沪科版七年级数学上册期末复习考点清单 专题03 一元一次方程（5个考点清单 12种题型解读）

专题03一元一次方程（5个考点清单+12种题型解读）【清单01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫作方程．2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清单02】等式的基本性质等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。字母表达式为：．等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。字母表达式为：．细节剖析：等式的传递性【清单03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【清单04】一元一次方程的应用首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含75 x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．一元一次方程应用题解题一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．【考点题型一】一元一次方程的定义【例1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个75 【变式1-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为．【变式1-3】（23-24七年级上·天津津南·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则．【变式1-4】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则．【考点题型二】等式的基本性质【例2】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列等式变形正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式2-1】（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）下列变形正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式2-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式2-3】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式2-4】（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列说法正确的有（　　）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则；⑦若，则．．A．2个B．3个C．4个D．5个【考点题型三】已知方程的解求字母或代数式的值【例3】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则．75 【变式3-1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则．【变式3-2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式．【变式3-3】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么的值为．【变式3-4】（23-24七年级上·广东广州·期末）已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是．【考点题型四】解一元一次方程【例4】（24-25七年级上·全国·期末）解方程：(1)；(2)【变式4-1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）解下列方程：(1)；(2)．【变式4-2】（22-23七年级上·北京西城·期末）解方程：(1)；(2)．【变式4-3】（23-24七年级上·四川达州·期末）解下列方程：(1)(2)【变式4-4】（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程：(1)；(2)．【考点题型五】解一元一次方程错解复原75 【例5】（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程：解：________，得（第一步）去括号，得  （第二步）移项，得   （第三步）  合并同类项，得      （第四步）方程两边同除以，得   （第五步）请认真阅读上面的过程，解答下列问题：(1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______；(2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误；(3)请写出正确的解方程过程．【变式5-1】（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：解：______，得    第一步去括号，得    第二步移项，得    第三步合并同类项，得    第四步方程两边同除以2，得    第五步(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；(3)请写出正确解方程的过程．【变式5-2】（23-24七年级上·贵州黔南·期末）下面是小红解一元一次方程的主要过程，请仔细阅读小红的解题过程，解决下列问题．解：去分母，得：．①去括号，得．②移项，得．③合并同类项，得．④75 (1)小红在以上解方程过程中，从第_______步开始出现错误，出现的错误是_______．(2)请写出正确的解答过程．【变式5-3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．．，（第一步），（第二步），（第三步），（第四步）．（第五步）(1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________．②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．(2)任务二：请直接写出该方程的解．【变式5-4】（23-24七年级上·河南许昌·期末）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：．解：去分母，得，……………………第一步去括号，得，……………………第二步移项，得，……………………第三步合并同类项，得，……………………第四步系数化为1，得．……………………第五步(1)以上解题过程中，第一步是依据进行变形的；(2)第步开始出现错误，这一步错误的原因是；(3)请直接写出该方程正确的解是；(4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．75 【考点题型六】一元一次方程中新定义型问题【例6】（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义：若关于的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，，则方程为“差解方程”，根据题意，解决下面问题：(1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”；(2)关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值；(3)若是“差解方程”，试求k的值．【变式6-1】（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读与理解：定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；(2)若关于的方程与方程是互为“美好方程”，求的值．【变式6-2】（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________；(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值；(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．【变式6-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为10，我们就称这两个方程为“美满方程”．例如：方程和为“美满方程”．(1)若关于的方程与方程是“美满方程”，则__________；(2)已知一对“美满方程”的两个解的差为，若其中一个解为，求的值；(3)已知无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程都是“美满方程”，求的值．【变式6-4】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；75 (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；(3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值．【变式6-5】（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）我们定义：如果两个一元一次方程的解相加之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”．如：方程和为“和一方程”．(1)已知关于x的方程的解是最小的正整数，这个方程和以下的__________是“和一方程”（填序号）①    ②    ③(2)若关于x的方程与方程是“和一方程”，求m的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解．【考点题型七】一元一次方程的应用之配套问题【例7】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉．(1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？(2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下：购买的数量（盒）不超过60或刚好60超过60每盒单价（元）200180若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用．【变式7-1】（23-24七年级上·云南昭通·期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？【变式7-2】（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或75 个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件．(1)该车间男、女生各有多少人？(2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？【变式7-3】（23-24七年级上·四川成都·期末）列方程解应用题：某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的方桌与凳子．如果木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元．(1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？(2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了多少套A类型套桌？【变式7-4】（23-24六年级上·山东泰安·期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人．(1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数；(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？【考点题型八】一元一次方程的应用之工程问题【例8】（23-24七年级上·云南红河·期末）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加3名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？【变式8-1】（23-24六年级上·山东青岛·期末）已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？【变式8-2】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路共需要多少天完成？【变式8-3】（23-24七年级上·河南周口·期末）整理一批图书，若由一个人独做需要8075 个小时完成，假设每人的工作效率相同．(1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？(2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？【变式8-4】（23-24六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道．(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；(2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？【考点题型九】一元一次方程的应用之销售问题【例9】（23-24七年级上·四川达州·期末）某商家用54000元购进A、B两种商品共1000件，A、B两种商品的成本价分别为45元/件和60元/件．(1)求购进的A、B两种商品的数量；(2)已知A、B商品的售价为50元/件和90元/件，售出x件A商品和件B商品以后，剩余的商品打5折售完，若不论x为何值，总有B商品销售额比A商品销售额的2倍还多m元，求k和m的值．【变式9-1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元）(1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由；(2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价；(3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额．75 【变式9-2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元．(1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？(2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？【变式9-3】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的、两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表：款器材款器材进货价/（元/个）销售价/（元/个）(1)该专卖店用元购进了，两款器材共个，求两款器材分别购进多少个？(2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润元．求两款器材分别购进多少个？【变式9-4】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元．(1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______．(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？(3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过380元不优惠超过380元，但不超过500元售价打九折超过500元售价打八折按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？【考点题型十】一元一次方程的应用之方案问题75 【例10】（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：方案一：全部运动装八五折销售；方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售．(1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？(2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？【变式10-1】（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？【变式10-2】（22-23七年级上·重庆·期末）青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：甲网店：买一个篮球送一条跳绳；乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款．已知要购买篮球20个，跳绳x条．(1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示）(2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？(3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？【变式10-3】（23-2475 七年级上·贵州六盘水·期末）某校为纪念“一二·九运动”八十七周年，丰富校园文化生活，增强学生的身体素质，培养同学们的集体荣誉感和团结协作精神，特举办一场文体活动，全校各班都积极参与本次活动，为表彰在本次活动中表现出色的班级，学校将购买一些乒乓球和乒乓球拍作为活动奖励，经向两家商店进行价格咨询，了解情况如下：若该校需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）(1)当购买乒乓球多少盒时，甲、乙两家商店收费金额一样多？(2)当购买30盒乒乓球时，从节约角度考虑，学校应该去哪家商店购买？为什么？【变式10-4】（23-24六年级下·吉林长春·期末）某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每筒定价15元．“双11”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副球拍送两筒球；方案二：球拍和球都打九折销售．现某客户要在该网店购买球拍10副，球筒．(1)若该客户按方案一购买，需付款元；（用含的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款元；（用含的代数式表示）(2)当取何值时，两种方案价钱一样多？(3)当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？通过计算说明理由．【考点题型十一】一元一次方程的应用之电费和水费问题【例11】（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表：种类月租费本地通话费亲情卡18元/月0.1元/分钟校园卡0元/月0.3元/分钟(1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）；75 (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？【变式11-1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表：每户每月用水量水费/（元/立方米）不超过22立方米2.3超过22立方米且不超过30立方米的部分a超过30立方米的部分4.6(1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可）(2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米．(3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？【变式11-2】（23-24七年级下·广东梅州·期末）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．(1)若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？(2)写出当时与之间的表达式；(3)若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？【变式11-3】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下：一户居民一年用气量（单位：立方米）电价（单位：元/立方米）第档不超过立方米的部分第档立方米以上至立方米（含）部分第档立方米以上的部分(1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元．(2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）．(3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？【变式11-4】（23-24七年级下·江苏南京·期末）某地天然气收费方案如下：75 阶梯年用气量价格补充说明第一阶梯（含400）的部分3元/当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变．第二阶梯（含800）的部分4元/第三阶梯以上的部分5元/(1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元．(2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？(3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间．【考点题型十二】一元一次方程的应用之几何问题【例12】（23-24七年级上·吉林延边·期末）如图所示，数轴上点A，B表示的数分别为2，．(1)A，B两点之间的距离是；A，B两点的中点所表示的数是；(2)有一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点M为中点，设点P运动的时间为t，则点P表示的数为；点M表示的数为．①当t为何值的时候，满足？②若点N是的中点，在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出具体的数值；若变化，请说明理由．【变式12-1】（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．75 (1)若点M，N分别是线段的中点，求线段的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点同时出发，问点运动多少秒时，与相距5个单位长度？【变式12-2】（23-24六年级上·山东淄博·期末）【知识回顾】我们知道：数轴上某点表示的数是5，此点向右平移2个单位长度，表示的数是7；此点向左平移2个单位长度，表示的数是3．(1)若数轴上点A表示的数是，则在数轴上距离A点5个单位长度的点表示的数是__________．(2)若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是__________，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是___________．（用字母表示）(3)假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是____________和____________．（用字母t表示）(4)在（3）条件下，当t为何值时，N点追上M点．【变式12-3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图1，P点从点开始以2厘米/秒的速度沿的方向移动，点从点开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米，如果P、Q同时出发，用(秒)表示移动时间．(1)如图1，若在线段上运动，在线段上运动，当________秒时，；(2)如图2，点在上运动，试求出为何值时，三角形的面积等于三角形面积的；(3)如图3，当点到达点时，P、Q两点都停止运动，试求当为何值时，线段的长度等于线段的长的．【变式12-4】（23-24七年级下·浙江丽水·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米，75 为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为厘米/秒，设点的运动时间为秒．(1)当点在AB边上运动时，请用含，的代数式表示的长；(2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成：两部分；(3)连结，，DE，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，之间的关系式．【变式12-5】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分P和阴影部分．已知，．10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为．(1)每个小长方形纸片较长一边的长度是______（用含a的式子表示）；(2)若图中阴影部分P和阴影部分的周长相等．①试求a的值；②若将的长增加，如图2，此时阴影部分P增加的面积为，阴影部分增加的面积为，求的值．75 专题03一元一次方程（5个考点清单+12种题型解读）【清单01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫作方程．2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清单02】等式的基本性质等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。字母表达式为：．等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。字母表达式为：．细节剖析：等式的传递性【清单03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【清单04】一元一次方程的应用75 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．一元一次方程应用题解题一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．【考点题型一】一元一次方程的定义【例1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为175 的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意；B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；D、不是方程，不是一元一次方程，不符合题意；故选：A．【变式1-1】（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程；②是一元一次方程；③是一元一次方程；④，函数2个未知数，不是一元一次方程；⑤是一元一次方程．一元一次方程有：②③⑤共3个．故选：B【变式1-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为．【答案】【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案．【详解】解：∵是关于的一元一次方程，75 ∴且，解得：，故答案为：．【变式1-3】（23-24七年级上·天津津南·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则．【答案】3【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，∴且，解得，故答案为：3．【变式1-4】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则．【答案】0【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．【详解】解：∵若关于x的方程是一元一次方程，∴，∴，故答案为：0．【考点题型二】等式的基本性质【例2】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列等式变形正确的是（    ）A．若，则B．若，则75 C．若，则D．若，则【答案】C【知识点】等式的性质【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的基本性质判断即可．【详解】解：A．若，则，故A不符合题意；B．若，则，故B不符合题意；C．若，则，故C符合题意；D．若，且，则，故D不符合题意；故选：C【变式2-1】（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）下列变形正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【知识点】等式的性质【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式的基本性质逐项验证即可得到答案，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键．【详解】解：A、若，则，选项中的变形错误，不符合题意；B、若，则，选项中的变形错误，不符合题意；C、若，则，选项中的变形错误，不符合题意；D、若，则，选项中的变形正确，符合题意；故选：D．【变式2-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【知识点】等式的性质75 【分析】本题考查了等式的性质，掌握性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，是解题的关键．根据等式的性质解答．【详解】解：A、当时，等式不成立，故本选项错误．B、的两边同时乘以3，等式才成立，即，故本选项错误．C、的两边同时除以m，只有时等式才成立，即，故本选项错误．D、的两边同时减去m，等式仍成立，即，故本选项正确．故选：D．【变式2-3】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【知识点】等式的性质【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、若，则或，原说法错误，不符合题意；B、若，则，原说法错误，不符合题意；C、若，因为，则，原说法正确，符合题意；D、若，且，则，原说法错误，不符合题意；故选C．【变式2-4】（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列说法正确的有（　　）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则；⑦若，则．．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【知识点】等式的性质【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加或减同一个数或式子，等式仍成立，等式的性质275 ：等式两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可．【详解】解：，等式两边都乘，得，故①正确；当时，由不能推出，故②错误；，等式两边都乘，得，故③正确；当时，由不能推出，故④错误；不论为何值，，由能推出，故⑤正确；当时，由不能推出，故⑥错误；当，时，但，故⑦错误；即正确的个数是3，故选：B【考点题型三】已知方程的解求字母或代数式的值【例3】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则．【答案】2【知识点】方程的解【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【详解】解：将代入原方程得，解得：，∴a的值为2．故答案为：2．【变式3-1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则．【答案】【知识点】方程的解、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入，解得的值，即可作答．75 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解，∴把代入得解得∴故答案为：【变式3-2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式．【答案】5【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程的解【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出，然后将其整体代入求值．【详解】解：将代入原方程可得：，∴，故答案为：5【变式3-3】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么的值为．【答案】【知识点】已知字母的值，求代数式的值、方程的解【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入方程求出的值，进而求出代数式的值即可．【详解】解：把代入，得：，解得：，∴；故答案为：．【变式3-4】（23-24七年级上·广东广州·期末）已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是．【答案】或1【知识点】方程的解【分析】此题考查了一元一次方程的解，本题求、的思路是根据某数是方程的解，把代入方程75 ，求出的值，把的值代入关系式，求出的值，进而求出的值．【详解】解：将代入方程中，得．解得．将代入关系式中，得．解得或．所以的值为或1．【考点题型四】解一元一次方程【例4】（24-25七年级上·全国·期末）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出答案；（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出答案．【详解】（1）解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；（2）去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，系数化为1，得．【变式4-1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）解下列方程：75 (1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；【详解】（1）解：移项，合并同类项得，系数化为1得，；（2）解：去分母得，去括号得，移项，合并同类项得，系数化为1得，．【变式4-2】（22-23七年级上·北京西城·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键．（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案；（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案．75 【详解】（1）解：去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；（2）解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：．【变式4-3】（23-24七年级上·四川达州·期末）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的方法步骤有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键．（1）根据一元一次方程的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案；（2）根据一元一次方程的解法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案．【详解】（1）解：，，则，解得；（2）解：，，则，，解得．【变式4-4】（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程：75 (1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】（1）解：，去括号得，，移项，合并同类项得，，系数化为1得，；（2）解：，去分母得，，去括号得，，移项，合并同类项得，，系数化为1得，．【考点题型五】解一元一次方程错解复原【例5】（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程：解：________，得（第一步）去括号，得  （第二步）移项，得   （第三步）  合并同类项，得      （第四步）方程两边同除以，得   （第五步）请认真阅读上面的过程，解答下列问题：75 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______；(2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误；(3)请写出正确的解方程过程．【答案】(1)去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式(2)三(3)，过程见解析【知识点】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键．（1）根据等式的基本性质解答即可；（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式故答案为：去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式；（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误；故答案为：三；（3）解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．【变式5-1】（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：解：______，得    第一步去括号，得    第二步移项，得    第三步合并同类项，得    第四步75 方程两边同除以2，得    第五步(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；(3)请写出正确解方程的过程．【答案】(1)去分母(2)三(3)见解析【知识点】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键．（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，故答案为：去分母；（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，故答案为：三；（3）解：两边同乘6得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，两边同除以2，得．【变式5-2】（23-24七年级上·贵州黔南·期末）下面是小红解一元一次方程的主要过程，请仔细阅读小红的解题过程，解决下列问题．解：去分母，得：．①去括号，得．②移项，得．③合并同类项，得．④75 (1)小红在以上解方程过程中，从第_______步开始出现错误，出现的错误是_______．(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)①；漏乘常数项(2)见解析【知识点】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本题考查了去分母解一元一次方程（1）根据解方程的基本步骤，观察解答即可．（2）利用去分母法解方程即可．【详解】（1）根据解题步骤，得到第①步错误；主要错误是漏乘常数项，故答案为：①；漏乘常数项．（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得．【变式5-3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．．，（第一步），（第二步），（第三步），（第四步）．（第五步）(1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________．②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．(2)任务二：请直接写出该方程的解．【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为075 的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号(2)【知识点】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．（1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案；②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案；（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立，故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立；②第二步开始出现错误，原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；（2）解：去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化1，得：．【变式5-4】（23-24七年级上·河南许昌·期末）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：．解：去分母，得，……………………第一步去括号，得，……………………第二步移项，得，……………………第三步合并同类项，得，……………………第四步系数化为1，得．……………………第五步(1)以上解题过程中，第一步是依据进行变形的；75 (2)第步开始出现错误，这一步错误的原因是；(3)请直接写出该方程正确的解是；(4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】(1)等式的基本性质(2)一；去分母时常数项没有乘最简公分母12(3)(4)见解析【知识点】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本题主要考查了解一元一次方程．（1）根据等式的基本性质解答即可；（2）根据去分母的方法解答即可；（3）根据解一元一次方程的基本步骤即可解答；（4）结合解一元一次方程的经验，总结注意事项即可．【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；故答案为：等式的基本性质；（2）解：以上解题过程中从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时常数项没有乘最简公分母；故答案为：一；去分母时常数项没有乘最简公分母；（3）解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；故答案为：；（4）解：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“”号，括号内每一项都要变号；75 ③移项时，注意移动项的符号的变化．【考点题型六】一元一次方程中新定义型问题【例6】（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义：若关于的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，，则方程为“差解方程”，根据题意，解决下面问题：(1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”；(2)关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值；(3)若是“差解方程”，试求k的值．【答案】(1)不是(2)(3)【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题考查了解一元一次方程，理解“差解方程”的定义是解此题的关键．（1）求出方程的解，根据“差解方程”的定义判断即可得出答案；（2）根据“差解方程”的定义得出关于的方程，解方程即可得出答案；（3）由题意得出是方程的一个解，由定义得，从而得出，即，再分情况求解即可得出答案．【详解】（1）解：解得：，∵，∴方程不是“差解方程”；（2）解：∵一元一次方程是“差解方程”，∴由题意，得，∵，∴，∴；（3）解：∵，75 ∴是方程的一个解，∴，由定义得：，∴，∴，当，即时，由得出此时方程无解，则不存在，当，即时，，综上所述，．【变式6-1】（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读与理解：定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；(2)若关于的方程与方程是互为“美好方程”，求的值．【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”，理由见解析；(2)【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．（1）根据“美好方程”的定义进行判断即可；（2）先求出两个方程的解分别为：，，再根据关于的方程与方程是互为“美好方程”得出解关于的方程即可．【详解】（1）解：解方程的解为，解方程的解为，，方程与方程互为“美好方程”；（2）解：解方程的解为，解方程的解为，75 关于的方程与方程是互为“美好方程”，，．【变式6-2】（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________；(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值；(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．【答案】(1)3；(2)，；(3)．【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键．（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；（3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．【详解】（1）解：由题意得，故答案为：3．（2）解：与互为“反对方程”，，，解得，；（3）解：的“反对方程”为，由得，，由，得，与的解均为整数，与都为整数．也为整数，75 当时，，，都为整数；当时，，，都为整数，的值为．【变式6-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为10，我们就称这两个方程为“美满方程”．例如：方程和为“美满方程”．(1)若关于的方程与方程是“美满方程”，则__________；(2)已知一对“美满方程”的两个解的差为，若其中一个解为，求的值；(3)已知无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程都是“美满方程”，求的值．【答案】(1)12(2)6，4(3)1【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的综合应用【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“美满方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可．（1）解出和的解，再根据“美满方程”的定义，即可；（2）根据“美满方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可；（3）先解出的解，再根据“美满方程”的定义得出另一个方程的解，再代入计算即可．【详解】（1）解：∵，解得：，∵，∴，∵关于的方程与方程是“美满方程”，∴，∴．（2）∵“美满方程”的两个解的和为10，其中一个解为，∴另一个方程的解为：，75 ∵一对“美满方程”的两个解的差为，∴，或，解得：，∴或．（3）∵，∴，∴方程的解为：，∴，∴，∴，∵取任何有理数上式都成立，∴，解得：，∴．【变式6-4】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；(2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；(3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值．【答案】(1)(2)或(3)，【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的综合应用75 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可．（1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可；（2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可；（3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可．【详解】（1）∵，解得：，∵，∴，∵方程与方程是“和谐方程”，∴，∴．（2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，∴另一个方程的解为：，∴，解得：，∴或．（3）∵，∴，∴方程的解为：，∴，∴，∴，∵取任何有理数上式都成立，∴，75 解得：，∴，．【变式6-5】（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）我们定义：如果两个一元一次方程的解相加之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”．如：方程和为“和一方程”．(1)已知关于x的方程的解是最小的正整数，这个方程和以下的__________是“和一方程”（填序号）①    ②    ③(2)若关于x的方程与方程是“和一方程”，求m的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解．【答案】(1)③(2)(3)【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解【分析】本题考查一元一次方程的解，一元一次方程的求解方法（1）根据“和一方程”的定义进行判断即可；（2）求出这两个方程的解，再根据“和一方程”的定义列出关于m的方程求解即可；（3）根据“和一方程”的定义求出k的值，再求解即可．【详解】（1）解：∵关于x的方程的解是最小的正整数，即为1；则它的“和一方程”的解为0；而方程①的解为，故①不符合题意；方程②的解为，故②不符合题意；方程③的解为，故③符合题意故答案为：③；（2）解：方程得，75 由题意可得是关于的方程的解，所以，所以；（3）解：解方程得，由题意可得是关于的方程的解，因为关于的一元一次方程，可变形为，所以，所以，【考点题型七】一元一次方程的应用之配套问题【例7】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉．(1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？(2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下：购买的数量（盒）不超过60或刚好60超过60每盒单价（元）200180若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用．【答案】(1)制作了1200盒月饼．(2)当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元．【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键．75 （1）设制作了盒月饼，根据“制作若干盒月饼共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式即可．【详解】（1）解：设制作了盒月饼．根据题意得，解得．答：制作了1200盒月饼．（2）解：当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元．【变式7-1】（23-24七年级上·云南昭通·期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？【答案】用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设用张制盒身，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设用张制盒身．（张）答：用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒．【变式7-2】（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件．(1)该车间男、女生各有多少人？(2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？【答案】(1)男生有，女生有人75 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程；（1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可；（2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解；【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人，根据题意得：，解得：，则人，答：该车间男生有，女生有人；（2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据题意得：，解得：，则，答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件；【变式7-3】（23-24七年级上·四川成都·期末）列方程解应用题：某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的方桌与凳子．如果木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元．(1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？(2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了多少套A类型套桌？【答案】(1)全部卖出可以卖800000元(2)制作了160套A类型套桌【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．（1）设用的木料制作方桌，根据工厂现有木料，A75 类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，列出方程求出的值，进而求出A类型套桌的套数，再乘以售价进行计算即可；（2）设制作了套A类型套桌，则制作了套B类型套桌，根据题意，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：设用的木料制作方桌，则用的木料制作凳子，由题意，得：，解得：，∴可制作方桌：（个），∴制作套类型套桌，全部卖出可以卖：（元）；答：全部卖出可以卖800000元；（2）设制作了套A类型套桌，则制作了套B类型套桌，由题意，得：，解得：；答：制作了160套A类型套桌．【变式7-4】（23-24六年级上·山东泰安·期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人．(1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数；(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为500人(2)该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为人，根据生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设安排m人生产A，则安排人生产B，根据大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B75 组成且每天生产的盲盒正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设生产B的人数为x人，则生产A的人数为人，于是，解得：．（人），答：生产盲盒A的工人人数为500人．（2）解：设安排m人生产A，则安排人生产B，于是，解得：，（人），答：该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套．【考点题型八】一元一次方程的应用之工程问题【例8】（23-24七年级上·云南红河·期末）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加3名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？【答案】应先安排5人工作【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意，设应先安排x人工作，则x人先做完成这项工作的，增加3人与他们一起做，完成这项工作的，由相等关系：x人先做完成的工作增加3人与他们一起做，完成的工作，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【详解】解：设应先安排x老师整理，，解得，，答：应先安排5人工作．【变式8-1】（23-24六年级上·山东青岛·期末）已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？75 【答案】小时【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．把水池的蓄水量看作单位“1”，计算出每小时的进水量、出水量，设注满水还需要x小时，根据“进水管先打开2小时，再同时打开两管至注满水”即可列出方程，求解即可解答．【详解】解：进水管每小时的进水量为，出水管每小时的出水量为，设注满水还需要x小时，根据题意，得，解得，答：注满水池还需要小时．【变式8-2】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路共需要多少天完成？【答案】修好这条公路一共需要75天完成．【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出方程成为解题的关键．由题意可知甲、乙两工程队的工作效率分别为，设修好这条公路共需要y天，根据工作总量是单位“1”列出方程即可求解．【详解】解：设修好这条公路共需要y天，由题意可得：，解得：．答：修好这条公路一共需要75天完成．【变式8-3】（23-24七年级上·河南周口·期末）整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同．(1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？(2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？75 【答案】(1)再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成(2)应该安排6人先工作【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；（1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，根据各部分的工作量之和等于1，再建立方程求解即可；（2）设应该安排x人先工作，根据各部分的工作量之和等于，再建立方程求解即可；【详解】（1）解：设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得：，解得：答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成；（2）解：设应该安排x人先工作，可得：，解得：，答：应该安排6人先工作．【变式8-4】（23-24六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道．(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；(2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米(2)应选择方案一【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识点，明确题意、正确的列出一元一次方程是解答本题的关键．（1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，然后根据题意列方程解答即可；75 （2）先分别求出甲、乙队工人一天可铺设管道的长度，再分别按两种方案求得总费用，最后比较即可解答．【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为米，根据题意，得，解这个方程，得．所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米．（2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：．方案一需要天数：．方案一需要费用：．每名乙队工人每天铺设管道米数：．方案二需要费用天数：．方案二需要费用：．因为，所以，应选择方案一．【考点题型九】一元一次方程的应用之销售问题【例9】（23-24七年级上·四川达州·期末）某商家用54000元购进A、B两种商品共1000件，A、B两种商品的成本价分别为45元/件和60元/件．(1)求购进的A、B两种商品的数量；(2)已知A、B商品的售价为50元/件和90元/件，售出x件A商品和件B商品以后，剩余的商品打5折售完，若不论x为何值，总有B商品销售额比A商品销售额的2倍还多m元，求k和m的值．【答案】(1)购进A种商品400件，则购进B种商品600件(2)，【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题．（1）设购进A种商品x件，根据用54000元购进A、B两种商品共1000件列方程即可解得答案；（2）根据B商品销售额比A商品销售额的2倍还多m元得75 ，通过整理得到，根据题意得到，，从而可得答案．【详解】（1）解：设购进A种商品x件，则购进B种商品件，根据题意得：，解得，，∴购进A种商品400件，则购进B种商品600件；（2）根据题意得：，整理得：，∵不论x为何值，总有B商品销售额比A商品销售额的2倍还多m元，，，，．【变式9-1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元）(1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由；(2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价；(3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额．【答案】(1)选择活动一更合算，理由见解析(2)300元(3)最优惠的付款方法是上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式，最优惠的付款金额为596元【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)75 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，列出方程．（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；（2）设一件这种服装的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；（3）根据题意得出“最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式”，再进行计算即可；【详解】（1）解：（元），（元），，∴选择活动一更合算；（2）解：设这件服装的原价为x元，若原价少于200元时，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等；∴这件服装价格在200元以上，400元以下．，解得，∴这件服装的原价是300元；（3）解：，，最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式，需付款的金额为：（元），答：最优惠的付款金额为596元．【变式9-2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元．(1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？(2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？【答案】(1)甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元(2)乙种商品每件的进价是800元【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题是关键是：（1）设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是75 元．再根据等量关系“参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元，”建立方程，即可解题；（2）设乙种商品每件的进价是m元，根据“这次促销活动中乙种商品仍可获利”建立方程，即可解题．【详解】（1）解：设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是元，根据题意，得，解得，∴，答：甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元；（2）解：设乙种商品每件的进价是m元，根据题意，得，解得，答：乙种商品每件的进价是800元．【变式9-3】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的、两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表：款器材款器材进货价/（元/个）销售价/（元/个）(1)该专卖店用元购进了，两款器材共个，求两款器材分别购进多少个？(2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润元．求两款器材分别购进多少个？【答案】(1)购进款玩具个，款玩具个(2)购进款玩具个，则购进款玩具个【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．（1）设购进款玩具个，根据购进，两款玩具费用和列方程求解即可；（2）设购进款玩具个，根据单件利润=售价－进价和，两款玩具的利润和列方程求解即可．75 【详解】（1）解：设购进款玩具个，则购进款玩具个由题意得：解得：，答：购进款玩具个，款玩具个．（2）解：设购进款玩具个，则购进款玩具个由题意得：解得：答：购进款玩具个，则购进款玩具个．【变式9-4】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元．(1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______．(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？(3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过380元不优惠超过380元，但不超过500元售价打九折超过500元售价打八折按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？【答案】(1)，(2)购进甲种商品件．(3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件．【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题：75 （1）根据利润率的定义求解即可．（2）设购进甲商品件，根据题意可得．（3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况．【详解】（1）(元)故答案为：，．（2）设购进甲商品件．根据题意可得．解得．答：购进甲种商品件．（3）设打折前应付款为元．第一天，购买甲商品：当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．  当时，由，得，商品件数为(件)．  第二天，购买乙商品：当时，由，得(元)，舍去．当时，由，得，商品件数为(件)．  当时，商品件数为(件)，舍去．两天一共购买的商品件数为(件)．答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件．【考点题型十】一元一次方程的应用之方案问题【例10】（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需552075 元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：方案一：全部运动装八五折销售；方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售．(1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？(2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？【答案】(1)该班购买的男款运动装套．(2)按方案二购买更合算【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可．（2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可．【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得答：该班购买的男款运动装套．（2）按方案一购买需：（元）按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装（元）∵∴按方案二购买更合算．【变式10-1】（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？75 (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟(3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用)【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键．（1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可；（2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可；（3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案．【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元），答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元；（2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟，则，解得，答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟；（3）解：设通话时间是分钟，由题意可得，解得，当通话时间为400分钟时，（元），（元），答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元．【变式10-2】（22-23七年级上·重庆·期末）青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：75 甲网店：买一个篮球送一条跳绳；乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款．已知要购买篮球20个，跳绳x条．(1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示）(2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？(3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？【答案】(1)①；②(2)在甲网店购买较为合算(3)购买跳绳为104条时，两家网店付款相同【知识点】列代数式、已知字母的值，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用)【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键．（1）根据甲、乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可；（2）把代入两个代数式计算，得出结论；（3）根据在两家网店付款相同列方程求解即可．【详解】（1）解：依题意得：在甲网店购买需付款：；在乙网店购买需付款：；故答案为：；；（2）解：当时，若在甲网店购买，需付款，若在乙网店购买，需付款：．此时，在甲网店购买较为合算．（3）解：由．解得：．即购买跳绳为104条时，两家网店付款相同．【变式10-3】（23-2475 七年级上·贵州六盘水·期末）某校为纪念“一二·九运动”八十七周年，丰富校园文化生活，增强学生的身体素质，培养同学们的集体荣誉感和团结协作精神，特举办一场文体活动，全校各班都积极参与本次活动，为表彰在本次活动中表现出色的班级，学校将购买一些乒乓球和乒乓球拍作为活动奖励，经向两家商店进行价格咨询，了解情况如下：若该校需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）(1)当购买乒乓球多少盒时，甲、乙两家商店收费金额一样多？(2)当购买30盒乒乓球时，从节约角度考虑，学校应该去哪家商店购买？为什么？【答案】(1)购买乒乓球40盒时，甲、乙两家商店收费金额一样(2)当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买；理由见解析【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．（1）设购买乒乓球x盒时，甲、乙两家商店收费金额一样，根据甲、乙两家商店收费金额一样多，列出方程，解方程即可；（2）分别求出当购买30盒乒乓球时，两家商店需要的金额，然后进行比较即可．【详解】（1）解：设购买乒乓球x盒时，甲、乙两家商店收费金额一样，依题意可列方程得：，解得，，答：购买乒乓球40盒时，甲、乙两家商店收费金额一样；（2）解：当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买；理由如下：当购买30盒乒乓球时，甲商店需支付元，乙商店需支付元，则：，，因为，所以当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买．75 【变式10-4】（23-24六年级下·吉林长春·期末）某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每筒定价15元．“双11”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副球拍送两筒球；方案二：球拍和球都打九折销售．现某客户要在该网店购买球拍10副，球筒．(1)若该客户按方案一购买，需付款元；（用含的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款元；（用含的代数式表示）(2)当取何值时，两种方案价钱一样多？(3)当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？通过计算说明理由．【答案】(1)，(2)(3)先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球最省钱【知识点】列代数式、已知字母的值，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用)【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．（1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可；（2）两种方案解析式相等时，解答即可得到答案；（3）综合两种优惠方案计算，再与方案一和方案二进行比较即可．【详解】（1）解：根据题意，得：方案一：元，方案二：元，故答案为：，；（2）解：依题意得：解得，当取时，两种方案价钱一样多；（3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元），先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球，75 则需（元）；∵∴先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球最省钱．【考点题型十一】一元一次方程的应用之电费和水费问题【例11】（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表：种类月租费本地通话费亲情卡18元/月0.1元/分钟校园卡0元/月0.3元/分钟(1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）；(2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？【答案】(1)；(2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键．（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意建立方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元，故答案为：；（2）根据题意得：解得：答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样．【变式11-1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表：每户每月用水量水费/（元/立方米）75 不超过22立方米2.3超过22立方米且不超过30立方米的部分a超过30立方米的部分4.6(1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可）(2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米．(3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？【答案】(1)46(2)用水在立方米之间的收费标准3元立方米；(3)他家8月份的月水量是35立方米．【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键．（1）因为20立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可；（2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出的值；（3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决．【详解】（1）解：（元）．故答案为：46；（2）解：根据题意，得，解得．答：用水在立方米之间的收费标准3元立方米；（3）解：设他家8月份的月水量是立方米．，，可列方程：，解得．75 答：他家8月份的月水量是35立方米．【变式11-2】（23-24七年级下·广东梅州·期末）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．(1)若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？(2)写出当时与之间的表达式；(3)若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？【答案】(1)元(2)(3)立方米【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查列关系式，一元一次方程，解决本题的关键是读懂题意，列出表达式.（1）根据题意列出算式求解即可；（2）根据题意列出关系式即可；（3）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）根据题意得：小丽家该季度应交煤气费为(元)；（2）当时,；（3）解：设小丽家第一季度用气立方米，因为所以由题意，得解得答：小丽家第一季度用气立方米.【变式11-3】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下：一户居民一年用气量（单位：立方米）电价（单位：元/立方米）第档不超过立方米的部分第档立方米以上至立方米（含）部分75 第档立方米以上的部分(1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元．(2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）．(3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？【答案】(1)(2)(3)立方米【知识点】列代数式、整式加减的应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的应用，（1）根据第档的价格列式计算即可；（2）根据，结合各阶梯价格列式计算即可；（3）设该户年用气量为立方米，根据“实际缴纳天然气费元”确定的范围，然后列方程求解即可；正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．【详解】（1）解：∵小明家年用气立方米，且，∴小明家年应缴费：（元），故答案为：；（2）∵某户年用气量为立方米，且，∴应缴费：（元），故答案为：；（3）解：当用天然气立方米时，费用为：（元），当用天然气立方米时，费用为：（元），∵，∴缴纳天然气费元，使用量大于且小于立方米，设该户年用气量为立方米，依题意，得：，解得：，∴该户年实际用气量为立方米．75 【变式11-4】（23-24七年级下·江苏南京·期末）某地天然气收费方案如下：阶梯年用气量价格补充说明第一阶梯（含400）的部分3元/当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变．第二阶梯（含800）的部分4元/第三阶梯以上的部分5元/(1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元．(2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？(3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间．【答案】(1)1600，1500(2)甲、乙两户分别用天然气(3)6【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键．（1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：；（2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为(，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可；（3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和475 人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案．【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人，∴需缴纳燃气费用：(元)．∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人，∴需缴纳燃气费用：(元)．故答案为：1600，1500；（2）设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为．∵甲户年用气量大于乙户年用气量，，解得：．，，解得：．，答：甲、乙两户年用气量分别是；（3）设3人间有间，则4人间有间．∵为正整数，∴或．∴人间有4间或1间．3人间煤气用量为：，4人间煤气用量为：．3人间2间，4人间4间．需缴纳燃气费用：(元)．3人间6间，4人间1间．需缴纳燃气费用：(元)．，∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间．故答案为：6．75 【考点题型十二】一元一次方程的应用之几何问题【例12】（23-24七年级上·吉林延边·期末）如图所示，数轴上点A，B表示的数分别为2，．(1)A，B两点之间的距离是；A，B两点的中点所表示的数是；(2)有一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点M为中点，设点P运动的时间为t，则点P表示的数为；点M表示的数为．①当t为何值的时候，满足？②若点N是的中点，在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出具体的数值；若变化，请说明理由．【答案】(1)10，；(2)，；①当的值为或10时，；②不变，线段的长度是5【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数【分析】此题重点考查数轴，一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键．（1）由，，得，两点之间的距离是10；，两点的中点所表示的数是，于是得到问题的答案；（2）由动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动可知，点表示的数是，中点表示的数是，①分两种情况，一是点在点左侧，则，二是点在点右侧，则，解方程求出相应的值即可；②的中点表示的数是，中点表示的数是，则，可见线段的长度不变，等于5．【详解】（1）解：数轴上点，表示的数分别为2，，，，75 ，两点之间的距离是10；，两点的中点所表示的数是，故答案为：10，．（2）解：动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点表示的数是，点为中点，，点表示的数是，故答案为：，．①当点在点左侧时，由，得，解得；当点在点右侧时，由，得，解得，当的值为或10时，．②不变，点是的中点，点表示的数是：，，，线段的长度是5．【变式12-1】（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．(1)若点M，N分别是线段的中点，求线段的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点同时出发，问点运动多少秒时，与相距5个单位长度？【答案】(1)75 (2)点运动3秒或秒时，与相距5个单位长度【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离【分析】本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，关键是熟练掌握行程问题中的路程=速度×时间的运用．（1）根据点表示的数为8，且，得出B点表示的数，再利用中点的定义和求出；（2）设秒时，与相距5个单位长度，根据等量关系，列出方程求解即可．【详解】（1）解：点表示的数为8，且，B点表示的数是．点分别是线段的中点，表示的数是，．（2）解：设秒时，与相距5个单位长度．第一种情况：P与Q在相遇前相距5个单位长度．，解得，第二种情况：与在相遇后相距5个单位长度．，解得，答：点运动3秒或秒时，与相距5个单位长度．【变式12-2】（23-24六年级上·山东淄博·期末）【知识回顾】我们知道：数轴上某点表示的数是5，此点向右平移2个单位长度，表示的数是7；此点向左平移2个单位长度，表示的数是3．(1)若数轴上点A表示的数是，则在数轴上距离A点5个单位长度的点表示的数是__________．(2)若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是__________，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是___________．（用字母表示）(3)假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是____________和____________．（用字母t表示）(4)在（3）条件下，当t为何值时，N点追上M点．【答案】(1)或275 (2)，(3)；(4)4【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】（1）结合材料，分两种情况：点在距离点左侧或右侧5个单位长度，以此求解即可．（2）仿照（1）解答即可．（3）根据点M，N表示的数是分别为，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合M起始数为，N起始数为6，故运动秒后点M表示的数，点N表示的数为，解答即可．（4）根据秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合题意，得到方程求解即可．本题考查了数轴以及数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理清题意，正确找出等量关系列出方程是解题关键．【详解】（1）解：当点在点左侧时，距离点A5个单位长度的点表示的数是；当点在点右侧时，距离点A5个单位长度的点表示的数是；故答案为：或2；（2）解：数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是．故答案为：，．（3）解：∵点M，N表示的数是分别为，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合M起始数为，N起始数为6，故运动秒后点M表示的数，点N表示的数为，故答案为：，．（4）解：根据秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合题意，得到方程，解得，故运动4秒后追上．【变式12-3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图1，P点从点开始以2厘米/秒的速度沿75 的方向移动，点从点开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米，如果P、Q同时出发，用(秒)表示移动时间．(1)如图1，若在线段上运动，在线段上运动，当________秒时，；(2)如图2，点在上运动，试求出为何值时，三角形的面积等于三角形面积的；(3)如图3，当点到达点时，P、Q两点都停止运动，试求当为何值时，线段的长度等于线段的长的．【答案】(1)4(2)秒时，三角形的面积等于三角形面积的(3)t为秒或16秒时，【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．（1）当在线段上运动，在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，由，可得方程，解方程即可．（2）当在线段上时，厘米，则厘米，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题．（3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，Q在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可．【详解】（1）解：当在线段上运动，在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，75 即秒时，，故答案为：4；（2）解：当在线段上时，厘米，则厘米，∵三角形的面积等于三角形面积的，解得：．即秒时，三角形的面积等于三角形面积的．（3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒，①当时，在线段上运动，在线段上运动，厘米，厘米，则厘米，厘米，，，解得(不合题意舍去)．②当时，在线段上运动，在线段上运动，厘米，则厘米，厘米，∵，，解得；③当时，在线段上运动，在线段上运动时，则厘米，厘米，，，75 解得，综上所述，为秒或16秒时，．【变式12-4】（23-24七年级下·浙江丽水·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为厘米/秒，设点的运动时间为秒．(1)当点在AB边上运动时，请用含，的代数式表示的长；(2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成：两部分；(3)连结，，DE，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，之间的关系式．【答案】(1)(2)秒或秒时，直线把长方形的周长分成：两部分(3)，之间的关系式为或或【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识；（1）根据即可求出；（2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解；（3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解．【详解】（1）解：当点在AB边上运动时，，，．（2）当点在AB边上运动时，，即，；当点在边上运动时，，75 即，；秒或秒时，直线把长方形的周长分成：两部分．（3）当点在AB边上时，，整理得，，故不成立；当点在边上时，由，得；当点在CE边上时，由，得；当点在CD边上时，由，得；综上，，之间的关系式为或或．【变式12-5】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分P和阴影部分．已知，．10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为．(1)每个小长方形纸片较长一边的长度是______（用含a的式子表示）；75 (2)若图中阴影部分P和阴影部分的周长相等．①试求a的值；②若将的长增加，如图2，此时阴影部分P增加的面积为，阴影部分增加的面积为，求的值．【答案】(1)(2)①6，②【知识点】列代数式、整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题主要考查列代数式、整式的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是找到图形中等量和变量，（1）设每个小长方形纸片较长一边的长度是，则，即可求出用a表示的y的值；（2）①根据题意得，，即可求得和，可表示出P的阴影部分周长、Q的阴影部分周长，列出等量关系即可求得a；②根据题意可得阴影部分P长度不变，宽度增加10，则增加的面积，阴影部分长度不变，宽度增加10，则增加的面积，代入求解即可．【详解】（1）解：设每个小长方形纸片较长一边的长度是，∵，，∴，故答案为：．（2）①如图，∵，，∴，，则P的阴影部分周长为，75 Q的阴影部分周长为，∵阴影部分P和阴影部分的周长相等，∴，解得；②根据题意可知，阴影部分P长度不变为，宽度增加10，则增加的面积，阴影部分长度不变为，宽度增加10，则增加的面积，则．75