专题3.3 解三角形（分层练）（解析版）

专题验收评价专题3.3解三角形内容概览A·常考题不丢分题型一正弦余弦定理基本应用题型二解三角形三线问题题型三解三角形中周长面积问题题型四解三角形中范围问题C·挑战真题争满分题型一正弦余弦定理基本应用一、单选题1．（2023·江西赣州·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得、，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由，得，由成等差数列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得， 由得.故选：C.2．（2023下·安徽滁州·高三校考开学考试）在三角形中，记为的面积，已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据三角形的面积公式结合求出角，再根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的关系即可得解.【详解】，，因为，即，又，则，所以.故选：A．3．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（    ）A．1B．C．D．2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A4．（2021下·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（    ）A．B．1C．D．【答案】C 【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得，进而求得.【详解】依题意，，由余弦定理得，①，由三角形的面积公式得，代入①得，，，由于，所以.故选：C题型二解三角形中三线问题一、单选题1．（2023上·江苏苏州·高三常熟中学联考）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（    ）A．B．C．3D．或3【答案】A【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解.【详解】由，因为，可得，又由边上的角平分线，所以，在中，可得，在中，可得,因为，且， 所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因为，可得，即，可得，所以.故选：A.  2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值.【详解】在中，在中，故，，因为，故，又角的平分线交于点，则，故.故.以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，故，，设，则， 即，故，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.  故选：C二、填空题3．（2023下·河南周口·高三期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，，则的取值范围为．【答案】【分析】记BC的中点为D，利用重心的性质先得到，再由向量的知识可得，，再利用锐角可得，最后利用函数的单调性可得的取值范围．【详解】记BC的中点为D，由，G为的重心，可得．又由，有，即， 化简可得．又由为锐角三角形，故，即，化简可得．又由．令，由函数单调递增，可得，可得．故答案为：.三、解答题4．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）记的内角的对边分别为，已知.(1)求A的值；(2)若的平分线与交于点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，则，，即，可得，因为，则，则，整理得， 又因为，则，可得，所以.（2）因为平分且，所以，由，可得，整理得，则，当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为．5．（2023上·湖北·高三鄂南高中联考期中）在中，角A，B，C的对边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)若是线段的中点，且，求的面积.【答案】(1)(2)4【详解】（1），由正弦定理可得，整理，即，又，则，，又.（2）法一：如图，取中点，连接，是线段的中点，,在中，,由余弦定理可得, .法二：因为是线段的中点，，，即，，.题型三解三角形中周长面积问题1．（2023·湖南·校联考模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得．又，所以．因为，所以．又，所以，．（2）的面积，则．由余弦定理：，得，所以，故的周长为．2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 【答案】(1)(2)（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】（1）∵，即由正弦定理，有又，即有，，，，所以，，故．（2）设，，由（1）知，在△ABC中，由余弦定理，可知，∴又，可知，在△ABD中，，即，在△ACD中，，即，联立解得.3．（2023上·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考）如图，在四边形中，与互补，．  (1)求；(2)求四边形的面积．【答案】(1) (2)【分析】（1）连接，在中，利用余弦定理分别求出,,,利用两值相反，建立等式，解出即可；（2）分别求出的面积，相加即可.【详解】（1）连接，如图，  与互补，与互补，在中，，即，得，在中，，即，得，又与互补，，故；（2）由（1）得，，由（1）得，，． 题型四解三角形中范围问题1．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（    ）A．B．C．2D．4【答案】A【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得，再设，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到，从而得解.【详解】因为，由正弦定理得，则，即，所以，，则，  设，则，且，又，即，又由正弦定理知（为的外接圆半径），所以，则，即，又，故当，时，.故选：A 2．（2023上·福建·高三校联考期中）已知中，内角所对的边分别为，且满足.(1)若，求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：因为，由正弦定理得，可得，即，又因为，由余弦定理得，即，联立方程组，可得，即，所以，由余弦定理定理得，因为，所以.解法二：因为，由正弦定理得，整理得，又因为，可得，所以，即，可得，即，因为，所以，所以，所以.（2）由（1）知，可得，且，所以，由三角形三边关系，可得，可得，令，可得，其中，所以函数， 所以，所以的取值范围是.3．（2023上·湖北·高三湖北省天门中学校联考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)求的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）方法1：由及正弦定理可得：，所以，故，因为，即，故，所以，又，所以.方法2：由及余弦定理可得：，所以，所以，又，所以.（2）由正弦定理可知，即，其中，,故当时，的最大值为. 一、单选题1．（2021·全国甲卷）在中，已知，，，则（    ）A．1B．C．D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.二、填空题2．（2021·全国·乙卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则．【答案】【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.三、解答题3．（2023·全国新高考Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求． 【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，  则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.4．（2023·全国甲卷）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以， 故的面积为．5．（2022·全国新高考Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.6．（2021·全国·统考Ⅰ卷）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即， 而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以， 即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．7．（2021·全国高考Ⅱ）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.