排的方法有种.