24秋人教版八年级上学期数学期中模拟试卷（测试范围：三角形、全等三角形、轴对称）

2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷01满分：120分测试范围：三角形、全等三角形、轴对称一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的1．2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是()A．春秋航空B．东方航空C．厦门航空D．海南航空2．一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是()A．1B．1.5C．2D．43．在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,2)关于原点对称的点的坐标是()A．(1,-2)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-1,-2)4.已知图中的两个三角形全等，则Ðα等于()A．72°B．60°C．58°D．50°5.一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是()A．1080°B．540°C．2700°D．2160°6.下列说法错误的是()A.三角形的三条角平分线都在三角形内部 A.三角形的重心是三角形三条中线的交点C．三角形的三条高都在三角形内部D．三角形的中线、角平分线、高都是线段5.如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是()A.6cmB．20cmC．21cmD．16或20cm6.如图，DABC中，AB=AE，且AD^BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若DABC周长为16，AC=6，则DC为()A．5B．8C．9D．109．用三角尺可按如图方法画角平分线：在已知的ÐAOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分ÐAOB．做法中用到证明DOMP与DONP全等的判定方法是()A.SASB．SSSC．ASAD．HL10.如图，AD平分ÐBAC，DE^AB于点E，DF^AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE>AD；②DE=DF；③AD^EF；④SDABD:SDACD=AB:AC，其中正确结论的个数是() A.1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）10.等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴．11.经过多边形的任意一个顶点的对角线将多边形分成了五个三角形，则多边形有条边．12.如图，在RtDABC中，ÐC=90°，点O是ÐBAC和ÐABC的他平分线的交点，则ÐAOB=．14．如图，在RtDABC中，ÐABC=90°，AB=3，点D为AB左侧一点，CD=AC，ÐD=ÐACB，BD=1，则DDBC的面积为．15.如图，在DABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，若AE=3cm，DABD的周长为13cm，则DABC的周长等于cm．16.如图，已知DABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若ÐBAC=100°，则ÐBCA的度数为．三、解答题（共8小题，共72分）17.在DABC中，ÐA=1ÐB=1ÐACB，CD是DABC的高，CE是ÐACB的角平分线，求ÐDCE的度数．23 15.如图，CD^AB，BE^AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：Ð1=Ð2．16.如图，在四边形ABCD中，ÐA=ÐC=90°，BE平分ÐABC，DF平分ÐCDA．（1）若ÐABE=30°，求ÐCDF的度数；（2）求证：BE//DF． 15.如图在由正方形组成的7´8网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都是格点，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图．（1）在图（1）中，另画出DMNC，使DMNC@DABC(M为A的对应点）；（2）在图（1）中，画出DABC的中线CD；（3）在图（2）中，画出DABC的高BE；再在高BE上画点F，使得ÐAFE=45°．16.在DABC中，AO、BO分别平分ÐBAC、ÐABC．（1）如图1，若ÐC=32°，则ÐAOB=；（2）如图2，连结OC，求证：OC平分ÐACB；（3）如图3，若ÐABC=2ÐACB，AB=4，AC=7，求OB的长． 15.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．（1）如图（1），AD是DABC的中线，且AB>AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得DADC@DEDB，其中判定全等的依据为：．（2）如图（2），AD是DABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，ÐBAC=ÐBCA，求证：AE=2AD．（3）如图（3），AD是DABC的中线，AB=AE，AC=AF，ÐBAE=ÐFAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 23．（1）问题发现：如图①，DABC和DEDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①ÐAEC的度数为；②线段AE、BD之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图②，DABC和DEDC都是等腰直角三角形、ÐACB=ÐDCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为DEDC中DE边上的高，连接AE，试求ÐAEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，DABC和DEDC都是等腰三角形，ÐACB=ÐDCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出ÐEAB+ÐECB的度数． 24．在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0，b)(a，b均为正数）．（1）若|a-3|+(b-4)2=0，直接写出A、B两点的坐标；（2）如图1，在（1）的条件下，点C在x轴的负半轴上，AC=BC，点D在BC的延长线上，BA=AD，求CD+CO的值；（3）如图2，在DBAN和DBOM中，BA=BN，BO=BM，ÐABN=ÐOBM，射线MO交线段AN于点P．求证：点P为线段AN的中点． 2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷01满分：120分测试范围：三角形、全等三角形、轴对称一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的1．2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是()A．春秋航空B．东方航空C．厦门航空D．海南航空【分析】根据轴对称的性质，找到对称轴的图形即可．【解答】解：A、B、C三个图形都找不到对称轴，只有选项D符合轴对称的特点．故选：D．【点评】本题考查了轴对称的性质，图形沿着某一直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形．2.一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是()A．1B．1.5C．2D．4【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．【解答】解：设三角形第三边的长为x，则：5-3<x<5+3，即2<x<8，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,2)关于原点对称的点的坐标是()A．(1,-2)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-1,-2)【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A关于原点对称的点的坐标． 【解答】解：Q点A(-1,2)，A点关于原点对称的点为(1,-2)，故选：A．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．2.已知图中的两个三角形全等，则Ðα等于()A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解答】解：Q图中的两个三角形全等，Ðα=50°．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．3.一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是()A．1080°B．540°C．2700°D．2160°【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．【解答】解：多边形的边数是：360¸45=8，则多边形的内角和是：(8-2)´180=1080°．故答案为：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．4.下列说法错误的是()A.三角形的三条角平分线都在三角形内部B．三角形的重心是三角形三条中线的交点C．三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段【分析】由三角形的角平分线，高，中线的概念，即可判断．【解答】解：A、三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确，故A不符合题意；B、三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确，故B不符合题意；C、锐角三角形的三条高都在三角形内部，故C符合题意；D、三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查三角形的角平分线，高线，中线的概念，关键是掌握三角形的角平分线，高线，中线的的定义．2.如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是()A.6cmB．20cmC．21cmD．16或20cm【分析】腰长为8cm和4cm两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可．【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4=8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．3.如图，DABC中，AB=AE，且AD^BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若DABC周长为16，AC=6，则DC为()A．5B．8C．9D．10【分析】根据三角形的周长公式求出AB+BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据等腰三角形的性质得到BD=DE，结合图形计算，得到答案．【解答】解：QDABC周长为16， AB+BC+AC=16，QAC=6，AB+BC=10，QEF垂直平分AC，EA=EC，QAB=AE，AD^BC，BD=DE，AB+BD=AE+DE=1´(AB+BC)=5，2DC=DE+EC=AE+DE=5，故选：A．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2.用三角尺可按如图方法画角平分线：在已知的ÐAOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分ÐAOB．做法中用到证明DOMP与DONP全等的判定方法是()A.SASB．SSSC．ASAD．HL【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．【解答】解：在RtDPOM和RtDPON中，ìOP=OPí，îOM=ONRtDPOM@RtDPON(HL)，ÐPOM=ÐPON，OP平分ÐAOB， 故选：D．【点评】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．2.如图，AD平分ÐBAC，DE^AB于点E，DF^AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE>AD；②DE=DF；③AD^EF；④SDABD:SDACD=AB:AC，其中正确结论的个数是()A.1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，根据全等三角形的判定推出RtDAED@RtDAFD，根据全等三角形的性质得出AE=AF，再逐个判断即可．【解答】解：QAD平分ÐBAC，DE^AB于点E，DF^AC于点F，ÐAED=ÐAFD=90°，DE=DF，故②正确；在RtDAED和RtDAFD中ìAD=ADîíDE=DF，RtDAED@RtDAFD(HL)，AE=AF，QAD平分ÐBAC，AD^EF，故③正确；Q在DAFD中，AF+DF>AD，又QAE=AF，AE+DF>AD，故①正确；QSDABD=1´AB´DE，S2DACD=1´AC´DF，DE=DF，2SDABD:SDACD=AB:AC，故④正确；即正确的个数是4个，故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）2.等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴．【分析】等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线．故答案为：3．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，等边三角形有3条对称轴．12．经过多边形的任意一个顶点的对角线将多边形分成了五个三角形，则多边形有7条边．【分析】根据从同一个顶点引对角线将多边形分成(n-2)个三角形解答．【解答】解：Q经过多边形的任意一个顶点的对角线将多边形分成了五个三角形，多边形的边数为5+2=7．故答案为：7．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记多边形的边数与分成的三角形的个数的公式是解题的关键．13．如图，在RtDABC中，ÐC=90°，点O是ÐBAC和ÐABC的他平分线的交点，则ÐAOB=135°．【分析】由角平分线定义得到ÐOAB=1ÐCAB，2ÐABO=1ÐABC，因此2ÐOAB+ÐABO=1(ÐCAB+ÐABC)=1(180°-ÐC)=45°，由三角形内角和定理求出22ÐAOB=180°-(ÐOAB+ÐABO)=135°．【解答】解：QOA，OB分别平分ÐCAB和ÐABC，ÐOAB=1ÐCAB，ÐABO=1ÐABC，22ÐOAB+ÐABO=1(ÐCAB+ÐABC)=1(180°-ÐC)=1´(180°-90°)=45°，222ÐAOB=180°-(ÐOAB+ÐABO)=135°．故答案为：135°．【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线定义，关键是由角平分线定义推出 ÐOAB+ÐABO=1(180°-ÐC)．214．如图，在RtDABC中，ÐABC=90°，AB=3，点D为AB左侧一点，CD=AC，ÐD=ÐACB，BD=1，则DDBC的面积为3．2【分析】过点B作BE^CD于点E，利用两角相等的三角形相似证得DBED∽DABC，再根据相似三角形的对应边成比例得出BE=BD，设AC=m，用含m的式子表示BE，再根据已知CD=AC得出CD=m，最ABAC后根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：过点B作BE^CD于点E，ÐBED=90°，QÐABC=90°，ÐBED=ÐABC，又QÐD=ÐACB，DBED∽DABC，BE=BD，ABAC设AC=m，则BE=1，3mBE=3，mQCD=AC，CD=m，S=1CD×BE=1m×3=3，DDBC22m2故答案为：3．2【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题 的关键．15.如图，在DABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，若AE=3cm，DABD的周长为13cm，则DABC的周长等于19cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：QDE是AC的垂直平分线，AE=3cm，DA=DC，AC=2AE=6(cm)，QDABD的周长为13cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13(cm)，DABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19(cm)，故答案为：19．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.如图，已知DABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若ÐBAC=100°，则ÐBCA的度数为30°．【分析】由角平分线的定义得ÐBAO=ÐCAO，ÐABO=ÐCBO，ÐBCO=DCO，边角边证明DBCO@DDCO，其性质求得ÐCBO=ÐD；等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理求得ÐBCA的度数为30°．【解答】解：QAO、BO、CO是DABC三个内角的平分线，ÐBAO=ÐCAO，ÐABO=ÐCBO，ÐBCO=ÐDCO，在DBCO和DDCO中，ìOC=OCíïÐBCO=ÐDCO，îïBC=DC DBCO@DDCO(SAS)，ÐCBO=ÐD，又QÐBAC=100°，ÐCAO=1ÐBAC=1´100°=50°，22又QAD=AO，ÐD=ÐAOD，又QÐCAO=ÐD+ÐAOD，ÐD=1ÐCAO=1´50°=25°，22ÐCBO=25°，ÐCBA=50°，又QÐBAC+ÐABC+ÐBCA=180°，ÐBCA=180°-100°-50°=30°，故答案为30°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质．三、解答题（共8小题，共72分）15.在DABC中，ÐA=1ÐB=1ÐACB，CD是DABC的高，CE是ÐACB的角平分线，求ÐDCE的度数．23【分析】用ÐA表示出ÐB、ÐACB，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出ÐA，再求出ÐACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出ÐACD，根据角平分线的定义求出ÐACE，再根据ÐDCE=ÐACD-ÐACE计算即可得解．【解答】解：QÐA=1ÐB=1ÐACB，23ÐB=2ÐA，ÐACB=3ÐA，QÐA+ÐB+ÐACB=180°，ÐA+2ÐA+3ÐA=180°，解得ÐA=30°， ÐACB=90°，QCD是DABC的高，ÐACD=90°-30°=60°，QCE是ÐACB的角平分线，ÐACE=1´90°=45°，2ÐDCE=ÐACD-ÐACE=60°-45°=15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．15.如图，CD^AB，BE^AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：Ð1=Ð2．【分析】因为CD^AB于D点，BE^AC于点E，所以ÐBDO=ÐCEO=90°，因此可根据AAS判定DBDO@DCEO，则有OD=OE，又因为OD^AB，OE^AC，所以Ð1=Ð2．【解答】证明：QCD^AB于D点，BE^AC于点EÐBDO=ÐCEO=90°在DBDO和DCEO中，ìÐBDO=ÐCEOíïÐBOD=ÐCOE，îïOB=OCDBDO@DCEO(AAS)，OD=OE，QOD^AB，OE^AC，OA平分ÐBAC，Ð1=Ð2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是证明DBDO@DCEO．15.如图，在四边形ABCD中，ÐA=ÐC=90°，BE平分ÐABC，DF平分ÐCDA．（1）若ÐABE=30°，求ÐCDF的度数；（2）求证：BE//DF．【分析】（1）结合已知条件求得ÐABF的度数，再利用四边形内角和为360°求得ÐCDA，再根据DF平分ÐCDA即可求得答案；（2）设ÐABC=x，利用角平分线定义及四边形内角和易得ÐCBE=1x，ÐADC=180°-x，再利用直角三2角形两锐角互余计算后易证得ÐCBE=ÐDFC，根据同位角相等，两直线平行即可证得结论．【解答】（1）解：QBE平分ÐABC，ÐABE=30°，ÐABC=2ÐABE=2´30°=60°，QÐA=ÐC=90°，在四边形ABCD中，ÐADC=360°-90°-60°-90°=120°，QDF平分ÐCDA，ÐCDF=1ÐADC=60°；2（2）证明：设ÐABC=x，QBE平分ÐABC，ÐABE=ÐCBE=1ÐABC=1x，22QÐA=ÐC=90°，在四边形ABCD中，ÐADC=360°-90°-x-90°=180°-x，QDF平分ÐCDA， ÐCDF=1ÐADC=90°-1x，22QÐC=90°，在RtDDCF中，ÐDFC=90°-ÐCDF=90°-(90°-1x)=1x，22ÐCBE=ÐDFC，BE//DF．【点评】本题考查多边形的内角和，角平分线定义，直角三角形性质，平行线的判定，（2）中结合已知条件ÐCBE=ÐDFC是解题的关键．15.如图在由正方形组成的7´8网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都是格点，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图．（1）在图（1）中，另画出DMNC，使DMNC@DABC(M为A的对应点）；（2）在图（1）中，画出DABC的中线CD；（3）在图（2）中，画出DABC的高BE；再在高BE上画点F，使得ÐAFE=45°．【分析】（1）作DABC关于C所在格线的对称图形即可；（2）作AC，BC边上的中线的交点R，连接CR并延长交AB于D，即可得到答案；（3）取格点M，连接BM交AC于E，线段BE即为DABC的高，取格点N，连接AN交BE于F，点F即为所求．【解答】解：（1）分别作出A，B的对应点M，N，如图：DMNC即为所求； （2）取BC与格线交点K，AC与格线交点T，连接AK，BT交于R，连接CR并延长交AB于D，如图：线段CD即为所求；（3）取格点M，连接BM交AC于E，线段BE即为DABC的高，取格点N，连接AN交BE于F，点F即为所求，如图：理由：由网格特征可知DBWM@DCGA，即可得BM^AC，故BE是AC边上的高；DAHN是等腰直角三角形，C在NH上，且C为NH的垂直平分线，ÐNAC=45°，即ÐFAE=45°．【点评】本题考查作图-应用与涉及作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及网格的特征．15.在DABC中，AO、BO分别平分ÐBAC、ÐABC．（1）如图1，若ÐC=32°，则ÐAOB=106°；（2）如图2，连结OC，求证：OC平分ÐACB；（3）如图3，若ÐABC=2ÐACB，AB=4，AC=7，求OB的长．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到ÐCAB+ÐCBA=180°-ÐC=148°，根据角平分线的定义得到ÐBAO+ÐABO=1(ÐBAC+ÐABC)=1´148°=74°，根据三角形的内角和定理得到22 ÐAOB=180°-(ÐBAO+ÐABO)=180°-74°=106°；（2）如图2，过O作OE^AB于E，OF^AC于F，OG^BC于G，根据角平分线的性质和角平分线的定义即可得到结论；（3）解：在AC上截取AM=AB，连接OM，根据角平分线的定义得到ÐBAO=ÐMAO，根据全等三角形的性质得到OM=OB，ÐAMO=ÐABO，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）解：QÐC=32°，ÐCAB+ÐCBA=180°-ÐC=148°，QAO、BO分别平分ÐBAC、ÐABC，ÐBAO=1ÐBAC，ÐABO=1ÐABC，22ÐBAO+ÐABO=1(ÐBAC+ÐABC)=1´148°=74°，22ÐAOB=180°-(ÐBAO+ÐABO)=180°-74°=106°，故答案为：106°；（2）证明：如图2，过O作OE^AB于E，OF^AC于F，OG^BC于G，QAO、BO分别平分ÐBAC、ÐABC，OE=OF，OE=OG，OF=OG，OC平分ÐACB；（3）解：在AC上截取AM=AB，连接OM，QAO平分ÐBAC，ÐBAO=ÐMAO， QAO=AO，DBAO@DMAO(SAS)，OM=OB，ÐAMO=ÐABO，QBO平分ÐABC，OC平分ÐACB，ÐABO=1ÐABC，ÐACO=1ÐACB，22QÐABC=2ÐACB，ÐABO=2ÐACO，ÐAMO=ÐMOC+ÐMCO=2ÐACO，ÐMOC=ÐMCO，OM=CM=AC-AM=AC-AB=3，OB=3．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．22．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．（1）如图（1），AD是DABC的中线，且AB>AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得DADC@DEDB，其中判定全等的依据为：SAS．（2）如图（2），AD是DABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，ÐBAC=ÐBCA，求证：AE=2AD．（3）如图（3），AD是DABC的中线，AB=AE，AC=AF，ÐBAE=ÐFAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．【分析】（1）由全等三角形的判定可得出答案；（2）延长AD至M，使DM=AD，先证明DABD@DMCD，进而得出MC=AB，ÐB=ÐMCD，即可得出ÐACM=ÐACE，再证明DACM@DACE，即可得出答案；（3）在AD的延长线上截取DH=AD，连接CH，则AH=2AD，先证明DCDH@DBDA得到CH=AB和 ÐAHC=ÐBAE，进一步证明CH=AE、ÐAHC=90°和ÐFAE=ÐACH，再证明DFAE@DACH得到EF=AH和ÐAEF=ÐAHC=90°，即可求解．【解答】（1）解：延长AD至点E，使ED=AD．在DADC和DEDB中，ìAD=DEíïÐADC=ÐBDE，îïCD=BDDADC@DEDB(SAS)，故答案为：SAS；（2）证明：延长AD至M，使DM=AD，QAD是DABC的中线，DB=CD，且ÐADB=ÐMDC，AD=DMDABD@DMCD(SAS)，MC=AB，ÐB=ÐMCD，QAB=CE，CM=CE，QÐBAC=ÐBCA，ÐB+ÐBAC=ÐACB+ÐMCD，即ÐACM=ÐACE，且AC=AC，CM=CE，DACM@DACE(SAS)．AE=AM，QAM=2AD，AE=2AD．（3）解：EF=2AD，EF^AD，证明如下： 如图，在AD的延长线上截取DH=AD，连接CH，则AH=2AD，QAD是DABCCD=BD，的中线，DCDH@DBDA(SAS)，CH=AB，ÐAHC=ÐBAE，QAB=AE，ÐBAH=90°，CH=AE，ÐAHC=90°，ÐACH+ÐCAH=90°，QÐFAC=90°，ÐFAE+ÐCAH=90°，ÐFAE=ÐACH，DFAE@DACH(SAS)，EF=AH，ÐAEF=ÐAHC=90°，EF=2AD，EF^AD．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定．23．（1）问题发现：如图①，DABC和DEDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①ÐAEC的度数为120°；②线段AE、BD之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图②，DABC和DEDC都是等腰直角三角形、ÐACB=ÐDCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为DEDC中DE边上的高，连接AE，试求ÐAEB的度数及判断线段CM、AE、BM 之间的数量关系，并说明理由；（2）解决问题：如图③，DABC和DEDC都是等腰三角形，ÐACB=ÐDCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出ÐEAB+ÐECB的度数．【分析】（1）①由“SAS”可证DECA@DDCB，根据全等三角形的性质求出ÐAEC的度数；②根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据DECA@DDCB得到ÐAEB=ÐCEA-ÐCEB=90°，根据直角三角形的性质得到CM=EM=MD，得到线段CM、AE、BM之间的数量关系；（3）根据DECA@DDCB解答即可．【解答】解：（1）①QDABC和DDCE都是等边三角形，CE=CD，CA=CB，ÐECD=ÐACB=60°，ÐECD-ÐACD=ÐACB-ÐACD，即ÐECA=ÐDCB，在DECA和DDCB中，ìCE=CDíïÐECA=ÐDCB，îïCA=CBDECA@DDCB(SAS)，ÐAEC=ÐBDC=120°，故答案为：120°；②QDECA@DDCB，AE=BD，故答案为：AE=BD；（2）CM+AE=BM，理由如下：QDDCE是等腰直角三角形，ÐCDE=45°，ÐCDB=135°，由（1）得DECA@DDCB， ÐCEA=ÐCDB=135°，AE=BD，QÐCEB=45°，ÐAEB=ÐCEA-ÐCEB=90°，QDDCE都是等腰直角三角形，CM为DDCE中DE边上的高，CM=EM=MD，CM+AE=BM；（2）QDDCE是等腰三角形，ÐDCE=36°，ÐCDE=72°，ÐCDB=108°，QDECA@DDCB，ÐCEA=ÐCDB=108°，ÐEAC+ÐECA=72°，QDABC是等腰三角形，ÐACB=36°，ÐCAB=72°，ÐEAB+ÐECB=ÐEAC+ÐCAB+ÐECA+ÐACB=72°+72°+36°=180°，【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0，b)(a，b均为正数）．（1）若|a-3|+(b-4)2=0，直接写出A、B两点的坐标；（2）如图1，在（1）的条件下，点C在x轴的负半轴上，AC=BC，点D在BC的延长线上，BA=AD，求CD+CO的值；（3）如图2，在DBAN和DBOM中，BA=BN，BO=BM，ÐABN=ÐOBM，射线MO交线段AN于点P．求证：点P为线段AN的中点． 【分析】（1）由非负数的性质得出a-3=0，b-4=0，解一元一次方程即可得出结论；（2）在x轴上取点M，使得CM=CD，连接BM，证明DBCM@DACD(SAS)，由全等三角形的性质得出BM=AD=AB，则可得出答案；（3）连接MN，过点N作NC//OA交MP的延长线于点C，设ÐAOC=ÐC=α，则ÐBOM=90°-α，证明DBMN@DBOA(SAS)，由全等三角形的性质得出OA=MN，ÐBMN=ÐBOA=90°，证明DOAP@DCNP(ASA)，由全等三角形的性质得出NP=AP．【解答】（1）解：Q|a-3|+(b-4)2=0，a-3=0，b-4=0，a=3，b=4，A(3,0)，B(0,4)；（2）解：在x轴上取点M，使得CM=CD，连接BM，在DBCM和DACD中，ìAC=BCíïÐACD=ÐBCM，îïCD=CMDBCM@DACD(SAS)，BM=AD=AB，又QBO^AO，OA=OM，CD+CO=CM+CO=MO=OA=3；（3）证明：连接MN，过点N作NC//OA交MP的延长线于点C， 设ÐAOC=ÐC=α，则ÐBOM=90°-α，QÐABN=ÐOBM，ÐABO=ÐNBM，QAB=BN，OB=BM，DBMN@DBOA(SAS)，OA=MN，ÐBMN=ÐBOA=90°，QÐBMO=ÐBOM=90°-α，ÐCMN=ÐC=α，MN=CN=OA，QCN//OA，ÐC=ÐAOC，ÐOAP=ÐCNP，DOAP@DCNP(ASA)，NP=AP．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．