人教版八年级数学上册（第十三章 轴对称）13.3 等腰三角形（学习、上课资料）

13.3等腰三角形第十三章轴对称13.3.1等腰三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的定义等腰三角形的性质等腰三角形的判定 知识点等腰三角形的定义知1－讲1定义有两边相等的三角形是等腰三角形.几何语言：如图13.3-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角.根据顶角的大小，等腰三角形可分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形. 知1－讲特别解读确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关. 知1－练例1若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算. 知1－练解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分两种情况讨论.第一种情况：当4为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，∵4＋4>6，满足三角形的三边关系，∴周长＝4＋4＋6＝14；第二种情况：当6为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，∵4＋6>6，满足三角形的三边关系，∴周长＝6＋6＋4＝16.综上可知，这个等腰三角形的周长为14或16. 知1－练特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系. 知1－练1-1.已知等腰三角形的一边长为5，周长为20，则它的腰长为________.7.5 知1－练1-2.[中考·苏州]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_________．6 知2－讲知识点等腰三角形的性质21.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).几何语言：如图13.3-2，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 知2－讲特别提醒1.适用条件：必须在同一个三角形中.2.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便. 知2－讲2.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).几何语言：如图13.3-2，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC). 知2－讲特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 知2－讲3.对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 知2－练如图13.3-3，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.例2解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 知2－练(1)求∠ADB的度数；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.由角平分线得到高线 知2－练(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；解：在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝×(180°－100°)＝40°. 知2－练(3)若BC＝3cm，求BD的长.解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线，∴BD＝BC＝×3=1.5(cm).由角平分线得到中线 知2－练2-1.[中考·自贡]等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°B 知2－练2-2.[中考·泰安]如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°D 知2－练如图13.3-4，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高.求证：BD＝CE.解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△BEC和△CDB全等创造条件.例3 知2－练证明：方法一∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.在△BEC和△CDB中，∴△BEC≌△CDB(AAS).∴BD＝CE.方法二∵S△ABC＝AB·CE，S△ABC＝AC·BD，AB＝AC，∴BD＝CE. 知2－练3-1.[中考·黄石]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F.求证： 知2－练(1)∠C＝∠BAD.证明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形，又∵D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，∴∠C＋∠DAC＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠C＝∠BAD. 知2－练(2)AC＝EF.证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠EAF＝∠ABC.又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，∴△BAC≌△AEF.∴AC＝EF. 知2－练如图13.3-5，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数.解题秘方：利用“等边对等角”及三角形外角的性质将△ABC中的三个角都用要求的∠A来表示，利用三角形内角和解决问题.例4 知2－练解：设∠A＝x°，∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝x°.∵DE＝EB，∴∠EBD＝∠BDE＝x°，∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝x°.∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝x°.∴x＋x＋x＝180，解得x＝45.∴∠A＝45°. 知2－练方法点拨：当已知条件中没有已知度数的角而又要求角的度数时，一般采用方程思想来解决问题.设出要求的角的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角与内角之间的关系,用含未知数的式子表示出一个三角形的三个内角的度数，再利用三角形的内角和等于180°列出方程，求出未知数的值即可. 知2－练4-1.如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°D 知3－讲知识点等腰三角形的判定31.判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).几何语言：如图13.3-6，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC. 知3－讲2.等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 知3－讲特别提醒●等腰三角形的定义也是一种判定方法.●“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等. 知3－练如图13.3-7，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由.例5 知3－练解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 知3－练解：△ABC是等腰三角形.理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB＝∠RPC＝90°.∴∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形. 知3－练方法点拨：根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，可以证明这个三角形有两个内角相等，所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在. 知3－练5-1.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，过点D作DG∥AC交BC于点G.求证：△ABC是等腰三角形. 知3－练证明：∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF.又∵∠DFG＝∠EFC，DF＝EF，∴△GDF≌△CEF,∴DG＝EC.∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DGB＝∠B.∵∠DGB＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． 等腰三角形等腰三角形判定等角对等边性质两边相等等边对等角三线合一互逆 13.3等腰三角形第十三章轴对称13.3.2等边三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等边三角形的定义及性质等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质 知识点等边三角形的定义及性质知1－讲11.定义三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 知1－讲2.性质(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线.(4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. 知1－讲特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：1.任意两边都可以作为腰.2.任意一个角都可以作为顶角.3.任意一边上的“三线合一”. 知1－练例1如图13.3-19，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数.解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数. 知1－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.∴△DEF各个内角的度数都是60°. 知1－练1-1.如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一张四边形纸片，则图中∠α＋∠β的度数是()A.180°B.220°C.240°D.300°C 知1－练如图13.3-20，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长.解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.例2 知1－练解:∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝.∵DE＝DB，∴∠E＝∠DBE＝30°.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°.∴∠CDE＝∠E.∴CD＝CE.∴CE＝CD＝. 知1－练2-1.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝_______°.75 知1－练例3如图13.3-21，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答. 知1－练证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE＝∠ACD＝60°，AB＝CA.在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD(SAS).(1)求证：△ABE≌△CAD； 知1－练解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAF＝∠BAC＝60°.(2)求∠BFD的度数. 知1－练3-1.如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由. 知1－练解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠EAC.∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC. 知2－讲知识点等边三角形的判定21.判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-22，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形. 知2－讲2.判定定理2有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-22，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形. 知2－讲证明等边三角形的思维导图：三角形思路1：三边相等思路2：三角相等等边三角形三角形等腰三角形的判定等腰三角形有一个角等于60°等边三角形 知2－讲特别解读1.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立.2.等边三角形的判定方法：(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；(2)若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定. 知2－练如图13.3-23，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形.例4 知2－练解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF是等边三角形. 知2－练证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵CO，BO分别平分∠ACB，∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°.∵OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴OE＝BE，OF＝FC，∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°.∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°.∴∠EOF＝60°.∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF.∴△OEF是等边三角形. 知2－练4-1.如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，求证：△DEF是等边三角形. 知2－练 知2－练如图13.3-24，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F.连接EF，求证：例5 知2－练(1)AN＝BM；解题秘方：要证AN＝BM，只需证△ACN≌△MCB； 知2－练证明：∵△ACM，△CBN都是等边三角形，∴AC＝CM，CN＝BC，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴AN＝BM. 知2－练(2)△CEF是等边三角形.解题秘方：根据已知条件，易求∠ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可. 知2－练证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC＝∠FBC.∵∠ECN＝180°－∠ACM－∠NCB＝60°，∴∠ECN＝∠FCB.在△ECN和△FCB中，∴△ECN≌△FCB(ASA).∴CE＝CF.又∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形. 知2－练5-1.如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点.在△ABC的外角的平分线CE上取点E，使CE＝BD，连接AD，AE，DE.请判断△ADE的形状，并说明理由. 知2－练 知2－练5-2.如图，E为等边△ABC的边BC上一点，∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，求证：△CDE为等边三角形. 知2－练证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°.∵∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴CE＝CD，∠ACE＝∠BCD.∵∠ACB＝60°，∴∠BCD＝60°.∴△CDE为等边三角形． 知3－讲知识点含30°角的直角三角形的性质31.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：如图13.3-25，在Rt△ABC中,∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB.2.作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 知3－讲特别解读应用此性质，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°.二者缺一不可. 知3－练如图13.3-26，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4cm，求BN的长.例6解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长. 知3－练解：如图13.3-26，连接AN.∵MN为AB边的垂直平分线，∴AN＝BN，∴∠NAB＝∠B＝15°，∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.在Rt△ACN中，∠ANC＝30°，∴AN＝2AC＝2×4＝8(cm).∴BN＝8cm. 知3－练教你一招：1.求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.2.若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°的角. 知3－练6-1.如图，△ABC中，AB＝AC,∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，且BM＝3,则CM＝_____.6 知3－练6-2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AM交BC于M，AM＝15cm.求BC的长. 知3－练 知3－练如图13.3-27，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.求证：BP＝2PQ.解题秘方：利用含30°角的直角三角形的性质证明线段的倍分关系.例7 知3－练证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP＝∠CAD＋∠BAP＝∠BAE＝60°.∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ. 知3－练方法点拨：在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30° 知3－练7-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BD⊥AC于D，E为BC的中点，DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：E，C两点是线段BF的三等分点. 知3－练 知3－练 等边三角形等边三角形一半性质含30°角的直角三角形的性质判定