初中数学新人教版七年级下册10.2.2第2课时　用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组教案（2025春）

10.2.2　加减消元法第2课时　用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组【素养目标】1.会用加减消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.2.能运用合适的方法解二元一次方程组，体验先观察，再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.【教学重点】用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.【教学难点】方程组中未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，如何运用等式的性质对方程进行适当变形，从而实现加减消元的灵活运用.【教学过程】活动一：悬疑设置，新课导入[设计意图]引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课中学习用加减法求解进行铺垫.(1)观察方程：①x＋6y＝0，2x－6y＝9；②3x＋5y＝7，3x－4y＝－11；③2x＋7y＝10，4x－5y＝6.①②和③有什么不同？①②的两个方程中都有一个未知数的系数相等或互为相反数，③的两个方程中未知数的系数不具备这种特征.(2)如何用加减法解方程组①②？试着做一做.解方程组①，得x＝3，y＝－12.解方程组②，得x＝－1，y＝2.像③这样的方程组也可以用加减法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容.[教学建议]与学习用代入法求解稍复杂的二元一次方程组时类似，以设问的方法导入新课，教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征.活动二：交流合作，探究新知[设计意图]通过例题逐步设问，引导学生利用加减法解稍复杂的二元一次方程组.探究点1　用加减法解稍复杂的二元一次方程组例1　(教材P96例6)用加减法解方程组3x－2y＝4，①7x＋4y＝18.②问题1　观察方程组两个方程中未知数的系数，这个方程组能否直接加减消元？这两个方程中没有同一个未知数的系数相等或互为相反数，直接加减这两个方程不能消元.问题2　怎样对方程①②变形，才能使得这两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数，从而用加减法求解呢？观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数.问题3　根据你在问题2中的结论，写出解答过程.解：①×2，得6x－4y＝8.③(1)变形②＋③，得13x＝26，(2)加减x＝2.(3)求解把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝1.(5)写解问题4　如果用加减法消去x，应该怎样解？解得的结果一样吗？与消去y相比，哪个计算更简便？如果用加减法消去x，需要对两个方程都进行变形，使两个方程中x的系数相等，可以①×7，②×3.解：①×7，得21x－14y＝28.③②×3，得21x＋12y＝54.④(1)变形④－③，得26y＝26，(2)加减3 y＝1.(3)求解把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x＝2.(4)回代所以这个方程组的解是x＝2，y＝1.(5)写解解得的结果一样.用加减法消去y比用加减法消去x计算更简便.归纳总结：解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为先消去哪个未知数而产生变化.一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个.[对应训练]教材P98练习第1题.[教学建议]这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导，要使学生理解加减消元的本质是利用等式的性质，将未知数的系数化为相等或互为相反数，从而将方程组演变为上节课所学的形式.通过整个探究过程，使学生发现规律：消去哪个未知数，就找寻两个方程中该未知数系数的最小公倍数.[设计意图]通过运用加减法解决实际问题，强化解方程组的技巧和应用意识.探究点2　加减法解二元一次方程组的实际应用例2　(教材P97例7)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？问题1　写出题中所包含的相等关系.相等关系1：5头牛的价格＋2只羊的价格＝10两金；相等关系2：2头牛的价格＋5只羊的价格＝8两金.问题2　设每头牛值金x两，每只羊值金y两，请用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系.5x＋2y＝10，2x＋5y＝8.问题3　请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用加减法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的解答.解：根据问题2中的设元，列得方程组5x＋2y＝10，①2x＋5y＝8.②①×2，得10x＋4y＝20.③②×5，得10x＋25y＝40.④④－③，得21y＝20，y＝2021.把y＝2021代入①，得x＝3421.所以这个方程组的解是x＝3421，y＝2021.答：每头牛和每只羊分别值金3421两和2021两.[对应训练]教材P98练习第2题.[教学建议]教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程.注意提醒学生，在用加减消元法解方程组时，通常要先将得到的二元一次方程组整理成ax＋by＝m，cx＋dy＝n的形式，再求解.在关于例题的教学中，也可让学生上台板演，自己尝试用加减法消去y，并计算出结果，看是否一致.活动三：交流新知，灵活运用[设计意图]强化学生对二元一次方程组解法的认识，能够选择合适的方法解方程组.(教材P98思考)(1)怎样解下面的方程组？问题1　观察上面的两个方程组，你分别选择用什么方法求解？为什么？方程组Ⅰ中方程①中y的系数是1，选择用代入法；方程组Ⅱ3 中y的系数互为相反数，选择用加减法.问题2　方程组Ⅰ能直接用加减法求解吗？若不能，要如何变形才能使用加减法？不能.如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消去y，可以①×3－②×5.问题3　求出方程组的解.解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝0.4，x＝－1.把x＝－1代入③，得y＝3.5.所以这个方程组的解是x＝－1，y＝3.5.(Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2.把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5.所以这个方程组的解是x＝2，y＝0.5.(2)选择你认为简便的方法解习题10.1的第4题(“鸡兔同笼”问题).解：设笼中有鸡x只，兔子y只.根据题意，得x＋y＝35，2x＋4y＝94.①②①×2，得2x＋2y＝70.③②－③，得2y＝24，y＝12.把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23.所以这个方程组的解是x＝23，y＝12.答：笼中有鸡23只，兔子12只.[对应训练]1.用合适的方法解下列方程组：(1)3x－y＝2，6x－3y＝5；①②　　　(2)2x－5y＝－21，4x＋3y＝23.①②解：(1)由①，得y＝3x－2.③把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝13.把x＝13代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是x＝13，y＝－1.(2)①×2，得4x－10y＝－42.③②－③，得13y＝65，y＝5.把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2.所以这个方程组的解是x＝2，y＝5.2.某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品共180件，其中甲种商品每件进价60元，乙种商品每件进价50元.该商场购进甲、乙两种商品各多少件？解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件.根据题意，得x＋y＝180，60x＋50y＝10000.解这个方程组，得x＝100，y＝80.答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件.[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.加减法和代入法都是通过消元解方程组，对一个方程组用哪种方法解都可以，但是不同的解法在难度上会有差异，应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值不是1，且相同未知数的系数不成整数倍关系时，一般经过变形，利用加减法会使过程更简便.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能用加减法解稍复杂的二元一次方程组吗？你能用加减法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？2.对于一个二元一次方程组，你能选择最适合它的解法吗？【作业布置】1.教材P99习题10.2第3(3)(4)，6，7，10，12题.3