高考数学方法技巧第19讲 解三角形（解析版）

第19讲解三角形【高考地位】正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.:类型一判断三角形的形状学万能模板内容使用场景已知边与三角函数之间的等式关系解题模板第一步运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；第二步利用三角函数的图象及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状；第三步得出结论.例1在中，已知，那么一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】第一步，运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式：因为，由正弦定理得，第二步，利用三角函数的图象及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状：即，所以，所以三角形为等腰三角形，第三步，得出结论：故选A．考点：正弦定理．【点评】解决这类问题的方法通常有两种思路：一是将等式两边的边运用正弦定理全部转化为正弦角的形式，使得式子只有三角形式；二是运用余弦定理将右边的化为边的形式，使得等式只有边与边之间的等式关系.【变式演练1】【上海市虹口区高三上学期一模】在中，若，则的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】,先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故选：B【变式演练2】在△中，若满足，则该三角形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【来源】西南名校联盟“333”高三5月份高考数学（文）诊断性试题（三）【答案】D【分析】运用正弦定理进行边角互化，运用诱导公式进行化简，然后判断出三角形形状.【详解】由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以或，因为，，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，,故选：D类型二解三角形中的边和角万能模板内容使用场景解三角形中的边和角解题模板第一步直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；第二步利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.例2、设的内角，，所对的边长分别为，，，若，，，则（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】第一步，直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理：根据正弦定理，得第二步，利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论：，则为锐角，则，选C.考点：正弦定理.【点评】正弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；其二是已知一边及其一对角求另一边的情况.【变式演练3】【广西钦州市、崇左市高三上学期第一次教学质量检测】在中，，，，则（）A．2B．C．D．3【答案】C【分析】首先利用余弦定理求出，再根据正弦定理计算可得；【详解】解：，∴可得.，，,，，∴由正弦定理，可得：，解得.故选：C.【变式演练4】【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三（上）第一次联考】在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，．若点在边上，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题知为等腰三角形，再由余弦定理得到，得到可得答案.【详解】因为，所以为等腰三角形，因为，，．由条件可得，所以，解得，所以，可得．故选：．【变式演练5】某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（）,A．B．C．D．【来源】江苏省南京市第二十九中学高三上学期开学摸底数学试题【答案】B【分析】取，设,可得，从而得出结论.【详解】解：取，设则设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为则故选：B类型三解决与面积有关问题万能模板内容使用场景解决与面积有关问题解题模板第一步主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；第二步结合三角形的面积公式直接计算其面积.例3在中，内角的对边分别为，且，若，则的面积为____________．【答案】【解析】第一步，主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边：,由正弦定理，知，即，所以，所以，所以．因为，所以，又，所以，第二步，结合三角形的面积公式直接计算其面积：所以．考点：正弦定理．【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．【变式演练6】【云南省文山州高三年级10月教学质量检测】已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（）A．1B．2C．4D．6【答案】A【分析】根据题意，先求出，再由余弦定理，求出，进而可求出三角形的面积.【详解】由得，则，又为三角形内角，∴，又，所以，则，∴.故选：A.【变式演练7】（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则三角形的面积不可能是（）A．B．C．D．【来源】重庆市缙云教育联盟高三上学期8月月度质量检测数学试题,【答案】BCD【分析】根据余弦定理和三角形面积公式进行求解判断即可.【详解】解：因为，，，所以由余弦定理，可得，所以，所以故选：BCD【变式演练8】【普通高等学校招生国统一考试高三上学期数学（理）考向卷（四）】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知和托勒密定理可得，即.再由三角形的面积公式可求得选项.【详解】设，由托勒密定理知，，所以.又因为，，所以四边形的面积为.故选：B.,【反馈练习】1．【广西南宁市普通高中高三10月摸底测试】在中，角，，的对边为，，着，，，则（）A．B．C．D．1【答案】D【分析】根据二倍角的正弦公式、正弦定理角化边和余弦定理可求得结果.【详解】∵，故选：D.2．【宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次月考】已知中，，，分别为角，，的对边，若，且满足，则边上的高为（）A．1B．C．D．【答案】A【分析】由余弦定理求得角后，易求得高．【详解】∵，∴，即：，，边上的高为，故选：A.3．【四川省巴中市高三零诊考试数学（文）】在中，，，，则（）A．B．C．或D．【答案】A【分析】根据余弦定理求出，根据余弦定理求出.【详解】,由余弦定理可得，得，即，解得或（舍去），所以.故选：A4．【河南省高三（6月份）高考数学（文科）质检】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△的面积为，则（）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】由△的面积，可求出，进而可求出及角.【详解】由题意，△的面积，则，又，所以，所以或.故选：C.5．【安徽师大附中高三高考数学（文科）九模】已知分别为内角的对边，的面积为3，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知可得2csinA＝3cosCacosC，然后结合正弦定理及同角平方关系可求sinC，然后结合三角形的面积公式可求b，再由余弦定理可求c．【详解】因为a＝2，2csinA＝3cosCacosC，由正弦定理可得：2sinCsinAsinAcosC，,因为故sinA≠0，所以2sinCcosC，可得：4sinC＝3cosC＞0，又sin2C+cos2C＝1，可得，cosC，sinC，∵△ABC的面积为3absinC，∴b＝5，则由余弦定理可得，，∴c．故选：C．6．【重庆市第一中学高三下学期5月月考】锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.【详解】解：因为，，所以，可得：，即，,因为为锐角三角形，则有，即，解得：.=，当时，原式有最大值，此时，则，，，即，所以.故选：A.7．【重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考九】在中，角、、对应的边分别为、、，若，，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用正弦定理边角互化结合余弦定理求得角的值，利用正弦定理可求得的外接圆半径，进而可求得该三角形外接圆的面积.【详解】，由正弦定理得，，由余弦定理可得，，，设的外接圆半径为，则，，因此，的外接圆面积为.故选：A.8．【江西省南昌二中高三数学（文科）校测】已知的外接圆直径为1，是的中点，且,，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先由正弦定理求得，再将均用表示，再结合向量的数量积的运算律即可求解结论．【详解】解：因为的外接圆直径为1，是的中点，且，且；故；.故选：C．9．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A．B．1C．D．2【来源】河南省高三入学考试数学（理科）数学试题【答案】B【分析】利用正弦定理将边化角，再根据诱导公式及两角和的正弦公式得到，由三角形为锐角三角形，即可求出；【详解】解：因为，由正弦定理可知，，所以,即则，因为为锐角三角形，所以，，所以．故选：C10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（）A．B．C．D．【来源】江苏省南京市第二十九中学高三上学期开学摸底数学试题【答案】A【分析】先求出，然后利用正弦定理求出，在中，求出即可.【详解】解：由题意可知，，在中，由正弦定理可知：，即.则.在中，，,所以.故选：A.11．已知在中，角的对边分别为则边上的高为（）A．1B．C．D．2【来源】“陕西名校”高三5月检测数学（理）试题【答案】D【分析】先根据余弦定理求得a，再由余弦定理求得，继而求得，从而可得选项.【详解】因为所以，即，解得，所以，又，所以，所以边上的高为，故选：D.12．【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三（上）第一次联考】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__．【答案】5【分析】利用正弦定理可求出答案.【详解】因为，，，所以由正弦定理，可得，解得．故答案为：513．【吉林省通化市梅河口五中高三数学（文科）五模】在中，，，则面积的最大值为____________.【答案】2【分析】,本题首先可以根据得出，然后根据三角形的相关性质得出，最后根据解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果.【详解】由及正弦定理可得，即，因为、、为的内角，所以，因为，所以，则，当且仅当时“”成立，故答案为.14.【西藏山南市第二高级中学高三第三次模拟考试】在中，内角所对的边分别是，且，，则的面积为___________.【答案】6【分析】由，可得，即，再由余弦定理可得，从而可得答案.【详解】由题设得，，所以，，所以，.所以，即.又，，，所以，所以，所以的面积.故答案为：615.【河北省承德市围场卉原中学高三模拟自测联考】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则取最小值时，______．,【答案】1【分析】由条件可得，即，由余弦定理可得，由均值不等式可得答案.【详解】因为，得，即，由正弦定理得，所以，当且仅当，即时取等号．故答案为：116．已知外接圆的半径为，且，若的面积为，则的值为________．【来源】四川省绵阳中学高三高考仿真模拟试卷数学（文）试题（一）【答案】2【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，然后结合三角形面积公式可求．【详解】解：因为，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以由得，若的面积，所以，解得．故答案为：2．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则b＝___，C＝___.【来源】全国高三高考数学信心提升试题【答案】；,【分析】根据正弦定理及即可求出边；根据余弦定理及即可求出角.【详解】解：由正弦定理得：，所以，根据余弦定理得：，又因，所以.故答案为：；.18．已知，，是中点，，则___________，___________.【来源】浙江省稽阳联谊学校高三4月联考数学试题【答案】【分析】在中，利用正弦定理和二倍角公式，可以推出，从而得到的值；过点作于，设，可求得AB和BC的长，在中，用正弦定理，即可求解.【详解】∵，∴，，且为锐角，∵，∴，在中，由正弦定理知，，∴.过点作于，,设，则，，，∴，，，∴，在中，由正弦定理知，，∴，∴.故答案为：，.【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正弦定理、二倍角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.19．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则________，若，则三角形的形状为________．【来源】浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考仿真最后一卷数学试题【答案】或正三角形【分析】由给定等式边化角，再用两角和正弦变形求出即可得解；由，结合所求角即可得解.【详解】中，由正弦定理及给定等式得：，，而，则，又，所以或；因，则，于是为正三角形.故答案为：或；正三角形20.【广西北海市高三第一次模拟考试】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值.,【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由正弦定理对已知式子进行边角互化后得，结合余弦定理即可求出角C的大小.(2)由（1）可知，从而可求出，结合三角形的面积公式即可求出面积的最大值.【详解】（1），，，.又，.（2）据（1）求解知，.又，.又，当且仅当时等号成立，，，此时.21.【四川省广元市川师大万达中学高三第一次诊断性考试】在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合两角和公式化简三角函数式即可求，得到角的大小；（2）由（1）中角的大小，应用余弦定理及基本不等式求的最大值即可.【详解】（1）由正弦定理得，则，，则，于是，又，故；（2）根据余弦定理，则，即，当且仅当时等号成立.所以的最大值为4.,22.【广西名校高三上学期第一次高考模拟】在中，角、、的对边分别为、、，已知，且为钝角.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合，化简得出，结合角为锐角可求得角的值；（2）由题意可得出，利用正弦定理和同角三角函数的基本关系求出的值，进而求出的值，再利用两角和的正弦公式以及诱导公式可计算出的值.【详解】（1），由正弦定理可得，所以，，即，在中，由于角为钝角，则、均为锐角，可得，，，可得，或，因此，或；（2），，则，，则，，，由正弦定理可得，所以，，为锐角，则，，,则，，.23.【全国著名重点中学新高考冲刺】已知中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，为外一点，如图所示，且，，的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先利用正弦定理对已知条件进行变形，然后结合余弦定理可得到，最后利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）首先利用倍角公式和三角形的面积公式求出边，然后在中利用余弦定理求得的值，最后在中利用余弦定理求出的值，或利用题中条件得到的值.【详解】（1）因为，所以，由，根据正弦定理得，即，整理得，,即，所以，又由，联立解得或，因为，所以，故，（2）由（1）知且，所以，故的面积，解得，又由，在中，由余弦定理可得，所以.在中，余弦定理，可得，解得．【点睛】平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用共同条件，求出结果.,24．已知中，，的平分线交于点，．（1）若，求的长度；（2）求面积的最小值．【来源】广东省高三上学期8月阶段性质量检测数学试题【答案】（1）；（2）【分析】（1）由角平分线的性质得到，设，则，再利用余弦定理求出，即可得到，从而得到，即可得到，即可求出；（2）设，即可表示出，，在和中，利用正弦定理表示出、，再根据面积公式及三角恒等变换公式化简得到，即可求出三角形面积的最小值；【详解】解：（1）因为，设，则，在中，由余弦定理，，由，所以，故，又所以，所以（2）设，则，，在中，由正弦定理，故；在中，由正弦定理，故；所以,，当且仅当即时取等号，故面积的最小值为25．如图所示，在四边形中，，且，，.（1）若，求的长；（2）求四边形面积的最大值.【来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校高三上学期8月联考数学试题【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据二倍角余弦公式求出，在中利用余弦定理求出AC，通过，在中利用余弦定理求解AB的长.（2）根据题意可先求出的面积，的长，然后在中由余弦定理以及重要不等式可求出的最大值，则可求出面积的最大值，从而求出四边形面积的最大值.【详解】（1）∵，，,∴，∵在中，，，，∴由余弦定理可得，，在中，，，，∴由余弦定理可得，即，化简得，解得.故的长为.（2）设四边形面积为，则，∵，所以，在中，，，∴由余弦定理可得：，又则，，当且仅当时，等号成立，，所以.26．如图，在中，，点D在BC边上，且，，,（1）求AC的长；（2）求的值.【来源】湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解．（2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解．【详解】（1），，，在中，由余弦定理得，（2），所以，又由题意可得，27．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．【来源】四川省九市资阳、雅安、乐山、内江、眉山、广安、遂宁、自贡、广元高三二模数学（理科）试题【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由三角恒等变换可求得角；（2）由锐角三角形求得的范围，再利用正弦定理求得，并化为的函数，结合三角函数知识可得其取值范围．,【详解】解：（1）因为，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以，由为三角形内角得，；（2）由为锐角三角形，得，解得，所以，，由正弦定理得，，所以．故的范围．28．在①2asinC＝ctanA；②2acosB＝2c﹣b；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知____．（1）求A的值；（2）若面积为，周长为5，求a的值．【来源】山东省百师联盟高三二轮联考数学试题（二）【答案】选择见解析；（1）60°；（2）．【分析】（1）选①时，利用正弦定理得：2sinAsinC＝sinC，可求得：cosA＝，根据角的范围可求得角；选②时，利用余弦定理：，整理得，可求得：cosA＝，根据角的范围可求得角；,选③时，根据余弦的二倍角公式得，求得或－1（舍去），根据角的范围可求得角；（2）由三角形的面积公式求得bc＝1．再由余弦定理可求得答案．【详解】解：（1）选①时，2asinC＝ctanA；利用正弦定理得：2sinAsinC＝sinC，整理得：cosA＝，由于0＜A＜π，所以A＝60°．（2），由于，解得bc＝1．由于a＋b＋c＝5，所以a＝5﹣（b＋c），利用余弦定理：，解得a＝．选②时，2acosB＝2c﹣b；利用余弦定理：，整理得，化简得：cosA＝，由于0＜A＜π，所以A＝60°．（2），由于，解得bc＝1．由于a＋b＋c＝5，所以a＝5﹣（b＋c），利用余弦定理：，解得a＝．选③时，，整理得：，所以，解得或－1（舍去），由于0＜A＜π，以A＝60°．（2），由于，解得bc＝1．由于a＋b＋c＝5，所以a＝5﹣（b＋c），利用余弦定理：，解得a＝．【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.,（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.