人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形模型训练（单元重点复习，5大模型）

第十二章全等三角形模型训练01模型总结目录全等模型一　一线三等角模型1全等模型二　三垂直模型7全等模型三　旋转型模型17全等模型四　倍长中线模型22全等模型五　截长补短模型3302全等模型全等模型一　一线三等角模型例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．56 巩固训练1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明．2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．56 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．全等模型二　三垂直模型例题：）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：56 (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．巩固训练1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为．56 (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______；(2)请证明你所写的结论；(3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示）(4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______．3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点56 为的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值．全等模型三　旋转型模型例题：如图，，，．（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数．巩固训练1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．56 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　　；线段BD、AB、EB的数量关系为　　；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．全等模型四　倍长中线模型例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：56 ．巩固训练1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴，在中，（依据2），∴．56 (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是；A．；B．；C．(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，中，，D为中点，求证：．2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：56 (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：．3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．①；②；③；④56 【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．全等模型五　截长补短模型例题：在四边形中，点C是边的中点．(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．巩固训练1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，56 ，连接对角线，，．(1)，与之间的数量关系是____________．(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使）(3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．2．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，．(1)如图1，求证：；(2)如图1，求的度数；(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．56 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动．【初步探索】（1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________；【灵活运用】（2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；【延伸拓展】（3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由．56 第十二章全等三角形模型训练01模型总结目录全等模型一　一线三等角模型1全等模型二　三垂直模型7全等模型三　旋转型模型17全等模型四　倍长中线模型22全等模型五　截长补短模型3302全等模型全等模型一　一线三等角模型例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；56 应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．【详解】探究证明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和△CAF中，∴；应用解：∵△ABE≌△CAF，∴，∴，∵，的面积为9，∴，∴与的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．巩固训练1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明．56 【答案】，证明见解析【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，证明，则，，利用线段之间的关系即可得到答案．【详解】证明：如图，∵，，∴在和中∴∴，∴2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．56 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故．②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证．（2）题干已知条件可证，故，，从而可证明．【详解】（1）解：①证明：∵，∴．又∵，∴．在和中，，∴．∴．②解：，理由如下：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，56 ，∴．∴．（2）解：，理由如下：∵，∴，又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴，．∴，即．3．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．56 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证明，则，，；（2）同理（1）证明即可；（3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可．【详解】（1）证明：直线，直线，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（2）解：结论成立；理由如下：∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，56 ∴；（3）解：同理（2）可得，，∴，设的底边上的高为，则的底边上的高为，∴，，，∴，∴，∴与的面积之和为8．全等模型二　三垂直模型例题：）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．【答案】(1)，56 (2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题，（1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案；（2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则．【详解】（1））解：于点，于点，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案为：，．（2）证明：如图2，作于点，∵于点，于点E，∴，由，同理（1）得，56 ∴，在和中，∴，∴．巩固训练1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)(或，)．【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；②由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；（2）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等，再由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；56 （3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．【详解】（1）①证明：∵，，∴，，∴，在与中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）证明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在与中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可证．∴，，∵∴，即；当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是(或，56 )．2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为．(1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______；(2)请证明你所写的结论；(3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示）(4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______．【答案】(1)(2)见解析(3)①，②或(4)，或或【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型．（1）由图可知；（2）利用可证；（3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和；（4）在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论．【详解】（1）解：和是一对全等三角形，故答案为：；56 （2）证明：，，，，，在和中，，；（3）解：①由（2）知，，，四边形的面积为：；②同（2）可证，，，，四边形的面积为：，故答案为：，；（4）解：如图所示，作轴于点D．，，，．，轴，，，56 ，在和中，，，，，，；若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示：当点P在第二象限时，作轴于点H．，轴，，，，在和中，，，56 ，，，；同理可得，，综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或．故答案为：，或或．3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)956 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）利用证得，即可求证结论；（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，，；（2）证明：过作于，如图：由（1）得：，，，，56 在和中，，，，，，，，，，是的中点；（3）解：，理由如下：过点作于，如图：由（2）得：，，，，，，，，，．即．56 全等模型三　旋转型模型例题：如图，，，．（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：56 将直线CE与AB的交点记为点O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴CE⊥BD．（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°-∴∠CFA=∠DFC=【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；巩固训练56 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　　；线段BD、AB、EB的数量关系为　　；56 （2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解．【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，56 ∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，56 ∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．全等模型四　倍长中线模型例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证．【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接，在中，∴，56 ∴．在中，，∴，即．巩固训练1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴，在中，（依据2），∴．56 (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是；A．；B．；C．(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，中，，D为中点，求证：．【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边(2)C(3)见解释【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．（3）判断，即可．【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．56 （2）解：如图，延长至点，使,连接．是的中线，,在与中，,，,在中，，即，．故选：C．（3）证明：如图4，延长至F，使连接，是的中点，∴,又∴，56 ，，∵，∴,,即，又∵，∴，∴，∴．2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)见解析56 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系．（1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解；（2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故；（3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到．延长交于F，由三角形的三边关系得到，即．【详解】（1）∵，∴∵是边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案为：（2），理由：如图，延长到M，使得，连接，56 ∴，∵是的中线，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，56 ∵，∴；（3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，∵点M是的中点，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延长交于F，则，且，∴，∴，即．56 3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．①；②；③；④【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）．【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使．56 在和中，，，，，，，，故答案为：；（2）解：如图2，延长至，使，连接，是中线，，又，，，，，，，，为中线，，，，又，，56 ，，，故答案为：②③；（3）证明：如图3，延长至，使，连接，是的中点，，又，，，，，，，与互补，，，又，，，，；（4）如图3，，，，，，，，，，，56 ，，，，故答案为：8．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．全等模型五　截长补短模型例题：在四边形中，点C是边的中点．(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．【答案】(1)，见解析(2)，理由见解析【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；【详解】（1），理由如下：在上取一点F，使，连接．∵平分，∴，56 在和中∴．∴，，∵C是边的中点．∴，∴．∵，∴，∴．在和中∴．∴．∵，∴．（2），理由如下：在上取，，连接，．与（1）同理，可得，．∴，，，．∵，∴．∵，∴．56 ∴为等边三角形．∴．∵，∴．  【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．巩固训练1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，．(1)，与之间的数量关系是____________．(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使）(3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．【答案】(1)(2)12000元(3)千克【分析】（1）由直接可以得到；（2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明56 解题；（3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可．【详解】（1），，故答案为：；（2）如图，延长至点，使，连接．.在与中，，，.，即.在与中，，，（米）．五边形的周长为（米），（元）．答：建造木栅栏共需花费12000元.56 （3）千克，需小麦种数量为：(千克）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”．2．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，．(1)如图1，求证：；(2)如图1，求的度数；(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系．此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：56 ，，，，，（2）解：在和中，，，，为等腰直角三角形，；（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：在上截取，连接，如图2所示：是的高，，，，在和中，，，，，56 由（2）可知：，即，，，即，在和中，，，，．3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动．【初步探索】（1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________；【灵活运用】（2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；【延伸拓展】（3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）（2）成立，理由见解析56 （3），证明见解析【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明；（2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明；（3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解．【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则，，，，，在和中，，，，在和中，56 ，，，，，故答案为：；（2）成立，理由：如图，延长到点，使，连接，则，，，，，在和中，，，，在和中，，，56 ，，；（3），证明：如图，延长到点，使，连接，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，．56 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键．56