北师版八年级数学上册期末复习考点 清单03 位置与坐标（11个考点梳理 题型解读 提升训练）

清单03位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】坐标确定位置坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。知识点2平面直角坐标1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做41,第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。3.点坐标（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。（2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。（3）点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。4.象限第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数5.坐标与图形性质（1）一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。（2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。（3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。（4）y轴上的点，横坐标都为0。（5）x轴上的点，纵坐标都为0。【清单02】轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.注意：1.轴对称图形的对称轴是一条直线，2.轴对称图形是1个图形，3.有些对称图形的对称轴有无数条。【清单03】轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标（1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。41,（2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。（3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。知识点4:两点间公式设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为：【清单04】坐标与图形变化【清单05】轴对称-最小值问题已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【考点题型一】确定位置【典例1】下列表述中能确定准确位置的是（    ）A．教室从左到右第3列B．文博演出中心第10排C．北偏东30°D．东经123°25′，北纬41°48′41,【变式1-1】李校长和张校长一起去参加市教育局组织的“学生暑假安全教育主题会”，如果李校长的位置在报告厅的“3排6号”，记作3,6，那么张校长的位置在同一报告厅的“4排7号”，记作（    ）A．4,7B．7,4C．7,6D．6,4【变式1-2】如图，这是某书法家关于诗歌《登幽州台歌》的书法展示，若“来”的位置用有序数对3,5表示，则“涕”的位置可以表示为（    ）A．6,5B．5,6C．5,7D．7,5【变式1-3】如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为C6,120°,F5,210°，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）．A．A2,30°B．B1,90°C．D4,240°D．E3,300°【考点题型二】判断点所在的象限【典例2】在平面直角坐标系中，点P−7,a2+2所在象限是（   ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A50,−8在（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点A在第四象限，则点A的坐标是（    ）A．1,2B．−2,1C．−1,−2D．2,−141,【变式2-3】在平面直角坐标系中，Px2+1,−5位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点题型三】已知点所在的象限求参数【典例3】点Aa+3，a+1在y轴上，则A点坐标为（    ）A．(−2，0)B．(0，−2)C．(4，0)D．(0，−4)【变式3-1】点A(m+3,m+1)在x轴上，则A点的坐标为（    ）A．(0,−2)B．(2,0)C．(4,0)D．(0,−4)【变式3-2】已知点Aa−3，4−a在x轴上，则点A的坐标为【考点题型四】求点到坐标轴的距离【典例4】已知点P的横坐标是−3，且到x轴的距离为5，则点P的坐标是（    ）A．−3,−5B．−3,5或−3,−5C．−3,5D．5,−3或−5,−3【变式4-1】在平面直角坐标系中，点M2023,−2024到x轴的距离是．【变式4-2】若点Mm+3,m−1在第三象限，且到x轴的距离为5，则点M的坐标为．【变式4-3】已知点P5−2m,m+2在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为．【考点题型五】平行与坐标轴点的坐标特征【典例5】平面直角坐标系中，点M3,1，Na,a+3，若直线MN与y轴平行，则点N的坐标是．【变式5-1】已知AB所在直线与x轴平行，且点A在点B的左侧，若点A的坐标为4,2，AB=3，则点B的坐标是．【变式5-2】在平面直角坐标系中，已知点A2，1，直线AB与x轴平行，若AB=4，则点B的坐标为．【变式5-3】若3,2与m,6两个点的连线与y轴平行，则m的值为．41,【考点题型六】坐标与图形【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点A0,a，B0,b，Cc,0都在坐标轴上，其中b，c满足b+2+c−32=0，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为2,m，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S．(1)求a，b，c的值；(2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S；(3)是否存在点M，使得S等于三角形ABC的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点A，B，C的坐标分别为−5,4，−4,0，−5,−3．(1)请写出点D，E，F，G的坐标；(2)求图中阴影部分的面积．41,【变式6-2】如图1，在平面直角坐标系中，点在Aa,0在x轴正半轴上，点B是第四象限内一点，BC⊥y轴于点C0,c，且a−2+c+3=0，S四边形ABCO=9．(1)求点B的坐标；(2)如图2，D点是线段OC上一动点，DE∥AB交BC于点E，∠ODE的角平分线与∠BAF的角平分线交于第四象限的一点G，AB与DG交于点H，求∠AGD的度数；(3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接AH，AH与y轴交于点D．y轴上是否存在点M，使△AHM的面积等于四边形ABCO面积的43？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-3】如图，组成的正方形网格的每个小方格的边长都为单位1，每一个小方格的顶点叫做格点．已知点A，B，C都在格点上．建立如图所示的平面直角坐标系，请按下述要求画图并解决下列问题：  (1)写出点A，B，C的坐标；(2)连接AC，过点B作BE∥AC，BE=AC，并写出点E的坐标；(3)若连接AB，BC，求三角形ABC的面积．41,【考点题型七】点坐标规律探索【典例7】如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,1，B−1,1，C−1,−2，D1,−2把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是．【变式7-1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ）A．2023,0B．2024,0C．2024,1D．2023,2【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一个点从Aa1,a2出发沿图中路线依次经过Ba3,a4，Ca5,a6，Da7,a8，…，按此一直运动下去，则a2014+a2015+a2016的值为（    ）A．1006B．1007C．1509D．1511【变式7-3】如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4；再向正西方向走10m到达点A5；…，按如此规律走下去，当机器人走到点A2024时，点A2024的坐标为41,【考点题型八】轴对称图形的判断和对称轴的条数【典例8】下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　）A．B．C．D．【变式8-1】下列图形中对称轴最多的是（     ）A．B．  C．  D．  【变式8-2】下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（　　）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式8-3】如图，五角星是非常美丽的图案，它有条对称轴．  【考点题型九】镜面对称的应用【典例9】小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ）41,A．B．C．D．【变式9-1】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为．  【变式9-2】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是．【变式9-3】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是．  【考点题型十】点坐标的对称【典例10】点P−3,6关于y轴对称点的坐标是（　　）A．3,6B．−2,−6C．2,−6D．6,−2【变式10-1】点M1,2关于x轴对称的点的坐标为（　　）A．−1,−2B．−1,2C．1,−2D．2,−1【变式10-2】点P7,−4关于y轴对称的点的坐标为（   ）A．−7,−4B．7,4C．−7,4D．4,7【变式10-3】点(−3,5)关于x轴对称的点的坐标是．【考点题型十一】轴对称综合题(几何变换)【典例11】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（   ）A．2.4B．3C．4.8D．541,【变式11-1】如图，在锐角三角形ABC中AB=5，△ABC的面积15，BD平分∠ABC交AC于点D，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　）  A．3B．4C．5D．6【变式11-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BD是∠ABC是的平分线，E是线段BD上一点，F是线段BC上一点，则CE+EF的最小值为．【变式11-3】如图1，直线l⊥BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．(1)求证：BE=AC；(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，S△ABD=8，CH=2，求PC+PD的最小值．　　　41,清单03位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】坐标确定位置坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。知识点2平面直角坐标1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。41,2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。3.点坐标（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。（2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。（3）点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。4.象限第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数5.坐标与图形性质（1）一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。（2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。（3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。（4）y轴上的点，横坐标都为0。（5）x轴上的点，纵坐标都为0。【清单02】轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.注意：1.轴对称图形的对称轴是一条直线，2.轴对称图形是1个图形，3.有些对称图形的对称轴有无数条。【清单03】轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标41,（1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。（2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。（3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。知识点4:两点间公式设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为：【清单04】坐标与图形变化【清单05】轴对称-最小值问题已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【考点题型一】确定位置【典例1】下列表述中能确定准确位置的是（    ）A．教室从左到右第3列B．文博演出中心第10排41,C．北偏东30°D．东经123°25′，北纬41°48′【答案】D【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键．【详解】解：A、教室从左到右第3列，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；B、文博演出中心第10排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；C、北偏东30°，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；D、东经123°25′，北纬41°48′，能确定位置，故本选项符合题意．故选：D．【变式1-1】李校长和张校长一起去参加市教育局组织的“学生暑假安全教育主题会”，如果李校长的位置在报告厅的“3排6号”，记作3,6，那么张校长的位置在同一报告厅的“4排7号”，记作（    ）A．4,7B．7,4C．7,6D．6,4【答案】A【分析】本题考查有序数对，掌握有序数对的意义是解题关键．由题意可知数对中的第一个数字表示排数，后一个数字表示号数，由此即可表示出“4排7号”．【详解】解：由题意，“4排7号”记为4,7．故选：A.【变式1-2】如图，这是某书法家关于诗歌《登幽州台歌》的书法展示，若“来”的位置用有序数对3,5表示，则“涕”的位置可以表示为（    ）A．6,5B．5,6C．5,7D．7,5【答案】B【分析】本题主要考查了用有序数对表示物体位置，解题的关键是正确理解题意，掌握题中表示位置的方式．根据题意可得，诗中每个字的位置先看纵向的数，再看横向的数，即可解答．【详解】解：“涕”的位置可以表示为5,6，故选：B．41,【变式1-3】如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为C6,120°,F5,210°，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）．A．A2,30°B．B1,90°C．D4,240°D．E3,300°【答案】A【分析】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，可得答案．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，解：A．A5,30°，原A位置表示错误，故该选项符合题意；B．B1,90°，B点位置表示正确，故该选项不符合题意；C．D4,240°，D点位置表示正确，故该选项不符合题意；D．E3,300°，E点位置表示正确，故该选项不符合题意；故选：A．【考点题型二】判断点所在的象限【典例2】在平面直角坐标系中，点P−7,a2+2所在象限是（   ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点P−7,a2+2横坐标和纵坐标特点判定即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−．【详解】解：∵a2+2>0，∴P−7,a2+2横坐标为负和纵坐标为正，41,根据平面直角坐标系特点，点P在第二象限，故选：B．【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A50,−8在（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】本题主要考查了象限内点的坐标规律，准确分析判断是解题的关键．根据坐标系第四象限的特点：+,−分析即可．【详解】解∵−8<0，50>0，∴点A50,−8在第四象限；故选：D．【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点A在第四象限，则点A的坐标是（    ）A．1,2B．−2,1C．−1,−2D．2,−1【答案】D【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，根据第四象限符号+,−的特点即可求解，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键．【详解】解：A、1,2在第一象限，不符合题意；B、−2,1在第二象限，不符合题意；C、−1,−2在第三象限，不符合题意；D、2,−1在第四象限，符合题意；故选：D．【变式2-3】在平面直角坐标系中，Px2+1,−5位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】本题考查了平方数的非负性，坐标系内各象限的坐标特征，掌握平方数的非负性，第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零是解答本题的关键．根据x2≥0可得x2+1≥1，从而得出Px2+1,−5所在象限．【详解】解：∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴Px2+1,−5位于第四象限，故选：D．41,【考点题型三】已知点所在的象限求参数【典例3】点Aa+3，a+1在y轴上，则A点坐标为（    ）A．(−2，0)B．(0，−2)C．(4，0)D．(0，−4)【答案】B【分析】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特点，根据点Aa+3，a+1在y轴上，点A的横坐标为0，可得出a=−3，然后可得出纵坐标．【详解】解：∵点Aa+3，a+1在y轴上，∴a+3=0，∴a=−3，∴a+1=−3+1=−2，∴点A的坐标为：(0，−2)，故选：B．【变式3-1】点A(m+3,m+1)在x轴上，则A点的坐标为（    ）A．(0,−2)B．(2,0)C．(4,0)D．(0,−4)【答案】B【分析】根据点A在x轴上，则纵坐标为0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．【详解】解：∵点A(m+3,m+1)在x轴上，∴m+1=0，解得：m=−1，∴m+3=−1+3=2，∴点M的坐标为(2,0)．故选：B．【变式3-2】已知点Aa−3，4−a在x轴上，则点A的坐标为【答案】1,0【分析】本题考查点坐标的特点，根据x轴上的点的纵坐标为0求解即可．【详解】解：∵点Aa−3，4−a在x轴上，∴4−a=0，∴a=4，∴a−3=4−3=1，41,∴A1，0，故答案为：1,0【考点题型四】求点到坐标轴的距离【典例4】已知点P的横坐标是−3，且到x轴的距离为5，则点P的坐标是（    ）A．−3,−5B．−3,5或−3,−5C．−3,5D．5,−3或−5,−3【答案】B【分析】此题主要考查了点到坐标轴的距离，根据平面直角坐标系内点的坐标含义即可判断，解题的关键是熟知坐标点的含义，平面直角坐标系内一个点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．【详解】解：设P−3,b，∵到x轴的距离为5，∴b=5，解得：b=±5，∴P的坐标是−3,5或−3,−5，故选：B．【变式4-1】在平面直角坐标系中，点M2023,−2024到x轴的距离是．【答案】2024【分析】本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是点到y轴的距离．根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案．【详解】解：在平面直角坐标系中，点M2023,−2024到x轴距离是2024．故答案为：2024【变式4-2】若点Mm+3,m−1在第三象限，且到x轴的距离为5，则点M的坐标为．【答案】(−1,−5)【分析】此题考查点的坐标，根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值求解即可．【详解】解：∵到x轴的距离为5，∴m−1=5．∵点Mm+3,m−1在第三象限，∴m−1<0∴m−1=−5，∴m=−4，41,∴m+3=−1，∴M−1,−5．故答案为：(−1,−5)．【变式4-3】已知点P5−2m,m+2在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为．【答案】3【分析】本题考查各象限内点的坐标特点，点到坐标轴的距离．根据点P在第一象限，且到x轴的距离为3，可得m+2=3，求解得到m的值，从而得到点P的坐标，进而即可解答．【详解】解：∵点P5−2m,m+2在第一象限，且到x轴的距离为3，∴m+2=3，解得m=1，∴5−2m=3，∴点P的坐标为3,3，到y轴的距离为3．故答案为：3【考点题型五】平行与坐标轴点的坐标特征【典例5】平面直角坐标系中，点M3,1，Na,a+3，若直线MN与y轴平行，则点N的坐标是．【答案】3,6【分析】本题考查了点的坐标，根据题意得到点坐标的特征，即可求得结果，掌握点坐标的特征是解题的关键．【详解】解：∵直线MN与y轴平行，∴两个点的横坐标一样，即a=3，∴a+3=6，∴N3,6，故答案为：3,6．【变式5-1】已知AB所在直线与x轴平行，且点A在点B的左侧，若点A的坐标为4,2，AB=3，则点B的坐标是．【答案】7,241,【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，根据点的特征求解是解题的关键；由AB所在直线与x轴平行可知，B点的纵坐标与A点纵坐标相同，可求出B的纵坐标，由AB=3，可求出B的横坐标．【详解】解：∵AB所在直线与x轴平行，点A的坐标为4,2，∴B点的纵坐标与A点纵坐标相同，即B的纵坐标是2，∵AB=3，点A在点B的左侧，∴B的横坐标是4+3=7，∴点B的坐标是7,2，故答案为：7,2．【变式5-2】在平面直角坐标系中，已知点A2，1，直线AB与x轴平行，若AB=4，则点B的坐标为．【答案】−2，1或6，1【分析】本题考查求点的坐标，理解平行于x轴的直线上所有点的纵坐标均相同，再分情况讨论是解决问题的关键．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，已知点A2，1，直线AB与x轴平行，∴B点的纵坐标与A点纵坐标相同，∵AB=4，分两种情况讨论：①若B在A点左侧，相当于将A2，1向左数4个单位长度，得到B−2，1；②若B在A点右侧，相当于将A2，1向右数4个单位长度，得到B6，1；故答案为：−2，1或6，1．【变式5-3】若3,2与m,6两个点的连线与y轴平行，则m的值为．【答案】3【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握横坐标相等的两点的连线平行于y轴，纵坐标相等的连点的连线平行于x轴．据此解答即可．【详解】解：∵3,2与m,6两个点的连线与y轴平行，∴m=3，∴m的值为3．故答案为：3．【考点题型六】坐标与图形41,【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点A0,a，B0,b，Cc,0都在坐标轴上，其中b，c满足b+2+c−32=0，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为2,m，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S．(1)求a，b，c的值；(2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S；(3)是否存在点M，使得S等于三角形ABC的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a=2，b=−2，c=3(2)S=3−32m(3)M2,−2或M2,83．【分析】此题考查了坐标与图形，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据算术平方根和平方的非负性求出b=−2，c=3，然后根据平方根的性质求出a=2；（2）首先求出点M到x轴的距离为−m，然后根据S=S△AOC+S△MOC结合三角形面积公式代入求解即可；（3）首先求出三角形ABC的面积=12AB⋅OC=12×4×3=6，然后分两种情况讨论：当点M在第四象限时和当点M在第一象限时，分别列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵b+2+c−32=0∴b+2=0，c−3=0∴b=−2，c=3∵a，b是同一个数的两个不相等的平方根∴a=2；（2）解：∵a=2，c=3∴A0,2，C3,041,∴OA=2，OC=3∵点M在第四象限，点M的坐标为2,m∴点M到x轴的距离为−m∴S=S△AOC+S△MOC=12×3×2+12×3×−m=3−32m；（3）解：∵b=−2∴B0,−2∵A0,2，∴AB=2−−2=4∴三角形ABC的面积=12AB⋅OC=12×4×3=6当点M在第四象限时，∵S等于三角形ABC的面积∴3−32m=6∴m=−2∴M2,−2；当点M在第一象限时，S=S△AOM+S△COM=12×2×2+12×3m=2+32m∵S等于三角形ABC的面积∴2+32m=6∴m=83∴M2,83综上所述，点M的坐标为M2,−2或M2,83．【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点A，B，C的坐标分别为−5,4，−4,0，−5,−3．41,(1)请写出点D，E，F，G的坐标；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)0,−2，5,−3，3,4，−1,2(2)46.5【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，明确三角形和四边形的面积计算，并数形结合是解题的关键．（1）观察图象可得出点D，E，F，G的坐标．（2）用一个长方形的面积减去四个空白三角形的面积即可．【详解】（1）解：由图象可得，点D，E，F，G的坐标分别为0,−2，5,−3，3,4，−1,2．（2）解：如图：连接AC、CE，过点E作EH垂直于AF的延长线于点H．阴影部分的面积为：S阴影=S矩形ACEH−S△ABC−S△AFG−S△EFH−S△CED=5−−5×4−−3−4−−3×1÷2−3−−5×2÷2−2×4−−3÷2−5−−5×1÷2=10×7−7×1÷2−8×2÷2−2×7÷2−10×1÷2=70−3.5−8−7−5=46.5．∴图中阴影部分的面积为46.5．41,【变式6-2】如图1，在平面直角坐标系中，点在Aa,0在x轴正半轴上，点B是第四象限内一点，BC⊥y轴于点C0,c，且a−2+c+3=0，S四边形ABCO=9．(1)求点B的坐标；(2)如图2，D点是线段OC上一动点，DE∥AB交BC于点E，∠ODE的角平分线与∠BAF的角平分线交于第四象限的一点G，AB与DG交于点H，求∠AGD的度数；(3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接AH，AH与y轴交于点D．y轴上是否存在点M，使△AHM的面积等于四边形ABCO面积的43？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B4,−3(2)∠G=45°(3)存在，M0,3或0,−5【分析】（1）根据非负数求得点A、C坐标，再根据坐标与图形性质和梯形的面积公式求得BC即可求解；（2）设∠EDH=x，∠GAH=y，根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠CED=∠B=∠BAF=2y，∠BHG=∠EDH=x，再利用三角形的内角和定理和外角性质得到∠G=∠BHG−∠GAH=x−y=45°即可；（3）连接AC，设M0,m，D0,n，由平移性质得H−4,−3，由三角形的等面积法求得D0,−1，利用坐标与图形和已知求得MD=4，进而求得m值即可．【详解】（1）解：∵a−2+c+3=0，a−2≥0，c+3≥0，∴a−2=0，c+3=0，解得a=2，c=−3，∴A2,0，C0,−3，则OA=2，OC=3，∵BC⊥y轴，即BC∥x轴，∴S四边形ABCO=12×2+OB×3=9，解得BC=4，41,∴B4,−3；（2）解：设∠EDH=x，∠GAH=y，∵∠ODE的角平分线与∠BAF的角平分线交于第四象限的一点G，∴∠ODE=2∠EDH=2x，∠BAF=2∠GAH=2y,∵DE∥AB，BC∥x轴，∴∠CED=∠B=∠BAF=2y，∠BHG=∠EDH=x，∵∠DCE=90°，∠CDE=180°−∠ODE=180°−2x，∴90°+180°−2x+2y=180°，则x−y=45°，又∴∠G=∠BHG−∠GAH=x−y，∴∠G=45°；（3）解：存在，如图，连接AC，设M0,m，D0,n，由平移性质得H−4,−3，∵S△ACH=S△ACD+S△HCD，∴12×4×3=12×n+3×2+12×n+3×4，解得n=−1，则D0,−1，∵△AHM的面积等于四边形ABCO面积的43，∴S△AHM=12×MD×2+12×MD×4=3MD=43×9，解得MD=4，则m+1=4，解得m=−5或m=3，∴M0,3或0,−5．41,【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、坐标与图形、平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质、角平分线的定义、三角形和梯形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．【变式6-3】如图，组成的正方形网格的每个小方格的边长都为单位1，每一个小方格的顶点叫做格点．已知点A，B，C都在格点上．建立如图所示的平面直角坐标系，请按下述要求画图并解决下列问题：  (1)写出点A，B，C的坐标；(2)连接AC，过点B作BE∥AC，BE=AC，并写出点E的坐标；(3)若连接AB，BC，求三角形ABC的面积．【答案】(1)A−1,1，B1,0，C2,2(2)图见解析，4,1或−2,−1(3)2.5【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算等知识点，能根据所给图形确定点的坐标是解题的关键．（1）根据所给平面直角坐标系中A，B，C三个点的位置，写出坐标即可；（2）根据题意画出图形并写出点E的坐标即可，注意：点E的位置有两种可能；（3）利用网格即可求出三角形ABC的面积．【详解】（1）解：根据所给平面直角坐标系中A，B，C三个点的位置，可知：点A坐标为−1,1，点B坐标为1,0，点C坐标为2,2；（2）解：根据题意画出图形如下：41,    由图可知，点E的坐标为4,1或−2,−1；（3）解：由图可知，三角形ABC的面积等于一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积，∴S△ABC=3×2−12×1×3−12×1×2−12×1×2=6−32−1−1=2.5．【考点题型七】点坐标规律探索【典例7】如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,1，B−1,1，C−1,−2，D1,−2把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是．【答案】1,0【分析】本题为规律题，考查了平面直角坐标系点的特征，坐标点之间的距离，合理找出运动规律是解题的关键．根据运动的方式求出运动路线的长度，找出规律即可解答．【详解】解：∵A1,1，B−1,1，C−1,−2，D1,−2，∴AB=1−−1=2，BC=1−−2=3，CD=1−−1=2，AD=1−−2=3，∴从A点出发回到A点所需要的线长为：2+3+2+3=10，∴2019÷10=201⋯⋯9，∴绕四边形ABCD201圈之后余9个单位，即A向D一个单位，∴细线的另一端所在位置的点的坐标是1,0，41,故答案为：1,0．【变式7-1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ）A．2023,0B．2024,0C．2024,1D．2023,2【答案】D【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．根据前几次运动的规律可知第4n次接着运动到点(4n,0)，第4n+1次接着运动到点(4n+1,1)，第4n+2次从原点运动到点(4n+2,0)，第4n+3次接着运动到点(4n+3,2)，根据规律求解即可．【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，第4次从原点运动到点(4,0)，第5次接着运动到点(5,1)，第6次接着运动到点(6,0)，……第4n次接着运动到点(4n,0)，第4n+1次接着运动到点(4n+1,1)，第4n+2次从原点运动到点(4n+2,0)，第4n+3次接着运动到点(4n+3,2)，∵2023÷4=505……3，∴第2023次接着运动到点(2023,2)，故选：D．【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一个点从Aa1,a2出发沿图中路线依次经过Ba3,a4，Ca5,a6，Da7,a8，…，按此一直运动下去，则a2014+a2015+a2016的值为（    ）41,A．1006B．1007C．1509D．1511【答案】D【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，解题的关键在于能够准确找到相应的规律进行求解．根据题意可得A1,1，B−1,2，C2,3，D−2,4，E3,5，F−3,6，则a1=1，a2=1，a3=−1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=−2，a8=4，由此可知当n为偶数时an=n2；每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从−1开始递减，而2016÷4=504，可得a2015=−504，由此求解即可．【详解】解：由题意可知A1,1，B−1,2，C2,3，D−2,4，E3,5，F−3,6，∴a1=1，a2=1，a3=−1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=−2，a8=4，由此可知当n为偶数时an=n2，∴a2014=20142=1007，a2016=20162=1008，∵每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从−1开始递减，而2016÷4=504，∴a2015=−504，∴a2014+a2015+a2016=1007−504+1008=1511，故选：D．【变式7-3】如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4；再向正西方向走10m到达点A5；…，按如此规律走下去，当机器人走到点A2024时，点A2024的坐标为41,【答案】2024,−2024【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每4个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点A4n−1（n为正整数）的坐标可表示为4n,4n是解题的关键．【详解】解：由题知，点A1的坐标为−2,0，点A2的坐标为−2,4，点A3的坐标为4,4，点A4的坐标为4,−4，点A5的坐标为−6,−4，点A6的坐标为−6,8，点A7的坐标为8,8，…，∴A4n−1（n为正整数）的坐标可表示为4n,4n，当n=506时，4n−1=2023，4n=2024，∴点A2023的坐标为2024,2024，∴点A2024的坐标为2024,−2024．故答案为：2024,−2024．【考点题型八】轴对称图形的判断和对称轴的条数【典例8】下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　）41,A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查轴对称图形的概念及对称轴的数量，结合选项根据轴对称图形的概念寻找对称轴的数量，判断选择即可．【详解】解：A、该图形的对称轴有6条；B、该图形的对称轴有2条；C、该图形的对称轴有1条；D、该图形的对称轴有1条．故选：A．【变式8-1】下列图形中对称轴最多的是（     ）A．B．  C．  D．  【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴条数，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可．【详解】解：等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴，∴对称轴最多的是圆，故选：D    ．【变式8-2】下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（　　）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D41,【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断．【详解】解：考虑轴对称图形与颜色（阴影）无关．则左起第一、第三个图形是轴对称图形且只有一条对称轴；第二个图形有两条对称轴，第四、第五个图形含有四条对称轴．故选：D．【点睛】考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【变式8-3】如图，五角星是非常美丽的图案，它有条对称轴．  【答案】5【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴；故答案为：5．【考点题型九】镜面对称的应用【典例9】小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据镜面对称的性质求解．【详解】解：8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图C所示，最接近8点时间．41,故选C．【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【变式9-1】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为．  【答案】FM5379【分析】由题意得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．【详解】解：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示，  故该车牌号码为FM5379．故答案为：FM5379．【点睛】解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【变式9-2】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是．【答案】20:15【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字2的镜面对称数字是5，据此即可求解．【详解】解：此刻的实际时间应该是20:15，故答案为：20:15【变式9-3】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是．  【答案】326541,【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265，故答案为：3265．【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．【考点题型十】点坐标的对称【典例10】点P−3,6关于y轴对称点的坐标是（　　）A．3,6B．−2,−6C．2,−6D．6,−2【答案】A【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．利用平面直角坐标系内两点关于y轴对称时：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解．【详解】解：点P−3,6关于y轴对称点的坐标是(3,6)，故选：A．【变式10-1】点M1,2关于x轴对称的点的坐标为（　　）A．−1,−2B．−1,2C．1,−2D．2,−1【答案】C【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可．【详解】解：点M1,2关于x轴对称的点的坐标为1,−2；故选C．【变式10-2】点P7,−4关于y轴对称的点的坐标为（   ）A．−7,−4B．7,4C．−7,4D．4,7【答案】A【分析】本题主要考查了关于横轴的对称点：横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，比较简单．根据关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，即可得出答案．41,【详解】解：点P7,−4关于y轴的对称点的坐标是−7,−4，故选：A．【变式10-3】点(−3,5)关于x轴对称的点的坐标是．【答案】(−3,−5)【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．直接利用平面内两点关于x轴对称点的性质分析求解,平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．【详解】解：(−3,5)关于x轴对称的点的坐标为(−3,−5)，故答案为：(−3,−5)．【考点题型十一】轴对称综合题(几何变换)【典例11】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（   ）A．2.4B．3C．4.8D．5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到PC+PQ=PC+PQ′≥CH，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积求出CH的长即可得到结果．【详解】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H，∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q′关于AD对称，∴点Q′在AB上，PC+PQ=PC+PQ′≥CH，∵AC=3，BC=4，41,∴AB=AC2+BC2=5，12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CH即12×3×4=12×5×CH，∴CH=2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值为2.4．【变式11-1】如图，在锐角三角形ABC中AB=5，△ABC的面积15，BD平分∠ABC交AC于点D，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　）  A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值；【详解】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：  ∵BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,M′N′⊥BC于N′，∴MN=ME，∴CE=CM′+M′E=CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M重合，N与N′重合，∵三角形ABC的面积为15,AB=5，∴12×5⋅CE=15，∴CE=6，41,即CM+MN的最小值为6；故选：D【点睛】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值【变式11-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BD是∠ABC是的平分线，E是线段BD上一点，F是线段BC上一点，则CE+EF的最小值为．【答案】125【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理；作F关于BD的对称点F′，则CE+EF=CE+EF′≤CF，当CF⊥AB时，CE+EF取得最小值，过点C作CG⊥AB于点G，则CG的长，即为CE+EF的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解．【详解】解：如图所示，作F关于BD的对称点F′，∵BD是∠ABC是的平分线，∴F'在AB上，∴CE+EF=CE+EF'≤CF'，当CF'⊥AB时，CE+EF取得最小值，过点C作CG⊥AB于点G，则CG的长，即为CE+EF的最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=5，∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CG41,∴CG=3×45=125，故答案为：125．【变式11-3】如图1，直线l⊥BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．(1)求证：BE=AC；(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，S△ABD=8，CH=2，求PC+PD的最小值．　　　【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】（1）由ASA可证△BDE≌△CDA，可得BE=AC；（2）由SAS可证△CBF≌△EBF，可得∠BED=∠DAC=∠BCF，由余角的性质可得结论；（3）由SAS可证△EBP≌△CBP，可得PE=PC，则当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，由面积法可以求解．【详解】（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BC，由题意可得：∠EDM=∠ADM，∠BDM=∠CDM=90°，∴∠BDE=∠ADC，∵点D是BC的中点，41,∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，∠EDB=∠ADCBD=CD∠EBC=∠ACD=90°，∴△BDE≌△CDA，∴BE=AC；（2）证明∶∵AC=BC，BE=AC，∴BE=BC，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵∠EBC=90°，∴∠EBA=∠ABC=45°，又∵BF=BF，∴△CBF≌△EBF，∴∠BED=∠BCF，∵△BDE≌△CDA，∴∠BED=∠DAC=∠BCF，∵∠DAC+∠ADC=90°=∠BCF+∠ADC，∴∠CHD=90°，∴CF⊥AD；（3）解∶在△EBP和△CBP中，EB=BC∠EBA=∠CBAEP=BP，∴△EBP≌△CBP，∴PE=PC，∴PC+PD=PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，∵△BDE≌△CDA，∴ED=AD，∵BD=CD，41,∴S△ABD=8=S△ACD，∴12×AD×CH=8，∴AD=8×2×12=8．∴PC+PD的最小值为8．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．41