七年级数学（第三章 一次方程与方程组）3.4 二元一次方程组的应用（沪科版 学习、上课资料）

3.4二元一次方程组的应用第三章一次方程与方程组 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2列二元一次方程组解应用题的基本步骤列方程组解应用题的常见题型建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计 知1－讲感悟新知知识点列二元一次方程组解应用题的基本步骤11.基本思想方法(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程.关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组.(2)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等. 感悟新知知1－讲特别解读1.一般设几个未知数就列几个方程；2.设未知数和写答案时，都要写清单位名称. 感悟新知2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤审→设→找→列→解→答(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题；(2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)；(3)找：找出题意的两个等量关系；(4)列：根据等量关系列出方程组；知1－讲 感悟新知(5)解：解这个方程组，求出未知数的值；(6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案.知1－讲 知1－练感悟新知某船的载质量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载质量和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？例1 知1－练解法提醒列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的等量关系，正确地列出方程组.找等量关系的方法：(1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等； 知1－练(2)根据常见的数量关系，如体积关系、面积关系等，找等量关系；(3)挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；(4)借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. 知1－练感悟新知解题秘方：分析题目中已知量和未知量，找准题目中的等量关系，列出方程组解决问题.已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2)乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载质量为300吨；(4)船的容积为1200立方米.未知量：甲、乙两种货物应各装的质量.若用x，y分别表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米. 知1－练感悟新知等量关系：“要充分利用这艘船的载质量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载质量”且“货物的总体积等于船的容积”，即： 知1－练解：设甲种货物应装x吨，乙种货物应装y吨.由题意，得解得答：甲、乙两种货物应各装150吨. 感悟新知知2－讲知识点列方程组解应用题的常见题型2根据在实际问题中等量关系的不同类型，归纳出应用题几种常见题型(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；(3)配套问题；(4)销售问题；(5)行程问题；(6)百分比问题；(7)古代算术问题；(8)图形面积问题. 知2－讲感悟新知特别提醒1.不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“售价”“标价”“折扣”等等.2.不同类型的问题中都有不同的等量关系. 感悟新知知2－练某中学七年级甲、乙两班共有93人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有的学生、乙班有的学生参加数学课外兴趣小组，则这两个班各有多少人？例2 知2－练方法点拨设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等.解和、差、倍、分问题的应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义. 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系. 知2－练感悟新知解：设甲班有x人，乙班有y人.根据题意，得解得答：甲班有48人，乙班有45人. 感悟新知知2－练有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位上的数字的9倍比原三位数去掉百位上的数字后的两位数小3，求原三位数.例3 知2－练感悟新知解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数字表示出数，根据题目中的数量关系列出方程组. 知2－练感悟新知解法提醒1.解决这类题的关键在于正确地用式子表示一个多位数：如一个三位数，当它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c时，这个三位数可表示为100a+10b+c.2.在数字问题中，应注意：(1)数字与数的区别，怎样用数字表示数；(2)根据数字的特点，求得的解应是小于10的非负整数(最高位上的数字不能为0). 知2－练感悟新知解：设原百位上的数字为x，原三位数去掉百位上的数字后的两位数为y.由题意得解得则4×100+39=439，即原三位数为439. 知2－练感悟新知技巧点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. 感悟新知知2－练某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做衣身3个或衣袖5只，现计划用132m这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？例4 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣配套规则列方程，如本题衣身与衣袖(恰好配套)的数量比是1∶2. 知2－练感悟新知解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.根据题意，得解得答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 知2－练感悟新知技巧点拨解决配套问题的技巧：制作的工件由若干零件组成，如a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品的件数∶乙产品的件数=a∶b，即b×甲产品的件数=a×乙产品的件数. 感悟新知知2－练某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售.某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元.例5 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣销售问题中，每个量的意义及各个量之间的数量关系，列出方程组，解决问题. 知2－练感悟新知解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元.根据题意，得化简，得解得答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元. 知2－练感悟新知方法点拨销售问题中进价、利润率、利润、售价、标价、折扣等之间的关系：售价=标价×折扣；售价=进价+利润；利润率=×100%. 感悟新知知2－练[期中·杭州]甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2小时后两车相遇．已知快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，动车与快车平均每小时各行驶多少千米？例6 知2－练感悟新知解题秘方：分析相遇问题中两车运动的路程、速度、时间，列出方程组，解决问题． 知2－练感悟新知解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米.依题意，得解得答：动车平均每小时行驶330千米，快车平均每小时行驶170千米． 知2－练感悟新知方法点拨1.“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于他们原来的距离；2.“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于他们原来的距离. 感悟新知知2－练某人骑自行车从A地出发去B地，先以每小时12km的速度下坡，再以每小时9km的速度在平路上行驶至B地，共用55min；回来时他以每小时8km的速度通过平路后，再以每小时4km的速度上坡至A地，共用1.5h.求A，B两地之间的路程.例7 感悟新知知2－练特别提醒解本题的关键是弄清从A地到B地的下坡路程，在从B地到A地时变为上坡路程，以时间为等量关系建立方程组. 知2－练感悟新知解题秘方：上、下坡路程的往返问题中，虽然每段路程不变，但速度发生了改变.根据时间总量列出方程组解决问题. 知2－练感悟新知解：设从A地到B地的下坡路程为xkm，平路路程为ykm.由题意，得解得x+y=3+6=9.答：A，B两地之间的路程为9km. 感悟新知知2－练[中考·百色]一艘轮船在相距90km的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6h，逆流航行比顺流航行多用4h．例8 知2－练感悟新知解法提醒顺流与逆流往返问题中，路程不变，理清往返的速度与时间，根据公式“路程=速度×时间”即可列出方程组.而在第(2)问中是时间相等，对比两次行程的路程和速度，再利用公式“时间=”列出方程. 知2－练感悟新知解题秘方：本题的关键是找到各速度之间的关系：顺速=静速+水速，逆速=静速-水速，再结合公式“路程=速度×时间”列方程(组)求解. 感悟新知知2－练(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；解：设该轮船在静水中的速度是xkm/h，水流速度是ykm/h，依题意，得解得答：该轮船在静水中的速度是12km/h，水流速度是3km/h. 知2－练感悟新知(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？ 感悟新知知2－练解：设甲、丙两地相距akm，则乙、丙两地相距(90－a)km.依题意，得=，解得a=．答：甲、丙两地相距2254km． 感悟新知知2－练一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长150m，运货火车长250m.若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需10s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车到车尾完全超过运货火车共需100s，试求两车的速度.例9 知2－练感悟新知解题秘方：这是一道特殊的相遇与追及结合的应用题.①两车相向而行是相遇问题，两车所行的路程总和=两车车长之和；②载客火车从后面追赶运货火车是追及问题，追及时两车所行的路程差=两车车长之和. 知2－练感悟新知解：设载客火车的速度为xm/s，运货火车的速度为ym/s.由题意，得解得答：载客火车的速度是22m/s，运货火车的速度是18m/s. 知2－练感悟新知技巧点拨行车问题属于特殊的行程问题，它与行程问题的主要区别如下：行程问题不考虑车本身的长，而行车问题要考虑车本身的长；与行车问题类似的还有过桥问题、过隧道问题等. 感悟新知知2－练在当地农业技术部门的指导下，李明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收.如图3.4-1是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话.请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的收入.(收入－投资=净赚)例10 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣今年与去年的收入和投资之间的数量关系解题. 知2－练感悟新知解：设李明家去年种植菠萝的收入为x元，投资为y元.由题意，得解这个方程组，得(1+35%)x=1.35×12000=16200.答：李明家今年菠萝的收入为16200元. 知2－练感悟新知方法点拨在此类等量关系比较复杂的题目中，仅靠想象寻找等量关系或列方程组时，难免会出现顾此失彼的错误，如果能借助于表格分析，将会帮助我们理清解题思路，列出比较便于解题的方程组.收入/元投资/元净赚/元去年xy8000今年(1+35%)x(1+10%)y11800 感悟新知知2－练[中考·镇江]《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．例11 知2－练感悟新知解题秘方：对比通俗的文字理解古代算术题的文字叙述，再找等量关系，列方程组解决问题.解：设共x人合伙买金，金价为y钱.依题意，得解得答：共33人合伙买金，金价为9800钱． 知2－练感悟新知另解设共x人合伙买金，根据总金额不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入(400x－3400)即可求出金价．设共x人合伙买金.依题意，得400x－3400=300x－100，解得x=33.400x－3400=400×33－3400=9800．答：共33人合伙买金，金价为9800钱. 感悟新知知2－练小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图3.4－2所示.小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图3.4－3所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是一个边长为2cm的小正方形，请你算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？例12 知2－练感悟新知解题秘方：根据拼图方式得到小长方形的长和宽之间的数量关系. 知2－练感悟新知解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm.依题意，得整理得③－④×3，得y=6.将y=6代入④，得x=10.因此，这个方程组的解是答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm. 知2－练感悟新知思路点拨在图3.4－2中大长方形的长有两种表示形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和.在图3.4－3中大正方形的边长也有两种表示形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长和一个小正方形的边长的和，由此可设未知数列出方程组求解. 感悟新知知3－讲知识点建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计3建立二元一次方程组的模型就是为了解决实际问题.对某个问题要进行判断或设计方案时，关键之处在于(1)要分析解决此问题时需要解决哪几个未知量，然后根据需要设未知数；(2)方程组的解是否符合实际问题的限制条件. 知3－讲感悟新知特别提醒设计方案问题应从不同角度去考虑，先考虑多种可能的方案，再根据结果合理地选择方案. 知3－练感悟新知[中考·遂宁]某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售.打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需要190元；购买2件甲商品和3件乙商品需要220元.而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比打折前少花多少钱？例13 知3－练感悟新知解题秘方：分析解决问题的关键点是求甲、乙两商品的单价，采取间接设未知数的方法解决问题. 知3－练感悟新知解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为y元.由题意，得解得购买10件甲商品和10件乙商品需要10×(50+40)=900(元).因为打折后实际花费735元，所以这比打折前少花900－735=165(元). 知3－练方法点拨对某个实际问题进行判断时，先分析解决问题的关键点，即需要设出的未知数是哪两个，然后根据题目中给出的等量关系列出二元一次方程组. 知3－练感悟新知某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，并且受季节条件的限制，公司例14 知3－练感悟新知必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司设计了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，并将没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天内完成. 知3－练感悟新知你认为哪种方案获利最多？为什么？ 知3－练感悟新知解题秘方：分别求出三种方案的利润，进行比较选择，求利润时，找出与利润相关的未知量去设未知数. 知3－练感悟新知解：(方案一)只对蔬菜进行粗加工，易知15天内能全部加工完，获利为4500×140=630000(元).(方案二)尽可能多地对蔬菜进行精加工，即精加工的质量为6×15=90(吨)，获利为7500×6×15+1000×(140－6×15)=725000(元).(方案三)设将x吨蔬菜进行精加工，y吨蔬菜进行粗加工. 知3－练感悟新知由题意，得解得所以获利为7500×60+4500×80=810000(元).因为630000<725000<810000，所以方案三获利最多. 知3－练感悟新知解法提醒解决优化方案问题，首先要列举出所有可能的方案，再按题中的要求分别求出每种方案的具体结果，从中选择最优方案. 二元一次方程组的应用建模设列二元一次方程组检验(答)实际问题解二元一次方程组