北师版九年级数学上册期末复习考点 清单04 图形的相似（10个考点梳理 题型解读 提升训练）

清单04图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】比例线段1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）．59 【清单02】黄金分割比1.黄金分割的定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值)【清单03】平行线分线段成比例类型1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.几何语言：图一拓展：1）.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；2）.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；图二3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。图三59 类型2平行线分线段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.图四图五（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例【清单04】相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.59 【清单05】相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).注意：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；【清单06】相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【清单07】相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.【清单08】相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.59 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则图二注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【清单09】射影定理射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB则，1．CD2＝AD·BD2．BC2＝BD·ABAC2＝AD·AB．【清单10】利用相似三角形测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.注意：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法59 【清单11】位似图形1.位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.注意：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.作位似图形的步骤　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；　第二步：作位似中心与各关键点连线；　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；　第四步：顺次连接各对应点.注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.59 【考点题型一】比例性质【典例1】已知a3=b5，则a−bb=（   ）A．−25B．25C．−23D．85【变式1-1】a−ba+b=13，则ab=（   ）A．12B．2C．3D．-2【变式1-2】已知xy=23，则x−yy的值为．【变式1-3】如果x:y=5:2，那么x+2yx−y的值为．【考点题型二】比例线段和黄金分割比【典例2】下列四组线段中，是成比例线段的是（   ）A．5 cm，15 cm，2 cm，6 cmB．4 cm，6 cm，3 cm，5 cmC．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmD．3 cm，4 cm，2 cm，5 cm【变式2-1】如果一个矩形ABCD(AB<BC)中，ABBC=5−12≈0.618那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD中，AB=10，E､F分别为边AD､BC上的点，若ABFE为黄金矩形，则DE=．【变式2-2】已知线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段a和c的比例中项是厘米．【变式2-3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，已知AB=2，则AP=．（答案保留根号）59 【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【典例3】如图，AD∥BE∥CF，若AB=3，BC=4，EF=5，则DE的长度是（　）  A．3B．4C．134D．154【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD:DB=2:3，那么BF:FC的值为（    ）A．2:3B．2:5C．3:5D．5:7【变式3-2】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC,EF∥AB，则下列结论正确的是（    ）A．ADBD=AEACB．ADAB=CFBCC．ADAB=BFBCD．ADBD=CFBF【变式3-3】如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF∶FD=5∶2，BC=9，则BE的长为（）59 A．3B．103C．4D．5【考点题型四】相似多边形【典例4】下列各组图形中，一定相似的是（    ）A．两个平行四边形B．两个正方形C．两个矩形D．两个菱形【变式4-1】下面几对图形中，相似的是（   ）A．B．C．D．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB=6, AD=8，截去矩形ABFE，若剩下的矩形DEFC与矩形ABCD相似，则DE等于（    ）A．2B．3.5C．4D．4.5【变式4-3】如图，设小方形的边长为1，四边形ABCD∽四边形EFGH，且它们的顶点都在格点上，则它们的相似比是（    ）A．5B．52C．2D．359 【考点题型五】相似三角形的判定【典例5】下列给出的条件不能得出△ABD∽△ACB的是（    ）  A．ADAB=BDBCB．∠ABD=∠ACBC．AB2=AD⋅ACD．∠ADB=∠ABC【变式5-1】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．APAB=ABACD．APBP=ACCB【变式5-2】如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（   ）A．ABAD=ACAEB．∠B=∠DC．ABAD=BCDED．∠C=∠AED【变式5-3】如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=8，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）59 A．B．C．D．【考点题型六】相似三角形的性质【典例6】为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC与AE交于点D．此时，测得BD=80m，DC=40m，EC=36m，则两岸间的距离AB为（   ）A．72mB．84mC．88mD．92m【变式6-1】如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，EF∥AB∥DC，若BF:CF=5:7，则S△ABES△CDE的值为（　　）A．57B．2549C．512D．2449【变式6-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE:EB=3:2，S△AEF=8，则S△CDF=．【变式6-3】如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE:S△BDE=1:2，S△ADE=2，则S△ABC为．59 【考点题型七】相似三角形的判定和性质综合【典例7】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为4，求FG的长．【变式7-1】如图，在三角形ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠ADB(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．【变式7-2】如图，点H是正方形ABCD对角线DB延长线上一点，∠HCE=90°，CH=CE，射线HE交AB于点G，交CD延长线于点F，连接DE．59 (1)求证：HE2=2CD⋅CF；(2)若EC=6，CF=9，求线段BG的长度．【变式7-3】如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；【模型应用】（2）若AB=2，AD=3，DF=12BF，求DE的长；【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF，求AFAD的值．【考点题型八】相似三角形的应用综合【典例8】如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边EF=30cm，DE=40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=12m，求树高AB．59 【变式8-1】如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？【变式8-2】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M，且矩形长HG是宽HE的2倍．(1)求证：AMAD=HGBC；(2)试求矩形EFGH的周长．【变式8-3】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点59 F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到墙的水平距离为CD=4m．图中A，B，C，D在同一条直线上．(1)求BC的长；(2)求灯泡到地面的高度AG．【考点题型九】图形的位似【典例9】如图，在平面直角坐标系中，已知A2,0，B4,3，D5,0，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ）A．10,7B．8,7C．10,7.5D．8,6【变式9-1】如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形．若OA:OA′=1:3，四边形ABCD的周长是3，则四边形A′B′C′D′的周长是（    ）A．1B．3C．9D．27【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知A6,−3，B3,9，连接OA、OB、AB，以原点O为位似中心，位似比为13，把△OAB缩小，则点B的对应点B′的坐标为（    ）A．1,3B．−1,−3C．1,3或−1,−3D．2,−1或−2,159 【变式9-2】已知：如图△ABC与△A′B′C关于点C−1,0位似，且位似比为1:3，设B的横坐标为a，则B的对应点B′的横坐标为（    ）  A．3a+3B．−3a+3C．−3a+4D．−4−3a【考点题型十】作图-位似【典例10】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A2，1，B1，−2，C3，−1，Pm，n是△ABC的边AB上一点．(1)画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，并写出点A、P的对应点A1、P1的坐标；(2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画出将△A1B1C1放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并分别写出点A1、P1的对应点A2、P2的坐标．【变式10-1】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点的坐标分别为A3,5，B2,2，C4,0．59 (1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并分别写出A1,B1,C1的坐标；(2)在网格内，画出以点A为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍后的△AB2C2；(3)若△AB2C2也是△A1B1C1的位似图形，点P是位似中心，在图中画出点P．【变式10-2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,6)，B(6,8)，C(8,2)，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）    (1)以点O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为1:2；(2)以点O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2．【变式10-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．59 (1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2:1，并写出点A1的坐标；(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C．59 清单04图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】比例线段1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）．59 【清单02】黄金分割比1.黄金分割的定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值)【清单03】平行线分线段成比例类型1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.几何语言：图一拓展：1）.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；2）.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；图二3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。图三59 类型2平行线分线段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.图四图五（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例【清单04】相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.59 【清单05】相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).注意：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；【清单06】相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【清单07】相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.【清单08】相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.59 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则图二注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【清单09】射影定理射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB则，1．CD2＝AD·BD2．BC2＝BD·ABAC2＝AD·AB．【清单10】利用相似三角形测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.注意：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法59 【清单11】位似图形1.位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.注意：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.作位似图形的步骤　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；　第二步：作位似中心与各关键点连线；　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；　第四步：顺次连接各对应点.注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.59 【考点题型一】比例性质【典例1】已知a3=b5，则a−bb=（   ）A．−25B．25C．−23D．85【答案】A【分析】此题考查了比例的性质．设a3=b5=k，且k≠0，则a=3k,b=5k，代入a−bb即可求出答案．【详解】解：设a3=b5=k，且k≠0，则a=3k,b=5k，∴a−bb=3k−5k5k=−25，故选：A【变式1-1】a−ba+b=13，则ab=（   ）A．12B．2C．3D．-2【答案】B【分析】本题考查了比例的性质，化简原式即可得出答案，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：∵a−ba+b=13，∴3a−3b=a+b，∴2a=4b，∴ab=42=2，故选：B．【变式1-2】已知xy=23，则x−yy的值为．【答案】−13【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质得x=2y3，代入所求的式子计算即可．【详解】解：∵xy=23，59 ∴x=2y3，∴x−yy=23y−yy=−13，故答案为：−13．【变式1-3】如果x:y=5:2，那么x+2yx−y的值为．【答案】3【分析】本题考查了比例的知识，解题的关键是熟练掌握比例的性质，从而完成求解；根据题意得到y=25x，代入化简即可求解；【详解】解：∵x:y=5:2，∴y=25x，∴x+2yx−y=x+45xx−25x=3．故答案为：3．【考点题型二】比例线段和黄金分割比【典例2】下列四组线段中，是成比例线段的是（   ）A．5 cm，15 cm，2 cm，6 cmB．4 cm，6 cm，3 cm，5 cmC．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmD．3 cm，4 cm，2 cm，5 cm【答案】A【分析】本题考查了比例线段，掌握相关知识是解题的关键．分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【详解】解：A、∵15×2=5×6，∴5 cm，15 cm，2 cm，6 cm是成比例线段，故选项符合题意；B、∵6×3≠5×4，∴4 cm，6 cm，3 cm，5 cm不是成比例线段，故选项不符合题意；C、∵1×4≠2×3，∴1 cm，2 cm，3 cm，4 cm不是成比例线段，故选项不符合题意；D、∵5×2≠4×3，∴3 cm，4 cm，2 cm，5 cm不是成比例线段，故选项不符合题意；59 故选：A．【变式2-1】如果一个矩形ABCD(AB<BC)中，ABBC=5−12≈0.618那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD中，AB=10，E､F分别为边AD､BC上的点，若ABFE为黄金矩形，则DE=．【答案】10【分析】本题考查黄金分割定理，矩形的性质，由四边形ABFE为黄金矩形，则ABBC=BFAB=5−12，求出BC=55+5，BF=55−5，则CF=10，然后由矩形的性质和线段和差即可求解，掌握黄金分割定理是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABFE为黄金矩形，∴ABBC=BFAB=5−12，∴10BC=BF10=5−12∴BC=55+5，BF=55−5，∴CF=BC−BF=55+5−55−5=10，∵四边形ABCD和ABFE为矩形，∴AD=BC，AE=BF，∴AD−AE=BC−BF，即DE=CF=10，故答案为：10．【变式2-2】已知线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段a和c的比例中项是厘米．【答案】6【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出4:b=b:9，计算即可得解．【详解】解：设线段a和c的比例中项为b，∴a:b=b:c，即4:b=b:9，∴b=6（负值舍去）．故答案为：6．59 【变式2-3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，已知AB=2，则AP=．（答案保留根号）【答案】5−1/−1+5【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算AP即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BCAC>BC，且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC:BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，黄金分割的比值是5−12，即ACAB=BCAC=5−12．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP>PB），AB=2，∴APAB=5−12，∴AP=5−12AB=5−12×2=5−1，∴AP的长度为5−1．故答案为：5−1．【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【典例3】如图，AD∥BE∥CF，若AB=3，BC=4，EF=5，则DE的长度是（　）  A．3B．4C．134D．154【答案】D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可．【详解】解：∵AD∥BE∥CF，∴DEEF=ABBC，59 ∵AB=3，BC=4，EF=5，∴DE5=34，∴DE=154，故选：D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD:DB=2:3，那么BF:FC的值为（    ）A．2:3B．2:5C．3:5D．5:7【答案】A【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，由EF∥AB，得BF:FC=AE:EC，由DE∥BC，AE:EC=AD:DB，所以BF:FC=AD:DB=2:3，于是得到问题的答案．【详解】解:∵EF∥AB，∴BF:FC=AE:EC，∵DE∥BC，∴AE:EC=AD:DB，∴BF:FC=AD:DB=2:3，∴BF:FC的值为2:3，故选：A．【变式3-2】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC,EF∥AB，则下列结论正确的是（    ）59 A．ADBD=AEACB．ADAB=CFBCC．ADAB=BFBCD．ADBD=CFBF【答案】C【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由DE∥BC，可得ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，由EF∥AB，可得AEAC=BFBC，AECE=BFCF，再进一步分析判断即可．【详解】∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，故A不符合题意；∵EF∥AB，∴AEAC=BFBC，AECE=BFCF，∴ADAB=BFBC，故B不符合题意；C符合题意；∵ADDB=AEEC，AECE=BFCF，∴ADDB=BFFC，故D不符合题意；故选：C．【变式3-3】如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF∶FD=5∶2，BC=9，则BE的长为（）A．3B．103C．4D．5【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能够通过已知条件准确构造辅助线是解决本题的关键．根据线段的比例关系及中点平分边的特点过点D构造与AE平行的辅助线，进而构成两组成比例的线段BFFD=BEEH、CHEH=CDAD，再根据比例得到线段之间的倍数关系，求出BE的长度即可．【详解】解：过点D作DH∥AE交BC于点H．又∵BF∶FD=5∶2．59 ∴BFFD=BEEH=52．设BE=5x，EH=2x．∵D是AC的中点．∴AD=CD．又∵DH∥AE．∴CHEH=CDAD=1．∴CH=EH=2x．∵BC=9．∴BC=BE+EH+CH=9．即5x+2x+2x=9．解得：x=1．∴BE=5x=5．故选：D．【考点题型四】相似多边形【典例4】下列各组图形中，一定相似的是（    ）A．两个平行四边形B．两个正方形C．两个矩形D．两个菱形【答案】B【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可．【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；故选：B．【变式4-1】下面几对图形中，相似的是（   ）A．B．C．D．59 【答案】C【分析】本题主要考查了相似图形的判定．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可．【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似；C选项中的两个图形形状相同，相似；故选：C．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB=6, AD=8，截去矩形ABFE，若剩下的矩形DEFC与矩形ABCD相似，则DE等于（    ）A．2B．3.5C．4D．4.5【答案】D【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得CDAD=DECD，代入数据计算即可．【详解】解：∵矩形DEFC与矩形ABCD相似，∴CDAD=DECD，又∵AD=BC=8，AB=EF=CD=6，∴68=DE6，解得：DE=92=4.5，故选D．【变式4-3】如图，设小方形的边长为1，四边形ABCD∽四边形EFGH，且它们的顶点都在格点上，则它们的相似比是（    ）59 A．5B．52C．2D．3【答案】C【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形对应边的比等于相似比，得到它们的相似比是ABEF，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，AB与EF是对应边，∵AB=8，EF=4，∴它们的相似比是ABEF=84=2，故选：C．【考点题型五】相似三角形的判定【典例5】下列给出的条件不能得出△ABD∽△ACB的是（    ）  A．ADAB=BDBCB．∠ABD=∠ACBC．AB2=AD⋅ACD．∠ADB=∠ABC【答案】A【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键．【详解】解：A.∠A=∠A，ADAB=BDBC，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到△ABD∽△ACB，故符合题意；B.∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB，故不符合题意；C.∠A=∠A，AB2=AD⋅AC即ABAD=ACAB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB，故不符合题意；D.∠A=∠A，∠ADB=∠ABC，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB59 ，故不符合题意；故选A．【变式5-1】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．APAB=ABACD．APBP=ACCB【答案】D【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当APAB=ABAC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、当APAB=ACCB时，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故选：D．【变式5-2】如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（   ）A．ABAD=ACAEB．∠B=∠DC．ABAD=BCDED．∠C=∠AED【答案】C59 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2）如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠BAC=∠DAE，A、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合题意；B、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合题意；C、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABC∽△ADE，故符合题意；D、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合题意；故选：C．【变式5-3】如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=8，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由∠BDE=∠A=75°，∠B=∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△DBE∽△ABC，可判断A59 不符合题意；由∠CFG=∠A=75°，∠C=∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△FGC∽△ABC，可判断B不符合题意；由AHAC=ACAB=34，∠A=∠A，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACH∽△ABC，可判断C不符合题意；由△IBJ与△ABC的对应边不成比例，可知△IBJ与△ABC不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．【详解】解：如图1，∵∠BDE=∠A=75°，∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，故A不符合题意；如图2，∵∠CFG=∠A=75°，∠C=∠C，∴△FGC∽△ABC，故B不符合题意；如图3，∵AB=8，AC=6，AH=4.5，∴AHAC=4.56=34，ACAB=68=34，∴AHAC=ACAB，∵∠A=∠A，∴△ACH∽△ABC，故C不符合题意；59 如图4，△IBJ与△ABC的对应边不成比例，∴△IBJ与△ABC不相似，故D符合题意，故选：D．【考点题型六】相似三角形的性质【典例6】为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC与AE交于点D．此时，测得BD=80m，DC=40m，EC=36m，则两岸间的距离AB为（   ）A．72mB．84mC．88mD．92m【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得∠B=∠C=90°，然后证明△ADB∽△EDC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∵∠ADB=∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴ABEC=BDCD，∴AB36=8040，∴AB=72m，59 故选：A．【变式6-1】如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，EF∥AB∥DC，若BF:CF=5:7，则S△ABES△CDE的值为（　　）A．57B．2549C．512D．2449【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由EF∥AB∥DC证明△BEF∽△BDC，△ABE∽△CDE，然后由相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：∵EF∥DC，∴△BEF∽△BDC，∴BEBD=BEBC，∵BF:CF=5:7，∴BEBD=512，∴BEDE=57，∵EF∥DC，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△CDE=BEDE2=572=2549，故选：B．【变式6-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE:EB=3:2，S△AEF=8，则S△CDF=．【答案】2009/222959 【分析】本题主要考查了利用相似比求面积，平行四边形的性质，理解相似比的特征是解决本题的关键．根据题意可得：△AFE∽△CFD，根据相似的性质可得：S△AFE:S△CFD=9:25，且S△AEF=8，即可求得△CDF的面积为2009．【详解】解：∵AE:EB=3:2，∴AE:AB=3:5，∵在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴AE:CD=3:5，∵AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴AF:CF=AE:CD=3:5，∴S△AFE:S△CFD=9:25，∵S△AEF=8，∴S△CFD=259×8=2009，故答案为：2009．【变式6-3】如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE:S△BDE=1:2，S△ADE=2，则S△ABC为．【答案】18【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得ADBD=12，则ADAB=13，由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，得S△ADES△ABC=ADAB2=19，则S△ABC=9S△ADE，于是得到问题的答案．【详解】解：∵S△ADE:S△BDE=1:2，∴ADBD=12，∴ADAB=13，59 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=ADAB2=19，∵S△ADE=2，∴S△ABC=9S△ADE=18，故答案为：18．【考点题型七】相似三角形的判定和性质综合【典例7】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为4，求FG的长．【答案】(1)见解析(2)35【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．（1）由正方形的性质可得AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论；（2）通过证明∠DEF∽△CGF，可得EDCG=DFCF，根据DF=14DC可得CF、CG，由勾股定理可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=DE，∴AEAB=12，∵DF=14DC，∴DF=14AB，59 ∴DFDE=DF12AB=12，∴AEAB=DFDE，则AEDF=ABDE∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴∠D=∠GCF，∠G=∠DEF，∴∠DEF∽△CGF，∴EDCG=DFCF，又∵DF=14DC，正方形的边长为4，∴AD=AB=DC=BC=4∴DF=1，AE=ED=12AD=2，∴CF=DC−DF=3，CG=DE×CFDF=2×31=6，∴GF=CF2+CG2=9+36=35．【变式7-1】如图，在三角形ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠ADB(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是关键．（1）由∠DEC=∠ADB可得180°−∠DEC=180°−∠ADB，即∠AED=∠ADC，即可求证；（2）根据题意求出AC=AE+EC=4，结合AE:AD=AD:AC即可求解；【详解】（1）证明：∵∠DEC=∠ADB，∴180°−∠DEC=180°−∠ADB，59 即：∠AED=∠ADC∵∠EAD=∠DAC∴△AED∽△ADC（2）解：∵AE=1，EC=3，∴AC=AE+EC=4∵△AED∽△ADC，∴AE:AD=AD:AC∴1:AD=AD:4，解得：AD=2（负值舍去），∴AB=AD=2【变式7-2】如图，点H是正方形ABCD对角线DB延长线上一点，∠HCE=90°，CH=CE，射线HE交AB于点G，交CD延长线于点F，连接DE．(1)求证：HE2=2CD⋅CF；(2)若EC=6，CF=9，求线段BG的长度．【答案】(1)见解析(2)BG=9−214【分析】（1）先证明△HCB≌△ECDSAS，求得∠HBC=∠EDC=135°，又证明△HEC是等腰直角三角形，求得∠FEC=135°，再证明△ECD∽△FCE，推出CE2=CD×CF，由等腰直角三角形的性质求得HE=2CE，据此即可证明结论成立；（2）过点E作EM⊥CF，设EM=DM=a．利用（1）的结论求得CD=4，在Rt△ECM中，利用勾股定理求得a=14−2，证明△GHB∽△FHD，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，∴BC=DC，∠BCD=90°，∠CBD=∠BDC=45°，∵∠HCE=90°，59 ∴∠HCB=90°−∠BCE=∠ECD，∵CH=CE，∴△HCB≌△ECDSAS，∴∠HBC=∠EDC=180°−45°=135°，∵∠HCE=90°，CH=CE，∴△HEC是等腰直角三角形，∴∠HEC=45°，∴∠FEC=180°−45°=135°，∵∠DCE=∠ECF，∴△ECD∽△FCE，∴CDCE=CECF，即CE2=CD×CF，∵△HEC是等腰直角三角形，∴HE=2CE，∴HE2=2CE2=2CD⋅CF；（2）解：过点E作EM⊥CF，则∠DEM=∠EDM=180°−∠CDE=45°，∴EM=DM；设EM=DM=a．∵CE2=CD×CF，∴62=9CD，∴CD=4，在Rt△ECM中，CE2=EM2+CM2，即62=a2+(4+a)2，解得a=14−2，负值已舍去．59 由勾股定理得：DE=2EM=2a，∵△BCH≌△DCE，∴DE=BH=2a，∵∠ABD=45°，∴∠GBH=∠EDC=135°，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，即BG∥DF，∴△GHB∽△FHD，∴BGBH=DFDH，即BG2a=52a+42，∴BG=5aa+4=514−214+2=9−214．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【变式7-3】如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；【模型应用】（2）若AB=2，AD=3，DF=12BF，求DE的长；【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF，求AFAD的值．【答案】（1）见解析；（2）73；（3）53【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：59 （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出∠AOE=90°，即可得证；（2）延长AF交CD于点G，证明△AFB∽△GFD，得到DGAB=DFBF=12，再证明△ABE∽△DAG，求出AE的长，进而求出DE的长；（3）设正方形的边长为a，延长AF交CD于点G，证明△AFB∽△GFD，得到DGAB=FGAF=DFBF=12，进而得到DG=12AB，勾股定理求出AG，进而求出AF的长，即可得出结果．【详解】解：（1）∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵∠ABE=∠DAF，∴∠DAF+∠AEB=90°，∴∠AOE=90°，∴AF⊥BE；（2）延长AF交CD于点G，∵矩形ABCD，∴AB∥CD,∠BAD=∠ADG=90°，∴△AFB∽△GFD，∴DGAB=DFBF=12，∴DG=12AB=1，∵∠BAD=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAF，∴△ABE∽△DAG，∴ABAD=AEDG=23，∴AE=23DG=23，∴DE=AD−AE=3−23=73；59 （3）设正方形ABCD的边长为a，则：AB=AD=a，延长AF交CD于点G，∵正方形ABCD，∴∠BAD=∠ADG=90°,AB∥CD，∴△AFB∽△GFD，∴DGAB=FGAF=DFBF=12，∴DG=12AB=12a,FG=12AF，∴AG=AD2+DG2=52a，∵FG=12AF，∴AF=23AG=53a，∴AFAD=5a3a=53．【考点题型八】相似三角形的应用综合【典例8】如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边EF=30cm，DE=40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=12m，求树高AB．【答案】10.5m【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明△DEF∽△DCB，得到EFBC=DEDC，代入数值求出BC=9m，根据线段的和即可得到答案．59 【详解】解：∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB，  ∴△DEF∽△DCB，∴EFBC=DEDC，在Rt△DEF中，∵EF=30cm=310m，DE=40cm=25m，CD=12m，∴310BC=2512，∴BC=9m，∴AB=AC+BC=1.5+9=10.5m．答：树高AB是10.5m．【变式8-1】如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？【答案】山峰的高度AB为70米，它和标杆CD的水平距离BD是200米【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，从而可得∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，然后证明A字模型相似△CDG∽△ABG，△EHF∽△AHB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，∵∠CGD=∠AGB，∴△CDG∽△ABG，∴CDAB=DGBG，∴20AB=8080+BD，∵∠H=∠H，59 ∴△EHF∽△AHB，∴EFAB=FHBH，∴20AB=160160+200+BD，∴8080+BD=160160+200+BD，解得：BD=200，∴20AB=8080+200，解得：AB=70，∴山峰的高度AB为70米，它和标杆CD的水平距离BD是200米．【变式8-2】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M，且矩形长HG是宽HE的2倍．(1)求证：AMAD=HGBC；(2)试求矩形EFGH的周长．【答案】(1)见解析；(2)矩形EFGH的周长为72cm．【分析】本题考查了相似三角形的应用．（1）由矩形的性质得HG∥EF，则可判断△AHG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）设HE=x，HG=2x，由（1）的结论得到30−x30=2x40，然后根据比例性质可计算出x=12，再计算这个矩形EFGH的周长．【详解】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，∴HG∥EF，而AD⊥BC，59 ∴AM⊥BC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD=HGBC；（2）解：设HE=x，HG=2x，则30−x30=2x40，解得x=12，∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72cm．【变式8-3】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到墙的水平距离为CD=4m．图中A，B，C，D在同一条直线上．(1)求BC的长；(2)求灯泡到地面的高度AG．【答案】(1)3m(2)1.2m．【分析】（1）先证明△BFC∽BED，再利用相似三角形的性质得出BCBD=FCDE，代入数据即可求BC的长；（2）先证明△BGA∽△BFC，再利用相似三角形的性质得出AGAB=FCBC，代入数据即可求AG的长．【详解】（1）解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，∴BCBD=FCDE，59 ∴BCBC+4=1.53.5，解得：BC=3，答：BC的长为3m；（2）解：∵AC=5.4m，∴AB=5.4−3=2.4(m)，∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴AGAB=FCBC，∴AG2.4=1.53，解得：AG=1.2m，答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．【考点题型九】图形的位似【典例9】如图，在平面直角坐标系中，已知A2,0，B4,3，D5,0，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ）A．10,7B．8,7C．10,7.5D．8,6【答案】C【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点A与点D的坐标得到位似比，然后根据位似比得到E点坐标．59 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，而A(2,0)，D(5,0)，∴△ABC与△DEF的位似比为25，∵B(4,3)，∴E点的坐标是为(4×52，3×52)，即(10,7.5)．故选：C．【变式9-1】如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形．若OA:OA′=1:3，四边形ABCD的周长是3，则四边形A′B′C′D′的周长是（    ）A．1B．3C．9D．27【答案】C【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽A′B′C′D′，AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，求出ABA′B′=OAOA′=13，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，∴四边形ABCD∽A′B′C′D′，AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴ABA′B′=OAOA′=13，∴四边形ABCD的周长:四边形A′B′C′D′周长=1：3，∵四边形ABCD的周长是3，∴四边形A′B′C′D′的周长9，故选：C．【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知A6,−3，B3,9，连接OA、OB、AB，以原点O59 为位似中心，位似比为13，把△OAB缩小，则点B的对应点B′的坐标为（    ）A．1,3B．−1,−3C．1,3或−1,−3D．2,−1或−2,1【答案】C【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．【详解】解：∵B3,9，∴B′的坐标为3×13,9×13或−13×3,−13×9，即B′的坐标为1,3或−1,−3，故选：C．【变式9-2】已知：如图△ABC与△A′B′C关于点C−1,0位似，且位似比为1:3，设B的横坐标为a，则B的对应点B′的横坐标为（    ）  A．3a+3B．−3a+3C．−3a+4D．−4−3a【答案】D【分析】本题考查了位似三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键，分别过点B，B′作BD⊥x轴于点D，B′D′⊥x轴于点D′，证明△BCD∽△B′CD′，结合△ABC与△A′B′C关于点C−1,0位似，得到CDCD′=13，从而求得点B′的横坐标．【详解】如图，分别过点B，B′作BD⊥x轴于点D，B′D′⊥x轴于点D′，∴BD∥B′D′，∴△BCD∽△B′CD′，∴BCB′C=CDCD′，∵△ABC与△A′B′C关于点C−1,0位似，且位似比为1:3，59 ∴BCB′C=13，∴CDCD′=13，∴−1−aCD′=13，∴CD′=−3−3a，∴点B′的横坐标为−1+(−3−3a)=−4−3a，故选：D．  【考点题型十】作图-位似【典例10】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A2，1，B1，−2，C3，−1，Pm，n是△ABC的边AB上一点．(1)画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，并写出点A、P的对应点A1、P1的坐标；(2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画出将△A1B1C1放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并分别写出点A1、P1的对应点A2、P2的坐标．【答案】(1)图见解析，A1−2，−1，P1−m，−n(2)图见解析，A2−4，−2），P2−2m，−2n59 【分析】本题考查了作图—位似变换、旋转变换，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）根据成中心对称的图形的性质得出A1、B1、C1，再顺次连接即可，由图即可得出坐标；（2）根据位似变换的性质得出A2、B2、C2，再顺次连接即可，由图即可得出坐标．【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所作，由图可得：A1−2，−1，P1−m，−n（2）解：如图，△A2B2C2即为所作，由图可得：A2−4，−2，P2−2m，−2n．【变式10-1】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点的坐标分别为A3,5，B2,2，C4,0．59 (1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并分别写出A1,B1,C1的坐标；(2)在网格内，画出以点A为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍后的△AB2C2；(3)若△AB2C2也是△A1B1C1的位似图形，点P是位似中心，在图中画出点P．【答案】(1)画图见解析，A1−3,−5，B1−2,−2，C1−4,0；(2)画图见解析；(3)画图见解析．【分析】（1）先写出A3,5，B2,2，C4,0关于原点对称A1−3,−5，B1−2,−2，C1−4,0，然后描点，连接即可；（2）△ABC放大为原来的2倍，即延长AB，AC，然后连接B2C2即可；（3）连接B1B2，C1C2相交于点P；此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤．【详解】（1）如图，A3,5，B2,2，C4,0关于原点对称A1−3,−5，B1−2,−2，C1−4,0，连接，59 ∴△A1B1C1即为所求；（2）如图，延长AB，AC，然后连接B2C2，∴△AB2C2即为所求；（3）如图，连接B1B2，C1C2相交于点P，59 ∴点P即为所求．【变式10-2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,6)，B(6,8)，C(8,2)，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）    (1)以点O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为1:2；(2)以点O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查画出位似图形，画旋转图形．（1）利用位似定义，先分别求出位似比为1:2的点坐标，依次连接即可画出；（2）利用旋转定义，先分别求出旋转后的点坐标，依次连接即可得到．【详解】（1）解：∵A(2,6)，B(6,8)，C(8,2)，△A1B1C1与△ABC的位似比为1:2∵在第三象限内作出△A1B1C1，∴A1(−3,−1),B1(−4,−3),C1(−1,−4)，如图，△A1B1C1即为所求；  ；（2）解：∵A(2,6)，B(6,8)，C(8,2)，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，∴A2(6,−2),B2(8,−6),C2(2,−8)，59 如图△A2B2C2所示：  ；【变式10-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2:1，并写出点A1的坐标；(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长AC到A1使A1C=2AC，延长BC到B1使B1C=2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可．【详解】（1）59 如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为3,−3；（2）如下图，△A2B2C为所作：【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．59