沪科版七年级数学上册期末复习考点清单 专题05 几何图形初步（5个考点清单 14种题型解读）

专题05几何图形初步（5个考点清单+14种题型解读）目录【考点题型一】几何体的识别4【考点题型二】立体图形的分类6【考点题型三】动态认识点、线、面、体8【考点题型四】直线、射线、线段的相关概念11【考点题型五】线段和直线的基本性质问题13【考点题型六】角的表示方法16【考点题型七】方位角问题18【考点题型八】钟面角问题21【考点题型九】求一个角的余角、补角23【考点题型十】三角板中角度计算问题25【考点题型十一】尺规作线段或角27【考点题型十二】与线段及线段中点有关的计算32【考点题型十三】与余角、补角有关的计算37【考点题型十四】与角平分线有关的计算问题41【知识点01】立体图形的认识1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.3.棱柱的有关概念及其特征:①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.【知识点02】点、线、面、体的关系①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．②点动成线，线动成面，面动成体．③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．【知识点03】线段、射线、直线66 1.直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.66 【知识点04】角与角的和差1．角的定义与换算（1）角的定义1.角的定义：角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形．2.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB；（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A；（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1．（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.（4）角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2．角的比较与运算（1）角的比较方法:①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.66 【知识点05】余角、补角1.余角、补角余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）结论:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.2.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.【考点题型一】几何体的识别【例1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下面几何体中，是圆锥的为（    ）A．B．C．D．66 【变式1-2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（23-24七年级上·山西大同·期末）下列几何体中，属于棱锥的是（）A．B．C．D．【变式1-4】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ）A．B．C．D．【考点题型二】立体图形的分类【例2】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2-1】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）对于几种图形：①三角形；②长方形；③圆；④圆锥；⑤圆柱，其中属于立体图形的是（   ）A．①②③B．③④⑤C．④⑤D．③④【变式2-2】（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（    ）66   A．1个B．2个C．3个D．4个【考点题型三】动态认识点、线、面、体【例3】（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ）A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．两点确定一条直线【变式3-1】（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了，把雨看成，说明（      ）A．点；直线；点动成线B．点；线；点动成线C．线；面；线动成面D．线；面；面动成体【变式3-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ）A．B．C．D．【变式3-3】（22-2366 六年级上·山东东营·期末）小丽跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的．此情此景，让她想起了六年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，她提出了以下问题，你能帮她解决吗？(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______．(2)这能说明的事实是______（选择正确的一项填入）．A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体(3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）【变式3-4】（23-24七年级上·云南文山·期末）已知长方形的长为a，宽为b，将其绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形．(1)用含a、b的代数式表示这个立体几何的体积；（结果保留π）(2)若，求这个几何体的体积．（π取3）【考点题型四】直线、射线、线段的相关概念【例4】（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ）A．B．C．D．【变式4-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ）A．图中有直线B．图中有直线C．直线与直线交于点OD．直线与直线m交于点O【变式4-2】（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ）A．画射线B．画直线66 C．画线段，在线段上任取一点D．以点为端点画射线【变式4-3】（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，下面说法中不正确的是（    ）A．点在直线上B．点在直线外C．点在线段上D．点在线段上【变式4-4】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ）  A．如图1所示，点C在线段上B．如图2所示，射线经过点AC．如图3所示，直线a和直线b相交于点AD．如图4所示，射线和线段没有交点【考点题型五】线段和直线的基本性质问题【例5】（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　）A．经过一点有无数条直线B．两点确定一条直线C．两直线相交只有一个交点D．两点之间，线段最短【变式5-1】（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了．【变式5-2】（23-2466 七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是．【变式5-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，妙妙将一个衣架固定在墙上，她在衣架两端各用一个钉子进行固定．妙妙的操作可用数学原理解释为．【变式5-4】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第路，用数学知识解释为：．  【变式5-5】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是．【考点题型六】角的表示方法【例6】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ）A．B．C．D．【变式6-1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　）66 A．B．C．D．【变式6-2】（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）  A．点P在直线m上B．直线m和n相交于点OC．∠1可以表示成或D．射线和射线表示同一条射线【变式6-3】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）平板电脑支架方便用户在不同位置和角度观看平板电脑，如图是支架侧面的平画示意图，其中还可以表示为（    ）A．B．C．D．【变式6-4】（23-24七年级上·河南商丘·期末）下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ）A．B．C．D．【考点题型七】方位角问题【例7】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为．66 【变式7-1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，为北偏东方向，，则的方向为．【变式7-2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的方向．    【变式7-3】（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，若，在A处观察C的方位角是北偏东度．【考点题型八】钟面角问题【例8】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点3066 分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为度．【变式8-1】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是．【变式8-2】（23-24六年级下·山东东营·期末）钟表上显示的时间是12点20分，此时时针与分针的夹角的度数是．【变式8-3】（23-24七年级上·广东江门·期末）为了弘扬梁赞咏春文化，某中学在11月25日上午开展“咏春进校园”系列活动之咏春操比赛活动，则该时刻钟表上时针与分针所夹的角为度．【变式8-4】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）“好习惯受益终身”，每天早晨6点到7点之间都是七（1）班优优同学的“经典诵读”时间，从6点起，至少经过分钟，时针与分针所形成的角度为．【考点题型九】求一个角的余角、补角【例9】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是，它的补角是．【变式9-1】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为．【变式9-2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的度数是，则补角的度数是．【变式9-3】（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为，的补角为66 ．【变式9-4】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）已知和互为补角，并且的2倍比小，则°.【考点题型十】三角板中角度计算问题【例10】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则．【变式10-1】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点O．若，则的度数为．【变式10-2】（23-24七年级上·江苏南通·期末）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则．【变式10-3】（23-24七年级上·山西大同·期末）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中三点在同直线上，为的平分线，为的平分线，则．66 【考点题型十一】尺规作线段或角【例11】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，平面上有四个点，读下列语句，并画出符合下列所有要求的图形．(1)画射线，连接，并与射线相交于点；(2)画直线．【变式11-1】（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．  求作：，使．要求：保留画图痕迹，不写画法．画图：【变式11-2】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形．(1)画直线；66 (2)画射线；(3)连接B，C；(4)线段和线段相交于点O．【变式11-3】（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知线段m、n（其中）．(1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不用写作法）；(2)在（1）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，当时，求线段的长．【变式11-4】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知．(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）；(2)（填“”、“”或“”），依据是_______；(3)若点是射线上一点，且，，求的长；(4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值．【考点题型十二】与线段及线段中点有关的计算【例12】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）．（1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段与，点M叫做线段AB的，AB．拓展延伸（2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，．①求线段AB的长；66 ②求线段DE的长．【变式12-1】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点．(1)若，求的长．(2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）．【变式12-2】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点．(1)求线段的长；(2)在线段上有一点，，求的长．【变式12-3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，点是线段上一点，、分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．(1)下面是小丽的解答过程，请你补充完整．解答过程因为点、分别是线段、的中点，所以，①　　．②①②得，　　　　　　．(2)小丽进行题后反思，提出新的问题：如果点O运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化?请你画出示意图，并说明理由．【变式12-4】（23-24七年级上·江苏常州·期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，．66 (1)．；(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度．【考点题型十三】与余角、补角有关的计算【例13】（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分．(1)求的度数；(2)判断与是否互余，并说明理由．【变式13-1】（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）．(1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上，①请找出图中与相等的一个角，并说明理由；②若的度数比的度数的一半小，求的度数．(2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数．【变式13-2】（22-23七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，与互余，平分．66 (1)若，则　　，　　；(2)设，，请探究与之间的数量关系．【变式13-3】（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分．(1)如图（1），若，则；(2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）；(3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由．【考点题型十四】与角平分线有关的计算问题【例14】（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）【变式14-1】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线66 的同侧．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，若平分，平分，求的度数．【变式14-2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图1，直角三角板的直角顶点在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．  (1)当时，求的度数；(2)当时，求的度数；（用含的式子表示）；(3)当三角板绕点逆时针旋转到图2位置时，，其它条件不变，求的度数（用含的式子表示）．【变式14-3】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数；【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系．66 66 专题05几何图形初步（5个考点清单+14种题型解读）目录【考点题型一】几何体的识别4【考点题型二】立体图形的分类6【考点题型三】动态认识点、线、面、体8【考点题型四】直线、射线、线段的相关概念11【考点题型五】线段和直线的基本性质问题13【考点题型六】角的表示方法16【考点题型七】方位角问题18【考点题型八】钟面角问题21【考点题型九】求一个角的余角、补角23【考点题型十】三角板中角度计算问题25【考点题型十一】尺规作线段或角27【考点题型十二】与线段及线段中点有关的计算32【考点题型十三】与余角、补角有关的计算37【考点题型十四】与角平分线有关的计算问题41【知识点01】立体图形的认识1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.3.棱柱的有关概念及其特征:①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.【知识点02】点、线、面、体的关系①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．②点动成线，线动成面，面动成体．③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．【知识点03】线段、射线、直线66 1.直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.66 【知识点04】角与角的和差1．角的定义与换算（1）角的定义1.角的定义：角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形．2.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB；（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A；（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1．（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.（4）角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2．角的比较与运算（1）角的比较方法:①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.66 【知识点05】余角、补角1.余角、补角余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）结论:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.2.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.【考点题型一】几何体的识别【例1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】常见的几何体【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点．【详解】解：A是长方体，B是圆锥体，C是球体，D是圆柱体66 故选D．【变式1-1】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下面几何体中，是圆锥的为（    ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】常见的几何体【分析】本题主要考查的是几何体的有关知识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据圆锥的定义即可求解．【详解】A、该图形为圆锥，符合题意；B、该图形为球体，不符合题意；C、该图形为圆柱，不符合题意；D、该图形为长方体，不符合题意；故选：A．【变式1-2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】常见的几何体【分析】本题考查圆柱体的识别，根据常见几何体的特征逐项判断即可．【详解】解：A，抽象出来是六棱柱，不合题意；B，抽象出来是球，不合题意；C，抽象出来是圆柱，符合题意；D，抽象出来是圆锥，不合题意；故选：C．【变式1-3】（23-24七年级上·山西大同·期末）下列几何体中，属于棱锥的是（）66 A．B．C．D．【答案】D【知识点】常见的几何体【分析】本题考查的是棱锥的识别，掌握棱锥的概念是解题的关键；根据棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥，再逐一分析各选项即可得到答案；【详解】解：A、是六棱柱，不符合棱锥的定义，故A不符合题意；B、是圆锥，不符合棱锥的定义，故B不符合题意；C、是长方体，不符合棱锥的定义，故C不符合题意；D、是四棱锥，符合棱锥的定义，故D符合题意；故选：D．【变式1-4】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】常见的几何体【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．依次从观察图形，即可得出答案．【详解】解：A、形状类似圆柱，故符合题意；B、形状类似长方体，故不符合题意；C、形状类似圆锥，故不符合题意；D、形状类似球，故不符合题意．66 故选：A．【考点题型二】立体图形的分类【例2】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】立体图形的分类【分析】本题考查了认识立体图形，几何体的分类，棱柱的定义。有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．根据棱柱的定义判定即可．【详解】解：从左到右依次是长方体，圆柱，四棱柱，棱锥，圆锥，三棱柱．所以属于棱柱有长方体，四棱柱，三棱柱，共3个．故选：C．【变式2-1】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）对于几种图形：①三角形；②长方形；③圆；④圆锥；⑤圆柱，其中属于立体图形的是（   ）A．①②③B．③④⑤C．④⑤D．③④【答案】C【知识点】立体图形的分类【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可．【详解】解：根据立体图形的定义可知，圆柱和圆锥是立体图形，三角形，长方形和圆不是立体图形，故选：C．【变式2-2】（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（    ）  A．1个B．2个C．3个D．4个66 【答案】B【知识点】立体图形的分类【分析】利用曲面和平面的定义区分即可．【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形，六个矩形组成，都是平面图形．∴含有曲面的有2个．故选B．【点睛】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键．【考点题型三】动态认识点、线、面、体【例3】（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ）A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．两点确定一条直线【答案】B【知识点】点、线、面、体四者之间的关系【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键．【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面，故选：B．【变式3-1】（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了，把雨看成，说明（      ）A．点；直线；点动成线B．点；线；点动成线C．线；面；线动成面D．线；面；面动成体66 【答案】B【知识点】点、线、面、体四者之间的关系【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线，故选：B．【变式3-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形【分析】本题主要考查了面动成体，根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解．【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D，故选：D．【变式3-3】（22-23六年级上·山东东营·期末）小丽跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的．此情此景，让她想起了六年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，她提出了以下问题，你能帮她解决吗？66 (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______．(2)这能说明的事实是______（选择正确的一项填入）．A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体(3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）【答案】(1)长方形(2)C(3)【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、平面图形旋转后所得的立体图形【分析】（1）旋转门的形状是长方形；（2）长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；（3）根据圆柱体的体积＝底面积×高计算即可．【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，（2）这能说明的事实是面动成体．故选：C．（3）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为：．故形成的几何体的体积是．【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键．【变式3-4】（23-24七年级上·云南文山·期末）已知长方形的长为a，宽为b，将其绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形．(1)用含a、b的代数式表示这个立体几何的体积；（结果保留π）(2)若，求这个几何体的体积．（π取3）66 【答案】(1)当以长为旋转轴时，当以宽为旋转轴时(2)当以长为旋转轴时，；当以宽为旋转轴时，【知识点】列代数式、已知字母的值，求代数式的值、平面图形旋转后所得的立体图形【分析】（1）由题意可得这个几何体是圆柱体；根据当以长为旋转轴时，当以宽为旋转轴时，分别求得体积即可求解；（2）将字母的值代入（1）的结果进行计算即可求解．【详解】（1）解：由题意可得这个几何体是圆柱体；∴当以长为旋转轴时：；当以宽为旋转轴时：；（2）解：当时，当以长为旋转轴时：；当以宽为旋转轴时：．【点睛】本题考查了平面图形旋转后得到的立体图形，列代数式，代数式求值，分类讨论是解题的关键．【考点题型四】直线、射线、线段的相关概念【例4】（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】直线、射线、线段的联系与区别【分析】本题考查了直线、射线、线段．熟练掌握直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长是解题的关键．根据直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长逐项判断即可．【详解】解：由题意知，A中直线CD与直线AB能相交，故符合要求；B中射线CD与直线AB不能相交，故不符合要求；C中射线CD与线段AB不能相交，故不符合要求；D中线段CD与线段AB不能相交，故不符合要求；故选：A．66 【变式4-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ）A．图中有直线B．图中有直线C．直线与直线交于点OD．直线与直线m交于点O【答案】D【知识点】直线、射线、线段的联系与区别【分析】本题考查的是直线的表述方法，直线与直线的交点的含义，根据直线的表示方法逐一判断即可．【详解】解：图中有直线，直线，直线，直线，直线与直线交于点O，直线与直线m交于点O，∴A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意；故选：D．【变式4-2】（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ）A．画射线B．画直线C．画线段，在线段上任取一点D．以点为端点画射线【答案】C【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、画出直线、射线、线段【分析】本题考查射线、直线和线段定义与作图，根据射线、直线和线段定义与作图逐项判断即可得到答案，熟记射线、直线和线段定义与作图是解决问题的关键．【详解】解：A、根据射线定义，射线一端无限延长，不可能得到射线，该选项表述错误，不符合题意；B、根据直线定义，射线两端无限延长，不可能得到直线，该选项表述错误，不符合题意；C、画线段，在线段上任取一点说法正确，符合题意；D、根据射线定义，射线从固定端点出发，向另一端无限延长，以点为端点画射线，而不是以点为端点画射线，该选项表述错误，不符合题意；故选：C．【变式4-3】（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，下面说法中不正确的是（    ）66 A．点在直线上B．点在直线外C．点在线段上D．点在线段上【答案】D【知识点】直线、射线、线段的联系与区别【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据图形，即可解答．【详解】解：A、点B在直线上，正确；B、点A在直线外，正确；C、点C在线段上，正确；D、点M在直线上，错误；故选：D．【变式4-4】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ）  A．如图1所示，点C在线段上B．如图2所示，射线经过点AC．如图3所示，直线a和直线b相交于点AD．如图4所示，射线和线段没有交点【答案】C【知识点】直线、射线、线段的联系与区别【分析】本题考查了射线，线段，直线等知识．熟练掌握射线，线段，直线的定义是解题的关键．根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，如图1所示，点C在直线上，A错误，故不符合要求；如图2所示，射线不经过点A，B错误，故不符合要求；如图3所示，直线a和直线b相交于点A，C正确，故符合要求；如图4所示，射线和线段有交点，D错误，故不符合要求；故选：C．【考点题型五】线段和直线的基本性质问题66 【例5】（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　）A．经过一点有无数条直线B．两点确定一条直线C．两直线相交只有一个交点D．两点之间，线段最短【答案】D【知识点】两点之间线段最短【分析】本题考查线段的性质，理解两点之间线段最短的性质是正确判断的前提．根据线段的性质进行判断即可．【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短，故选：D．【变式5-1】（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了．【答案】面动成体【知识点】点、线、面、体四者之间的关系【分析】本题主要考查了面动成体．根据面动成体解答即可．【详解】解：转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了面动成体，故答案为：面动成体．【变式5-2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是．【答案】两点确定一条直线66 【知识点】两点确定一条直线【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质：两点确定一条直线即可得．【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线．【变式5-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，妙妙将一个衣架固定在墙上，她在衣架两端各用一个钉子进行固定．妙妙的操作可用数学原理解释为．【答案】两点确定一条直线【知识点】两点确定一条直线【分析】本题考查的是直线的性质，根据公理“两点确定一条直线”来解答即可，解题的关键是正确理解两点确定一条直线．【详解】因为“两点确定一条直线”，所以她在衣架两端各用一个钉子进行固定，故答案为：两点确定一条直线．【变式5-4】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第路，用数学知识解释为：．  【答案】③两点之间，线段最短【知识点】两点之间线段最短【分析】根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接、的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可．此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短．【详解】解：依题意，从地到地共有五条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短．66 故答案为：③，两点之间，线段最短【变式5-5】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是．【答案】两点之间，线段最短【知识点】两点之间线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据线段的性质判断即可，正确理解两点之间线段最短是解题的关键．【详解】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【考点题型六】角的表示方法【例6】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】角的表示方法【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误；、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确；、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误；、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误；66 故选：．【变式6-1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　）A．B．C．D．【答案】A【知识点】角的表示方法【分析】本题考查了角的表示方法；角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示，据此进行分析即可．【详解】解：A.可以用表示，符合题意；B.可以用表示，但不能用表示，不符合题意；C.可以用表示，但不能用表示，不符合题意；D.可以用表示，但不能用表示，不符合题意；故选：A．【变式6-2】（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）  A．点P在直线m上B．直线m和n相交于点OC．∠1可以表示成或D．射线和射线表示同一条射线【答案】B【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、角的表示方法【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：A、点P不在直线m上，原说法错误，不符合题意；B、直线m和n相交于点O，原说法正确，符合题意；C、∠1可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意；66 D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意；故选：B．【变式6-3】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）平板电脑支架方便用户在不同位置和角度观看平板电脑，如图是支架侧面的平画示意图，其中还可以表示为（    ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】角的表示方法【分析】本题考查了角的表示，熟知角的三种表示方法是关键．角的表示方法有四种：①用三个字母，中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点；②当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表示；③用一个数字表示一个角；④用一个希腊字母表示一个角，由图即可得出答案．【详解】解：还可以表示为．故选C．【变式6-4】（23-24七年级上·河南商丘·期末）下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】角的表示方法【分析】利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键．【详解】解：A．表示同一个角，没有可以用表示的角，故此选项不符合题意；B．能用三种方法表示同一个角，故此选项符合题意；C．不能表示同一个角，图中没有用表示的角，故此选项不符合题意；D．可以表示同一个角，图中没有能用表示的角，故此选项不符合题意；66 故选：B．【考点题型七】方位角问题【例7】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为．【答案】/150度【知识点】与方向角有关的计算题【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出，得出，根据代入数值，进行计算，即可作答．【详解】解：如图：∵在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，∴，，，，，，故答案为：．【变式7-1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，为北偏东方向，，则66 的方向为．【答案】南偏东【知识点】方向角的表示【分析】本题主要考查了方位角有关的计算和方位角的表示，熟知方位角的相关知识是解题的关键．只需要求出的度数即可得到答案．【详解】解：由题意得，，，为南偏东，故答案为：南偏东．【变式7-2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的方向．    【答案】北偏西【知识点】方向角的表示【分析】本题主要考查了方位角，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系．根据角度之间的和差关系，计算的度数，即可解答．【详解】解：，，66 ，实践基地在学校的北偏西方向，故答案为：北偏西．  【变式7-3】（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，若，在A处观察C的方位角是北偏东度．【答案】【知识点】方向角的表示【分析】本题考查了方向角的定义，求出的度数，即可得，掌握方向角的定义是解题的关键．【详解】解：如图所示，∵，∴，则在A处观察C的方位角是北偏东度，故答案为：．【考点题型八】钟面角问题【例8】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点3066 分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为度．【答案】135【知识点】钟面角【分析】本题考查钟面角，整个圆分为12个大格，每个大格30度，下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，由此可解．【详解】解：下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，每个大格30度，因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为：（度），故答案为：135．【变式8-1】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是．【答案】120【知识点】钟面角【分析】本题考查了钟表里的旋转角的问题，根据钟表表盘被分成12大格，每一大格为，由8时整，即分针和时针之间有4大格，即可求解．【详解】解：钟表表盘被分成12大格，每一大格为，8时整，即分针和时针之间有4大格，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是，故答案为：120．【变式8-2】（23-24六年级下·山东东营·期末）钟表上显示的时间是12点20分，此时时针与分针的夹角的度数是．66 【答案】/110度【知识点】钟面角【分析】根据钟表有12个大格，每个大格是30°，时间为12时20分，分针指在4处，时针在12到1之间，从而可以解答本题．【详解】解：∵钟表上的时间指示为12点20分，∴分针指在4处，时针在12到1之间，∴时针与分针所成的角是：故答案是：．【点睛】本题考查钟面角，解题的关键是明确钟面上每个大格之间的角是30°，时针和分针是同时转动的，每小时分针转12个大格时，时针转动1个大格．【变式8-3】（23-24七年级上·广东江门·期末）为了弘扬梁赞咏春文化，某中学在11月25日上午开展“咏春进校园”系列活动之咏春操比赛活动，则该时刻钟表上时针与分针所夹的角为度．【答案】【知识点】钟面角【分析】本题考查了钟面角的计算，根据时针一分钟走和每两个数字之间相隔进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：时针30分钟所走的度数为，时，分针与8点之间的夹角为，该时刻钟表上时针与分针所夹的角为，故答案为：．【变式8-4】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）“好习惯受益终身”，每天早晨6点到7点之间都是七（1）班优优同学的“经典诵读”时间，从6点起，至少经过分钟，时针与分针所形成的角度为．【答案】/【知识点】钟面角、行程问题(一元一次方程的应用)66 【分析】本题考查时钟角的计算，解题的关键是计算出每分钟时针、分针运动的角度进行计算．设经过t分钟，分针在右半圆的时间最短，计算出每分钟时针与分钟转动的角度即可．【详解】解：设经过t分钟，时针与分针所形成的角度为．每分钟时针转动的度数是：，每分钟分针转动的度数是：，由题意可得，，解得：，∴至少经过分钟，时针与分针所形成的钝角等于，故答案为：．【考点题型九】求一个角的余角、补角【例9】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是，它的补角是．【答案】【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算【分析】本题主要考查了余角和补角．熟练掌握概念是解题的关键．计算时要注意度、分、秒是60进制．余角定义：如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个角互为余角；补角定义：如果两个角的和等于180度（平角），就说两个角互为补角．根据互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°，分别列式计算即可得解．【详解】的余角是：；的补角是：．故答案为：，．【变式9-1】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为．【答案】【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角【分析】本题考查了对余角的理解和运用，如果两个角互余，那么这两个角的和为．根据余角的意义：的余角为，代入求出即可．【详解】解：∵，∴的余角为．66 故答案为：．【变式9-2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的度数是，则补角的度数是．【答案】【知识点】求一个角的补角【分析】此题主要考查了求一个角的补角，关键是掌握两角的和等于180°，这两角互为补角．根据如果两个角的和等于180°，计算即可。【详解】解：补角。故答案为：.【变式9-3】（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为，的补角为．【答案】【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角【分析】本题考查余角和补角的性质定理，根据余角和补角的定义解题即可．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．【详解】∵，∴的余角等于；的补角等于，故答案为；．【变式9-4】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）已知和互为补角，并且的2倍比小，则°.【答案】130【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、求一个角的补角【分析】本题考查了一元一次方程的应用，互为补角的和等于的性质．根据互为补角的和等于，得到，然后根据题意列出关于β的一元一次方程，求解即可．【详解】解：∵和互为补角，∴，根据题意得，，解得，，66 故答案为：130．【考点题型十】三角板中角度计算问题【例10】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则．【答案】/31度【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题【分析】本题考查了一元一次方程的应用及角的和差计算；关键是设出未知数找出等量关系列方程．设，则，根据角的和差关系列出方程，解方程即可．【详解】解：∵比大∴设，则根据题意得：，解得：，∴故答案为：．【变式10-1】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点O．若，则的度数为．【答案】/120度【知识点】三角板中角度计算问题【分析】本题主要考查了三角板中角的和差，先求出，再根据可得答案．【详解】解：根据题意可知，66 ∴，∴．故答案为：．【变式10-2】（23-24七年级上·江苏南通·期末）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则．【答案】【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度是关键．先容易求得，在根据、分别平分，由图可知所求角等于加上的一半．【详解】解：由题可知：∵平分，平分，∴故答案为【变式10-3】（23-24七年级上·山西大同·期末）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中三点在同直线上，为的平分线，为的平分线，则．【答案】/45度66 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算，先求出的度数，根据角平分线的性质，求出的度数，进一步求出的度数即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∵为的平分线，为的平分线，∴，∴；故答案为：．【考点题型十一】尺规作线段或角【例11】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，平面上有四个点，读下列语句，并画出符合下列所有要求的图形．(1)画射线，连接，并与射线相交于点；(2)画直线．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】画出直线、射线、线段【分析】本题主要考查直线和射线的画法，属于基础题，根据题意准确作图是解题的关键．（1）连接并延长，连接，并与射线相交于点即为所求；（2）连接并向两端延长即为所求．【详解】（1）如图所示；就是所求作的射线，就是连接的线段，点就是交点；66 （2）如图所示，就是求作的直线．【变式11-1】（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．  求作：，使．要求：保留画图痕迹，不写画法．画图：【答案】见解析【知识点】尺规作角的和、差【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则．【详解】如图所示，即为所求．  【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键．【变式11-2】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形．66 (1)画直线；(2)画射线；(3)连接B，C；(4)线段和线段相交于点O．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解(4)见详解【知识点】画出直线、射线、线段【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识．（1）过点A、B作直线，要向两方延伸；（2）过B、D作射线，向D点方向延伸，B点方向不延伸∶（3）就是作线段；（4）连接、交点标注为O；【详解】（1）解：直线如下图所示：（2）解：射线如下图所示：（3）解：线段如下图所示：（4）解：线段和线段相交于点O如下图所示：【变式11-3】（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知线段m、n（其中）．(1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不用写作法）；66 (2)在（1）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，当时，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)1【知识点】作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算：（1）作射线，以A为圆心，以线段m的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段n的长为半径画弧交射线于C，则线段即为所求；（2）根据线段中点的定义求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，作射线，以A为圆心，以线段m的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段n的长为半径画弧交射线于C，则线段即为所求；（2）解：∵点M是的中点，点N是的中点∴，∴．【变式11-4】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知．(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）；(2)（填“”、“”或“”），依据是_______；(3)若点是射线上一点，且，，求的长；(4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值．【答案】(1)见解析(2)>，两点之间线段最短(3)(4)的长为1或5．66 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、两点之间线段最短【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了两点间的距离．（1）根据几何语言画出几何图形；（2）根据两点之间线段最短进行判断；（3）先计算出，然后计算即可；（4）讨论：当点在点左侧，；当点在点右侧，．【详解】（1）解：如图，为所作；（2）解：根据两点之间线段最短得；故答案为：，两点之间线段最短；（3）解：，，，；（4）解：当点在点左侧，，当点在点右侧，，综上所述，的长为1或5．【考点题型十二】与线段及线段中点有关的计算【例12】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）．（1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段与，点M叫做线段AB的，AB．拓展延伸66 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，．①求线段AB的长；②求线段DE的长．【答案】（1）中点；；（2）①；②【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键．（1）根据线段中点的定义即可得到答案；（2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案；【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与，∴由中点定义知，点M叫做线段的中点，∴，故答案为：中点，；（2）①∵，∴，∵E是的中点，∴，∴；②∵，∴，∴．【变式12-1】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点．66 (1)若，求的长．(2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）．【答案】(1)；(2)【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键．（1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长；（2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长．【详解】（1）解：由题知：，设，，∴，∵，且，∴，∴，∴，.  ∵点是线段的中点，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，66 ∴．【变式12-2】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点．(1)求线段的长；(2)在线段上有一点，，求的长．【答案】(1)；(2)或12【知识点】线段中点的有关计算【分析】本题考查了线段的和差以及中点的有关运算．（1）现根据中点的意义得到，，再由线段的和关系，即可作答；（2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可．【详解】（1）∵线段，是线段的中点，∴，∵是线段的中点，∴，∴；（2）∵，∴，当点在点左侧时：；当点在点右侧时：．综上：或12．【变式12-3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，点是线段上一点，、分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．(1)下面是小丽的解答过程，请你补充完整．解答过程66 因为点、分别是线段、的中点，所以，①　　．②①②得，　　　　　　．(2)小丽进行题后反思，提出新的问题：如果点O运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化?请你画出示意图，并说明理由．【答案】(1)，，，6(2)不会发生变化，画出示意图见解析，理由见解析【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算【分析】本题考查了线段中点的定义，和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）因为点是线段的中点，所以，，已知，可得的长；（2）点运动到线段的延长线上，此时，可得的长，观察的长度是否变化．【详解】（1）解：点、分别是线段、的中点，，①，②①②得，，故答案为：，，，6；（2）解：没有发生变化示意图为：点、分别是线段、的中点，，①，②①②得，，没有发生变化，．【变式12-4】（23-24七年级上·江苏常州·期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足，则称点66 C是点A关于点B的“半距点”．如图1，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，．(1)．；(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度．【答案】(1)4；12或4(2)或【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、两点间的距离【分析】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分情况讨论．（1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，然后分两种情况，求解即可；（2）根据点G是线段的中点，结合（1）分两种情况即可求得线段的长度．【详解】（1）解：∵点P是点M关于点N的“半距点”，．∴，若点P在射线上，；若点P在线段上，；综上所述，或4；故答案为：4；12或4（2）解：若点P在射线上，∵点G是线段的中点，∴，∴；若点P在线段上，∵点G是线段的中点，∴，∴；综上所述，线段的长度为或．66 【考点题型十三】与余角、补角有关的计算【例13】（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分．(1)求的度数；(2)判断与是否互余，并说明理由．【答案】(1)(2)是，理由见解析【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算【分析】本题考查与角平分线有关的计算：（1）角平分线求出，平角求出即可；（2）求出与的度数，根据余角的定义，进行判断即可．【详解】（1）解：∵，平分，∴，∴；（2）是，理由如下：∵，平分，∴，∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴与互余．66 【变式13-1】（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）．(1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上，①请找出图中与相等的一个角，并说明理由；②若的度数比的度数的一半小，求的度数．(2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数．【答案】(1)①，理由见解析；②；(2)．【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算【分析】题目主要考查角度的计算，一元一次方程的应用，角平分线的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）①根据等角的补角相等即可得出结果；②设，则，根据题意列出方程求解即可；（2）根据角平分线得出，结合图形进行等量代换求解即可．【详解】（1）解：①，∵，∴；②设，则，∴，∴，，∴；（2）∵分别平分与，∴，66 ∴．【变式13-2】（22-23七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，与互余，平分．(1)若，则　　，　　；(2)设，，请探究与之间的数量关系．【答案】(1)；(2)【知识点】与余角、补角有关的计算【分析】本题考查的是余角和补角的概念和性质，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．（1）根据互余的概念求出，根据角平分线的定义求出，结合图形计算即可；（2）根据互余的概念用表示，根据角平分线的定义求出，结合图形列式计算即可．【详解】（1）与互余，，，平分，，，故答案为：；；（2），且与互余，，平分，66 解得，．【变式13-3】（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分．(1)如图（1），若，则；(2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）；(3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由．【答案】(1)(2)；(3)．【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算【分析】本题主要考查的是余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用．（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论．【详解】（1）解：由已知得，∵平分，∴，∴；故答案为：；（2）解：由已知得，66 ∵平分，∴，∴；（3）解：结论：，理由如下：设，则，∵平分，∴，∵，∴，∴．【考点题型十四】与角平分线有关的计算问题【例14】（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）【答案】(1)(2)【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案；（2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案．66 【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．【变式14-1】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，若平分，平分，求的度数．【答案】(1)(2)【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．（1）由题意知，根据，计算求解即可；（2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知．66 ∴，∴．（2）解：∵平分，平分，∴，．∵，∴，∴，∴．【变式14-2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图1，直角三角板的直角顶点在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．  (1)当时，求的度数；(2)当时，求的度数；（用含的式子表示）；(3)当三角板绕点逆时针旋转到图2位置时，，其它条件不变，求的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了角平分线有关的角的计算，平角．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键．（1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求；（2）利用（1）中方法可求；（3）利用已知可求，然后利用（1）中的方法求得的度数．【详解】（1）解：，，66 ．平分，．；（2）解：，，．平分，．．（3）解：由题意：．平分，．．【变式14-3】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数；【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系．【答案】（1）；（2）；（3）．【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义，（1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解；（2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和66 的度数，再将两个角的度数相减即可求解；（3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系．【详解】解：（1），，．又平分，平分，，，；，；（2），，；．．又平分，，；（3）设，则．，，．，，．66