24秋人教版九年级上学期数学期中模拟试卷 （测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆）

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷01满分：120分测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25九年级上·贵州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•天心区期中）二次函数y=(x-2)2+3的最小值是()A．2B．3C．-2D．-33．（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于x的方程(a-1)x2+x-2=0是一元二次方程，则a满足（）A．a¹1B．a¹-1C．a¹±1D．为任意实数4．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）定义运算m☆n=mn2-mn-1，例如4☆2=4´22-4´2-1=7，则方程2☆x=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根5．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）对于二次函数y=3x2-6x的性质描述正确的是（）A.该函数图象开口朝下B．该函数图象的对称轴在y轴右侧C．当x>1时，y随x的增大而减小D．该函数图象与y轴的交点位于y轴正半轴6．（23-24九年级上·四川广安·期中）下列说法中，正确的个数是（）（1）三点确定一个圆；（2）优弧大于劣弧；（3）圆中90°的角所对的弦是直径；（4）相等的圆心角所对的弦相等；（5）等弧所对的弦相等；（6）平分弦的直径平分弦所对的弧．A.1个B．2个C．3个D．4个7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x(x+1)=28C．x(x-1)=28B．1x(x-1)=282D．1x(x+1)=2828．（22-23九年级上·ft东济宁·期中）小明以二次函数y=2x2-4x+6的图象为模型设计了一款杯子，如图 为杯子的设计稿，若AB=6，DE=3，则杯子的高CE为（）A．21B．22C．23D．249．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，VABC与VCDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=8，BC=4，若将VCDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）3A.4B.4C.23或D.43或477710．（22-23九年级上·广西贺州·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②a+c>b；③2a+b=0；④2a+c<0；⑤当x=1时，y有最大值；⑥一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3，其中正确的结论有（）A．①②③B．③④⑤C．③⑤⑥D．③④⑥二、填空题。（共8小题，每小题3分，共24分）11．（23-24九年级上·甘肃金昌·期中）在平面直角坐标系中，点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是．12．（22-23九年级上·福建莆田·期中）已知x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则2m+n的值是．13．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）已知关于x的二次函数y=-(x-5)2+1，当2<x<6时，y的取值范围为 14．（22-23九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线C:y=x2-2x(0£x£2)交x轴于O，A两点；将C绕11点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，¼，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是15．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a,b是方程x2-x-6=0的两实数根，则a3+7b-6=．16．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图，PA，PB是eO的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若ÐOAB=35°，则ÐABP=°．17．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．VADE绕着点A逆时针旋转后与△ABF重合，连结EF，则EF=．18．（21-22九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图，AB是eO的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，ÐAEC=30°，则CD的长为．三、解答题（共8小题，共66分）19．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）解方程：(1)x2+4x-1=0；(2)(x-3)(x-4)=x-3． 20．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程：(1)2x2-4x+1=0（公式法）(2)x2-9=2x+6（因式分解法）21．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，在VABC中，AC=BC，将VABC绕点A逆时针旋转60°，得到VADE，连接BD，BE．(1)判断△ABD的形状；(2)求证：BE平分∠ABD．22．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形ABDC，AB是eO的直径，OD^于点E．BC交BC (1)求证：点D为B‸C的中点；(2)若BE=4，AC=6，求DE．23．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在eO上取一点C，延长AB至点D，连接DC，ÐDCB=ÐDAC，过点A作AE^AD交DC的延长线于点E．(1)求证：CD是eO的切线；(2)若CD=4，DB=2，求AE的长．24．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不 低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）；(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（m³5）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．25．（22-23九年级上·ft东济宁·期中）半角模型探究如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且ÐEDF=45°．将VDAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． (1)求证：EF=AE+CF；(2)当AE=1时，求CF的长．(3)探究延伸：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，ÐB+ÐD=180°，BC+CD=8．E、F分别是边BC、CD上的点，且ÐEAF=1ÐBAD．求△CEF的周长．226．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为A(4,4)，与直线y=1x交于点O和点C．4 (1)直接写出点B的坐标；(2)求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；(3)如图2，点T(t,0)(t>0)是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y=1x于点D，交抛4物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG=2．当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围． 2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷01满分：120分测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25九年级上·贵州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2023秋•天心区期中）二次函数y=(x-2)2+3的最小值是()A．2B．3C．-2D．-3【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y=(x-2)2+3，当x=2时，最小值是3，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于x的方程(a-1)x2+x-2=0是一元二次方程，则a满足（）A．a¹1B．a¹-1C．a¹±1D．为任意实数【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如ax2+bx+c=0(a¹0)（a,b,c都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程(a-1)x2+x-2=0是一元二次方程，∴a-1¹0，∴a¹1．故选：A4．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）定义运算m☆n=mn2-mn-1，例如4☆2=4´22-4´2-1=7，则方程2☆x=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【详解】解：根据定义得：2☆x=2x2-2x-1=0，Qa=2，b=-2，c=-1，Δ=b2-4ac=(-2)2-4´2´(-1)=12>0，原方程有两个不相等的实数根，故选：A．5．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）对于二次函数y=3x2-6x的性质描述正确的是（）A.该函数图象开口朝下B．该函数图象的对称轴在y轴右侧C.当x>1时，y随x的增大而减小D.该函数图象与y轴的交点位于y轴正半轴【答案】B【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据二次函数图象与系数的关系判断．【详解】A、3>0，该函数图象开口朝上，故A不符合题意；B、y=3x2-6x对称轴为x=--6=1，该函数图象的对称轴在y轴右侧，故B符合题意；2´3C、y=3x2-6x对称轴为x=--6=1，当x>1时，y随x的增大而增大，故C不符合题意；2´3D、x=0时y=0，即与y轴交点为原点，故D不符合题意；故选：B．6．（23-24九年级上·四川广安·期中）下列说法中，正确的个数是（）（1）三点确定一个圆；（2）优弧大于劣弧；（3）圆中90°的角所对的弦是直径；（4）相等的圆心角所对的 弦相等；（5）等弧所对的弦相等；（6）平分弦的直径平分弦所对的弧．A.1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．也考查了圆的认识、垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据确定圆的条件对（1）（2）进行判断；根据圆周角定理对（3）进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对（4）（5）进行判断；根据角平分线对（6）进行判断；【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以（1）错误；在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，所以（2）错误；圆中90°的圆周角所对的弦是直径；所以（3）错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以（4）错误；能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；所以（5）正确；平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，所以（6）错误；故选：A7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x(x+1)=28C．x(x-1)=28B．1x(x-1)=282D．1x(x+1)=282【答案】B【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．设邀请x个队参赛，则每个队参加(x-1)场比赛，总共2【详解】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意，得1x(x-1)场比赛，据此即可列出方程．2故选：B1x(x-1)=28．8．（22-23九年级上·ft东济宁·期中）小明以二次函数y=2x2-4x+6的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=6，DE=3，则杯子的高CE为（） A．21B．22C．23D．24【答案】A【分析】首先由y=2x2-4x+6求出D点的坐标为(1,4)，然后根据AB=6，可知B点的横坐标为x=4，代入y=2x2-4x+6，得到y=22，所以CD=22-4=18，又DE=3，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．【详解】解：Qy=2x2-4x+6=2(x-1)2+4，抛物线顶点D的坐标为(1,4)，QAB=6，B点的横坐标为x=3+1=4，把x=4代入y=2x2-4x+6，得到y=22，CD=22-4=18，CE=CD+DE=18+3=21．故选：A9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，VABC与VCDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=8，BC=4，若将VCDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）37A．4B．4C．23或D．43或477【答案】D【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，②当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可．【详解】解：∵BC=4，VABC是等边三角形， ∴ÐABC=60°，AC=BC=4，∵VCDE是等边三角形，CD=8，∴CE=CD=8，①当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BG^AC于G，则ÐCBG=1ÐABC=30°，2在Rt△CBG中，ÐCBG=30°,BC=4，∴CG=1BC=2，2根据勾股定理得，BG=42-22=23，∴EG=CE-CG=8-2=6，在Rt△BGE中，根据勾股定理得，BE=62+(23)2=43；②当点E在AC的延长线上时，如图，过点B作BH^AC于H，则ÐCBH=1ÐABC=30°，2在Rt△CBH中，ÐCBH=30°，BC=4，∴CH=1AC=2，2根据勾股定理得BH=BC2-CH2=23，∴EH=CE+CH=8+2=10，在Rt△BHE中，根据勾股定理得，BE=EH2+BH2=102+(23)2=47． ∴BE=43或47．故选：D．10．（22-23九年级上·广西贺州·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②a+c>b；③2a+b=0；④2a+c<0；⑤当x=1时，y有最大值；⑥一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3，其中正确的结论有（）A．①②③B．③④⑤C．③⑤⑥D．③④⑥【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①根据二次函数的开口方向确定a的符号，根据对称轴确定b的符号，根据二次函数的图象与y轴的位置确定c的符号即可判断；②根据x=-1时的函数值即可判断；③根据对称轴是直线x=1即可判断；④根据a-b+c=0，b=-2a可作判断；⑤根据抛物线开口方向和对称轴可作判断；⑥根据抛物线与x轴的交点即可判断．【详解】解：①图象开口向上，得a<0，Q对称轴x=-b>0，2a>0，图象与y轴的交点在x轴的上方，得c>0，abc<0，故①错误；②Q二次函数y=ax2+bx+c的图象过(-1,0)，a-b+c=0，a+c=b，故②错误；Q对称轴x=-b=-1+3=1，2a2=-2a，2a+b=0，故③正确；④Qa-b+c=0，b=-2a， 3a+c=0，∴2a+c=-a>0，故④错误；⑤Q抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，当x=1时，y有最大值，故⑤正确；⑥Q二次函数y=ax2+bx+c的图象过(-1,0)，(3,0)，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3，故⑥正确．故选：C．二、填空题。（共8小题，每小题3分，共24分）【答案】(2,-3)【分析】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3)．故答案为：(2,-3)．11．（23-24九年级上·甘肃金昌·期中）在平面直角坐标系中，点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是．【答案】-4【分析】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．由x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2m+n的值．【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴4+2m+n=0，∴2m+n=-4．故答案为：-4．12．（22-23九年级上·福建莆田·期中）已知x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则2m+n的值是．【答案】-8<y£1【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即13．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）已知关于x的二次函数y=-(x-5)2+1，当2<x<6时，y的取值范围为 可得出当x=5，函数有最大值1；当x=2时函数有最小值-8，进而求得它们的范围．【详解】解：Q抛物线开口向下，对称轴为直线x=5，抛物线顶点坐标为(5,1)，在2<x<6范围内，当x=5，函数有最大值为1；当x=2时函数有最小值：y=-9+1=-8，故答案为：-8<y£1．14．（22-23九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线C:y=x2-2x(0£x£2)交x轴于O，A两点；将C绕11点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，¼，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是【答案】y=-x2+38x-360【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道抛物线C10的顶点，即可求得抛物线C10的解析式．【详解】解：Qy=x2-2x(0£x£2)，配方可得y=(x-1)2-1(0£x£2)，顶点坐标为(1,-1)，A坐标为(2,0)QC2由C1旋转得到，OA=AA1，即C2顶点坐标为(3,1)，A1(4,0)；照此类推可得，C3顶点坐标为(5,-1)，A2(6,0)；C4顶点坐标为(7,1)，A3(8,0)；¼¼，抛物线C10的顶点坐标是(19,1)，A8(18,0)，A9(20,0)．抛物线C10的解析式是y=-(x-18)(x-20)=-x2+38x-360． 故答案为：y=-x2+38x-360．15．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a,b是方程x2-x-6=0的两实数根，则a3+7b-6=．【答案】7【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的解可得a2=a+6，根据根与系数的关系可得a+b=1，再将a3+7b-6化简即可求解．【详解】解：∵a,b是方程x2-x-6=0的两实数根，∴a+b=1，a2-a-6=0，即a2=a+6，∴a3+7b-6=a(a+6)+7b-6=a2+6a+7b-6=a+6+6a+7b-6=7a+7b=7(a+b)=7，故答案为：7．16．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图，PA，PB是eO的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若ÐOAB=35°，则ÐABP=°．【答案】55【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得PA=PB，OA^PA，进而求得ÐBAP，根据等边对等角，即可求解．【详解】解：QPA，PB是eO的两条切线，PA=PB，OA^PA，QÐOAB=35°， ÐBAP=90°-ÐOAB=55°，QPA=PB，ÐABP=ÐBAP=55°．故答案为：55．17．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．VADE绕着点A逆时针旋转后与△ABF重合，连结EF，则EF=．【答案】25【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算AE=AD2+DE2，根据旋转的性质，得出ÐDAE=ÐBAF，AF=AE=10，推出ÐBAD=ÐEAF=90°，根据勾股定理计算EF=AE2+AF2即可，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、勾股定理是解题的关键．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1，∴ÐD=ÐBAD=90°，AD=3，∴AE=AD2+DE2=32+12=10，∵VADE绕着点A逆时针旋转后与△ABF重合，∴ÐDAE=ÐBAF，AF=AE=10，∴ÐDAE+ÐBAE=ÐBAF+ÐBAE，即ÐBAD=ÐEAF=90°，∴EF=AE2+AF2=(10)2+(10)2=25，故答案为：25．18．（21-22九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图，AB是eO的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，ÐAEC=30°，则CD的长为．【答案】42 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作OF^DC于F，连接OC，根据垂直定义得出∠OFE=∠OFC=90°，即可求出OA=OB=OC=3，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF=CF，即可求出答案,能熟记垂径定理是解此题的关键．【详解】解：如图所示，过O作OF^DC于F，连接OC，则∠OFE=∠OFC=90°，∵BE=1，AE=5，∴AB=BE+AE=1+5=6，∴OB=OA=OC=3，∴OE=OB-BE=3-1=2，∵ÐAEC=30°，∴OF=1OE=1，2在RtVOFC中，根据勾股定理得，CF=OC2-OF2=32-12=22，∵OF^DC，OF过圆心O，∴DF=CF=22，∴CD=CF+DF=22+22=42故答案为：42．三、解答题（共8小题，共66分）19．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）解方程：(1)x2+4x-1=0；(2)(x-3)(x-4)=x-3．【答案】(1)x1=-2+5，x2=-2-5(2)x1=3，x2=5【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．（1）利用配方法得到(x+2)2=5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项得到(x-3)(x-4)-(x-3)=0，再把方程转化为x-3=0或x-4-1=0，然后解一元一次方程 即可．【详解】（1）解：x2+4x-1=0，整理得x2+4x=1，配方得x2+4x+4=1+4，即(x+2)2=5，∴x+2=±5，∴x1=-2+5，x2=-2-5；（2）解：(x-3)(x-4)=x-3，整理得(x-3)(x-4)-(x-3)=0，因式分解得(x-3)(x-4-1)=0，∴x-3=0或x-4-1=0，∴x1=3，x2=5．20．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程：(1)2x2-4x+1=0（公式法）(2)x2-9=2x+6（因式分解法）（2）解：(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3)-2(x+3)=02；2221∴x=2+2，x=2-28=2±2，2´2∴x=4±(2)x1=-3，x2=5．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．【详解】（1）解：，2x2-4x+1=0，D=(-4)2-4´2´1=8>0，∴方程有两个不相等的实数根，2；222，x=2-21【答案】(1)x=2+ (x+3)(x-5)=0，x+3=0或x-5=0，∴x1=-3，x2=5．21．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，在VABC中，AC=BC，将VABC绕点A逆时针旋转60°，得到VADE，连接BD，BE．(1)判断△ABD的形状；【答案】(1)等边三角形(2)证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键．（1）依题意，将VABC绕点A逆时针旋转60°，得到VADE，找到旋转前后等量关系AB=AD，ÐBAD=60°，即可判断△ABD的形状；（2）由旋转关系，可以得到AE=AC，DE=BC，AE=DE，并且△ABD为等边三角形，故可以证明VBED≌VBEA(SSS)，得到BE平分∠ABD．【详解】（1）解：QVABC绕点A逆时针旋转60°，AB=AD，ÐBAD=60°，△ABD为等边三角形；（2）证明：QVABC绕点A逆时针旋转60°，AE=AC，DE=BC，QAC=BC，AE=DE，Q△ABD为等边三角形，BA=BD，在VBED和△BEA中，(2)求证：BE平分∠ABD． ìBE=BEïBA=BD，íïAE=DEîVBED≌VBEA(SSS)，ÐABE=ÐDBE，BE平分∠ABD．22．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形ABDC，AB是eO的直径，OD^于点E．(1)求证：点D为B‸C的中点；(2)若BE=4，AC=6，求DE．BC交BC【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查的是垂径定理；（1）由垂径定理可得B‸D=C‸D；（2）先根据垂径定理求出BC=8，圆周角定理得ÐACB=90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD-OE求解即可．【详解】（1）∵AB是eO的直径，OD^BC，∴B‸D=C‸D，即点D为B‸C的中点；（2）∵AB是eO的直径，OD^BC，∴BE=EC=4，∴BC=8，∵AB是eO的直径，∴ÐACB=90°，∵AC=6 ∴AB=AC2+BC2=10，∴OD=OB=5，∴OE=OB2-BE2=3，∴DE=OD-OE=5-3=2．23．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在eO上取一点C，延长AB至点D，连接DC，ÐDCB=ÐDAC，过点A作AE^AD交DC的延长线于点E．(1)求证：CD是eO的切线；(2)若CD=4，DB=2，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到ÐACB=90°，即ÐBCO+Ð1=90°，求得ÐOCA=ÐDCB，得到ÐDCO=90°，根据切线的判定定理得到答案；（2）根据勾股定理得到OB=3，求得AB=6，根据切线的性质得到AE=CE根据勾股定理即可得出结论．【详解】（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴ÐACB=90°，即ÐBCO+ÐACO=90°，又∵ÐDCB=ÐCAD，∵∠CAD=∠OCA， ∴ÐOCA=ÐDCB，∴ÐDCB+ÐBCO=90°，即ÐDCO=90°，∵OC是eO的半径，∴CD是eO的切线；（2）解：∵ÐDCO=90°，OC=OB，∴OC2+CD2=OD2，∴OB2+42=(OB+2)2，∴OB=3，∴AB=6，∵AE^AD，AB是eO的直径，∴AE是eO的切线，∵CD是eO的切线；∴AE=CE，∵AD2+AE2=DE2，∴(6+2)2+AE2=(4+AE)2，解得AE=6．【点睛】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (1)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（m³5）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．【答案】(1)y=-x+32(1)101万元(2)5<m£8【分析】（1）用待定系数法可得y=-x+32；（1）由年利润=总售价-总成本-研发费用可得S=(x-10)×y-20=-(x-21)2+101，根据二次函数性质可得答案；（2）依题意，记扣除捐赠后的利润为W，则W=S-ym=-x2+(42+m)x-340-32m，则-1<0，开口向下，对称轴x=-b=-42+m=21+m，结合题意，列式21+m£25，即可作答．2a2´(-1)22本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．【详解】（1）解：设y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式是y=kx+b，将(12,20)，(32,0)代入得：íì12k+b=20î32k+b=0，íìk=-1解得，îb=32y=-x+32；（2）解：根据题意得：S=(x-10)×y-20=(x-10)(-x+32)-20=-x2+42x-340=-(x-21)2+101，Q-1<0，x=21时，S取最大值，最大值为101，答：S=-(x-21)2+101，第一年年利润的最大值时101万元；（3）解：由（2）得出S=(x-10)×y-20=-x2+42x-340依题意，记扣除捐赠后的利润为W则W=S-ym=-x2+42x-340-(-x+32)m=-x2+(42+m)x-340-32m∴-1<0，开口向下，对称轴x=-b=-42+m=21+m2a2´(-1)2∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（m³5）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，∴21+m£252 ∴5<m£825．（22-23九年级上·ft东济宁·期中）半角模型探究如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且ÐEDF=45°．将VDAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．(1)求证：EF=AE+CF；(2)当AE=1时，求CF的长．(3)探究延伸：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，ÐB+ÐD=180°，BC+CD=8．E、F分别是边BC、CD上的点，且ÐEAF=1ÐBAD．求△CEF的周长．2【答案】(1)见详解(2)CF=32(3)8【分析】（1）由旋转可得DE=DM，ÐEDM为直角，可得出ÐEDF+ÐMDF=90°，由ÐEDF=45°，得到ÐMDF为45°，可得出ÐEDF=ÐMDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=CF+AE；（2）由（1）的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．（3）拓展延伸：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且ÐEAF=45°，连接EF，同（2）可得结论EF=AE+CF仍然成立，再结合BC+CD=8，即可作答．【详解】（1）证明：Q△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，ÐFCM=ÐFCD+ÐDCM=180°，AE=CM，F、C、M三点共线，DE=DM，ÐEDM=90°，ÐEDF+ÐFDM=90°，QÐEDF=45°， ÐFDM=ÐEDF=45°，在VDEF和VDMF中，ìDE=DMíïÐEDF=ÐMDF，îïDF=DFVDEF≌VDMF(SAS)，EF=MF，EF=CF+AE；（2）解：设EF=MF=x，QAE=CM=1，BC=3，BM=BC+CM=3+1=4，BF=BM-MF=BM-EF=4-x，EB=AB-AE=3-1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得，EB2+BF2=EF2即22+(4-x)2=x2，解得x=5，2则EF=MF=5．2∴CF=MF-CM=5-1=3；22（3）解：如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转角度为∠BAD的度数，得到VABH，由旋转可得，AH=AF，BH=DF，ÐDAF=ÐBAH，ÐD=ÐABH，QÐEAF=1ÐDAB，2ÐHAE=ÐBAH+ÐBAE=ÐDAF+ÐBAE=1ÐBAD，2 ÐHAE=ÐEAF，QÐABH+ÐABE=ÐD+ÐABE=180°，点H、B、E三点共线，在△AEH和△AEF中，ìAH=AFïÐHAE=ÐEAF，íïAE=AEîVAEH≌VAEF(SAS)，EF=HE，QHE=BH+BE，EF=DF+BE；∵BC+CD=8∴BE+EC+CF+DF=8，(BE+DF)+EC+CF=8，则(BE+HB)+EC+CF=8，∴EH+EC+CF=8，∴EF+EC+CF=8，则△CEF的周长为8．【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．26．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为A(4,4)，与直线y=1x交于点O和点C．4(1)直接写出点B的坐标；(2)求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；(3)如图2，点T(t,0)(t>0)是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y=1x于点D，交抛4 物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG=2．当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围．【答案】(1)(8，0)(2)y=-1x2+2x，Cæ7,7ö4ç4÷èø(3)0<t£7或7<t£82【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．（1）作AD^OB交OB于点D，则D(4,0)，得到OD=4，由二次函数的性质可得OD=BD=4，即可得出点B的坐标，（1）设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4，将B(8,0)代入抛物线得：a´(8-4)2+4=0，求出a的值，即ìy=-1x2+2xï4可得出抛物线解析式，联立íïïy=1xî4．即可求出点C的坐标．æ1öæ12ö（2）根据题意得Dçt,4t÷，Eçt,-4t+2t÷，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的èøèø右侧时，分别计算即可得到答案．【详解】（1）如图1，作AD^OB交OB于点D，∵A(4,4)，∴D(4,0)，∴OD=4，∵O、B为二次函数与x轴的交点，∴O、B关于直线AD对称，∴OD=BD=4， ∴OB=OD+BD=4+4=8，∴B(8,0)．（2）设抛物线解析式为y=a(x-4)2+4，将B(8,0)代入抛物线得：a´(8-4)2+4=0，解得：a=-1，4∴抛物线解析式为y=-1(x-4)2+4=-1x2+2x，44ìy=-1x2+2xï4联立í，ïïy=1xî4解得：x1=7，x2=0（不符合题意，舍去），当x=7时，y=7，4æ7ö4∴Cç7,÷．èø（3）∵点T(t,0)是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y=1x于点D，交抛物线于点4E，æ1öæ12ö∴Dçt,4t÷，Eçt,-4t+2t÷，èøèø如图2，当点D在点C左侧时，DE=-1t2+2t-1t=-1t2+7t，4444æ17ö11æ7ö249∴S=DG×DE=2×ç-t2+t÷=-(t2-7t)=-çt-÷+，矩形DEFG∴-1<0，2è44ø22è2ø8∴当0<t£7时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大，2如图3，当点D在点C右侧时， 老师您好，我这边又再次看了一下题干的小问（3）条件，点D是和直线的交点，点E是和抛物线的交点，辛苦老师看下是否需要修改。（下图是按照老师要求修改后的）DE=1t2-2t+1t=1t2-7t，4444∴Sæ17ö1æ7ö2矩形DEFG=DG×DE=2×çt2+t÷=(t2-7t)=çt-÷+，149è44ø22è2ø8∴>0，12∴当7<t£8时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大．综上所述，当0<t£7或7<t£8时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大．2