人教版七年级数学上册（第一章 有理数）1.3 有理数的加减法（学习、上课资料）

1.3有理数的加减法第一章有理数1.3.1有理数的加法 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2有理数的加法法则有理数的加法运算律 知识点有理数的加法法则知1－讲11.有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 知1－讲(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数.特别提醒●若a+b=0，则a=－b.●若a+b=0，且a≥0，b≥0，则a=b=0.例：若|m－1|+|n+2|=0，则有m－1=0，n+2=0. 知1－讲2.有理数加法运算的各种情况如下表和用字母表示符号绝对值同号两数相加取相同的符号相加若a﹥0，b﹥0，则a+b=+(|a|+|b|)若a﹤0，b﹤0，则a+b=－(|a|+|b|) 和用字母表示符号绝对值异号两数相加绝对值不相等取绝对值较大的加数的符号相减(大减小)若a﹥0，b﹤0，且|a|﹥|b|，则a+b=+(|a|－|b|)若a﹤0，b﹥0，且|a|﹥|b|，则a+b=－(|a|－|b|)互为相反数0若a﹥0，b﹤0，且|a|=|b|，则a+b=0一个数与0相加仍得这个数a+0=a知1－讲 知1－讲特别解读1.若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能：(1)两个都是正数；(2)一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；(3)一个是正数、一个是0. 知1－讲2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能：(1)两个都是负数；(2)一个是正数、一个是负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值；(3)一个是负数、一个是0. 知1－讲3.有理数加法运算的步骤(1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号，加数中是否有0.根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条.(2)确定和的符号.(3)确定和的绝对值. 知1－练例1计算下列各题.(1)(+20)+(+12)；(2)(－2)+(－1)；(3)(－30)+6；(4)+；(5)+；(6)0+.解题秘方：先确定两个数相加的类型，然后根据法则计算. 知1－练解：(1)原式=+(20+12)=+32；(2)原式=－(2+1)=－3；(3)原式=－(30－6)=－24；(4)原式=+=；(5)原式=0；(6)原式=－. 知1－练1-1.下列四个算式是小明作业中的四个题目：①(－5)+(－4)=9；②(－5)+6=－1；③+=－；④3.6+(－5.6)=－2.其中计算结果正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B 知1－练下列说法错误的是()A．两个有理数的和一定大于任何一个加数B．若两个有理数的和为正数，则这两个有理数中至少有一个是正数C．若两个有理数的和为0，则这两个有理数一定互为相反数D．异号两个有理数相加，和有可能是正数也有可能是负数或0例2 知1－练答案：A解题秘方：结合有理数的加法法则进行辨析.解：A.不正确，例如，(－3)+1=－2，(－3)+(－1)=－4，(－3)+0=－3. 知1－练特别提醒：有理数加法的结果：可正，可负，可为零，可能比两个加数都大，如3+5=8；可能比两个加数都小，如(－3)+(－5)=－8；可能比一个加数大，比另一个加数小，如(－3)+5=2. 知1－练2-1.如果两个数的和是正数，那么()A．这两个数都是正数B．一个为正，一个为零C．这两个数一正一负，且正数的绝对值较大D．这两个数必属于上面三种情况之一D 知1－练2-2.如果a+b>0，a>b，那么a一定是()A．正数B．非正数C．负数D．非负数A 知2－讲知识点21.有理数加法的运算律有理数的加法运算律运算律文字叙述用字母表示加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变a+b=b+a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变(a+b)+c=a+(b+c) 知2－讲特别提醒1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加.2.利用有理数的加法交换律时，要适当加括号，如－6.6+2+(－3.4)=2+(－6.6)+(－3.4).3.根据需要灵活利用加法运算律，可以达到简化计算的目的. 知2－讲2.加法运算律的运用技巧(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”；(3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； 知2－讲(4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”；(5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知2－练计算：+++.解：原式=+=0+(－1)=－1.例3解题秘方：先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将相反数结合计算.同分母相结合 知2－练3-1.6+(－2)+(－3)+14+(－15)=(6+14)+[(－2)+(－3)+(－15)]应用了()加法交换律加法结合律加法交换律与结合律以上都不是C 知2－练计算：43+(－77)+37+(－23).解：原式=(43+37)+［(－77)+(－23)］=80+(－100)=－20.解题秘方：先把正数、负数分别结合，再计算.例4 知2－练4-1.下列变形运用加法运算律正确的是()4+(－3)=4+32+(－5)+4=(－5)+4+2[－3+(－2)]+5=[－3+(－5)]+2+(－1)+=+(+1)B 知2－练计算：+3+2+.解：原式=+=(－1)+2=1例5解题秘方：将同分母的分数通过交换结合在一起，再计算. 知2－练同形结合法：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结合在一起，以达到简便运算的效果，简称“同形结合法”. 5-1.运用加法的运算律计算下列各题：(1)3++；(2)－3+(+15.5)++.知2－练 知2－练计算：(－3.75)+2.85+++3.15+(－2.5).解：原式=+(2.85+3.15)=(－8)+6=－2.解题秘方：将－3.75，－1，－，－2.5和2.85，3.15分别结合在一起，然后相加.例6 知2－练凑整法：多个有理数相加时，把能凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便，这种方法简称“凑整法”. 知2－练6-1.用适当的方法计算：(1)0.34+(－7.6)+(－0.8)+(－0.4)+0.46；(2)－18.35+(+6.15)+(－3.65)+(－18.15).解：原式＝(0.34＋0.46)＋(－0.8)＋[(－7.6)＋(－0.4)]＝0.8＋(－0.8)＋(－8)＝0＋(－8)＝－8.原式＝[(－18.35)＋(－3.65)]＋[(＋6.15)＋(－18.15)]＝(－22)＋(－12)＝－34. 知2－练计算：(1)－5++17+；(2)++4050+.例7解题秘方：先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和. 知2－练解：(1)原式=+++［(－5)+(－9)+17+(－3)］+=0+=－.另一种拆法：－9=－10+. 知2－练解：(2)原式=+++=［(－2024)+(－2025)+4050+(－1)］+=0+=－. 7-1.计算下列各题.(1)3+++；(2)－3+++20.知2－练 知2－练方法点拨在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别结合相加，但拆数时应特别注意符号问题.这种方法简称“拆项结合法”. 有理数的加法有理数的加法两个数相加多个数相加转化加法法则加法运算律 1.3有理数的加减法第一章有理数1.3.2有理数的减法 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2有理数的减法有理数的加减混合运算数轴上两点之间的距离 知识点有理数的减法知1－讲11.法则减去一个数，等于加这个数的相反数.用字母表示：a－b=a+(－b)，其中a，b表示任意有理数. 知1－讲特别提醒：有理数的减法是有理数的加法的逆运算，进行减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“+”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变.特别解读●有理数的减法，需要先将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算.●有理数的减法在转化为加法之前，被减数与减数的位置不能改变. 知1－讲2.两数相减差的符号(1)较大的数－较小的数=正数，即若a>b，则a－b>0.(2)较小的数－较大的数=负数，即若a<b，则a－b<0.(3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0. 知1－练例1计算下列各题：(1)(－1)－2；(2)2－(－1)；(3)(－2)－(－1)；(4)(－1)－(－2)；(5)0－5；(6)0－(－5).解题秘方：将减法转化为加法，然后利用加法法则计算. 知1－练解：(1)(－1)－2=(－1)+(－2)=－3.(2)2－(－1)=2+1=3.(3)(－2)－(－1)=(－2)+1=－1.(4)(－1)－(－2)=(－1)+2=1.(5)0－5=0+(－5)=－5.(6)0－(－5)=0+5=5.交换被减数与减数的位置，差互为相反数.差为正数，被减数大于减数，差为负数，被减数小于减数.0减去一个数等于这个数的相反数. 知1－练1-1.计算下列各题：(1)(－2)－(+18)；(2)0－10；(3)2.3－(－3.7)；(4)－9－(－10)；(5)｜－3｜－｜－4｜；(6)－6－7－8.解：原式＝(－2)＋(－18)＝－20.原式＝0＋(－10)＝－10.原式＝2.3＋3.7＝6.原式＝－9＋10＝1.原式＝3＋(－4)＝－1.原式＝(－6)＋(－7)＋(－8)＝－21. 知2－讲知识点21.有理数加减混合运算的方法(1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式.(2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便.有理数的加减混合运算 知2－讲2.省略和式中的加号和括号将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)+(－3)+(+2)+(－5)可以写成－20－3+2－5.这个式子有两种读法：(1)按加法的结果来读：负20、负3、正2、负5的和；(2)按运算来读：负20减3加2减5. 知2－讲方法点拨1.有理数加减混合运算关键有两步：第1步统一为加法；第2步运用加法运算律；2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号. 知2－练例2[易错题]把下列各式写成省略加号和括号的形式，并说出它们的两种读法.(1)－6－(－3)+(－2)－(+6)－(－7)；(2)－+－+－. 知2－练解题秘方：本题要采用转化法，首先运用减法法则把加减混合运算转化成加法运算，然后写成省略加号和括号的形式. 知2－练解：(1)－6－(－3)+(－2)－(+6)－(－7)=－6+3－2－6+7.读法一：负6，正3，负2，负6，正7的和；读法二：负6加3减2减6加7. 知2－练解：(2)－+－+－=－－+－+.读法一：负，负，正，负，正的和；读法二：负减加减加. 知2－练2-1.下列式子可读作“负1，负3，正6，负8的和”的是()－1+(－3)+(+6)－(－8)－1－3+6－8－1－(－3)－(－6)－(－8)－1－(－3)－6－(－8)B 知2－练2-2.把(+5)－(+3)+(－2)－(－7)写成省略括号的形式是()－5+3－2+75－3－2－75－3－2+75+3－2－7C 知2－练计算：(1)2.7+(－8.5)－(+3.4)－(－1.2)；(2)－0.6－0.08+－2－0.92+2.例3解题秘方：结合题目的特征，巧用运算律进行计算. 知2－练解：(1)2.7+(－8.5)－(+3.4)－(－1.2)=2.7－8.5－3.4+1.2=(2.7+1.2)+(－8.5－3.4)=3.9－11.9=－8.同号结合法 知2－练解：(2)－0.6－0.08+－2－0.92+2=－0.6+0.4+(－0.08－0.92)+=－0.2－1+0=－1.2.凑整法相反数结合法 知2－练3-1.列式并计算：(1)1减去－与的和，所得的差是多少？(2)+10，－5，－6的绝对值的和比它们的和的绝对值大多少？(|＋10|＋|－5|＋|－6|)－|(＋10)＋(－5)＋(－6)|＝20. 知3－讲知识点3数轴上两点之间的距离数轴上，点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，AB=|a－b|.示图：(如图1.3-3)数轴上两点之间的距离 知3－讲特别提醒两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以(1)当a＞b时，AB=a－b；(2)当a＜b时，AB=b－a. 知3－练根据图1.3-4中提供的信息，回答下列问题.例4(1)A，B两点间的距离是多少？(2)B，C两点间的距离是多少？解题秘方：紧扣数轴上两点间的距离公式进行解答. 知3－练解：点A表示数2，点B表示数－，点C表示数－3.(1)因为==，所以A，B两点间的距离是.(2)因为===，所以B，C两点间的距离是. 知3－练4-1.[中考·南京]数轴上点A，B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为()A．－3+5B．－3－5C．|－3+5|D．|－3－5|D 知3－练4-2.A，B是数轴上的两点，A点表示的数是－5，A，B两点之间的距离是6，则B点表示的数为_________.－11或1 有理数的减法有理数的减法利用法则计算利用结果与加法综合比较大小加减混合运算运用求数轴上两点间的距离