初中数学新华东师大版七年级上册3.6角教案2025秋

3.6角1.角【教学目标】1.使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法；2.使学生掌握角的各种表示方法；3.通过角的第二定义的教学，使学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点；4.使学生掌握平角、周角和直角的概念；5.掌握角的单位换算，会进行计算；6.会用角准确的表示方向.【教学重点】角的概念及两个定义和角的表示法.【教学难点】角的单位换算和用角准确的表示方向.【教学过程】一、情境导入，激发兴趣观察下面的图形，你发现什么共同的特点吗?这些图形都给了我们角的形象.[教学说明]在讲解本部分时，应注意与小学中有关知识相联系，以达到平滑过渡.二、合作探究，探索新知1.根据你对上面角的观察，你能说说什么样的图形叫做角？小结：角的定义：（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形.（2）从运动变化的角度来看，角可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.[教学说明]可以利用教学用的圆规，将一条边进行旋转形成角来引导学生从动态的角度给角下一个定义.对于角的两种不同定义，应从不同的角度进行理解，并区别在不同情况下所包含的意义.角的两种定义其实都隐含了组成角的一个重要因素：即两条射线间相对的位置关系.2.如何表示一个角呢？小结：角的表示方法：有以下几种表示方法(如图所示)：[教学说明]对于角的四种表示方法，各有其优点，在讲解中必须加以说明，并能在讲解中使学生认识到各种表示法的优缺点.要强调表示方法的规范性.3.平角和周角8 在上面的旋转过程中，有两种特殊的情况：第一种是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；第二种是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角.[教学说明]在讲解时应该进行教具演示，使学生直观理解平角和周角的定义.4.角的度量如何使用量角器测量角的大小？从量角器中我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°.但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位.把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1".这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：1周角=360°1平角=180°1°=60′1′=60"[教学说明]让学生通过亲自动手度量角，从而得到角不一定是整度的,所以自然此刻引出分﹑秒.向学生说明此结论不用死记硬背，可以仿照时间来记忆.5.方位角还记得下图八个方向吗?但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向.如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式.三、示例讲解，掌握新知例1（1）把18°15′化成用度表示的角；（2）把93.2°化成用度﹑分﹑秒表示的角.解：（1）15′=1560°=0.25°18°15′=18°+15′=18.25°（2）0.2°=0.2×60′=12′93.2°=93°+0.2°=93°12′[教学说明]先让学生动手做一做,有困难的适当点拨.例2如图所示，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：①偏东25°；8 ①偏西60°.解:①以南方向的射线为始边，向东方向旋转25°所成的角，即为所求.②以北方向的射线为始边，向西方向旋转60°所成的角，即为所求.[教学说明]三种不同情况下的方向角的表示法，应是特别重要的知识.另外，在讲解中一个必须讲清楚的是：同一射线上的点的方向是相同的，但两者的位置是不一样的.四、练习反馈，巩固提高1.计算：（1）180°－（35°18′5″＋62°56′15″）；（2）180°－79°36′20″；（3）73°45′55″＋61°41′37″.2.写出图中所有小于平角的角.[教学说明]第1题要注意是60进位制，学生可能不太习惯，第2题不要数漏角.[答案]1.(1)81°45′40″(2)100°23′40″(3)135°27′32″2.(1)∠CAE,∠CAD,∠CAB,∠DAE,∠EAB,∠DAB,∠C,∠CEA,∠AED,∠EDA,∠ADB,∠B(2)∠AOC,∠AOE,∠AOD,∠COE,∠COB,∠COD,∠EOB,∠BOD(3)∠A,∠B,∠C,∠D五、师生互动，课堂小结1.角的定义（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形.（2）从运动变化的角度来看，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.2.一条射线绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角.3.角的单位换算1周角=360°1平角=180°1°=60′1′=60″4.我们可以借用角来表示方向.[教学说明]本节课内容比较多，教师要逐一引导学生回顾，对于角的计算要强调是60进制，方位角是新的内容，可再举例让学生加深印象.【课后作业】完成本课时对应的练习.2.角的比较和运算【教学目标】1.了解角的大小比较的方法；2.掌握角的度数的运算和角的运算；3.掌握角的平分线及其应用；8 4.会用圆规和直尺画一个角等于已知角.【教学重点】1.角的度数的运算和角的运算；2.角的平分线及其应用.【教学难点】1.角的度数的运算；2.角的平分线的应用.【教学过程】一、情境导入，激发兴趣1.比较两条线段的长短有哪些方法？小结：测量法；叠合法.2.我们如何比较两个角的大小呢？[教学说明]首先在导入新知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生有一个启示.二、合作探究，探索新知1.角的大小比较（1）出示教具，探索讨论：观察以下三个角，你能说出它们的大小吗？（2）学生提出方法，教师小结：①叠合法(课件)把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧.②度量法用量角器分别量出角的度数，再加以比较.[教学说明]让学生动手操作，通过讨论总结方法.重叠法是一个难点，但此法比较适用于实际中的比较.2.角的和差关系（1）观察下图中有哪几个角，把它写下来：.（2）根据上图中角之间的关系填空：∠AOB=+；∠BOC=-；∠AOC=-.[教学说明]让学生自主观察思考后回答，教师适时总结.（3）我们都知道一副三角板有六个角，其中四个不同的角（30°、45°、60°、90°），对于这些角，我们除了可直接画出以外，还可以利用这些角的和或者差画出哪些度数的角？学生自主探究后回答，教师根据学生的回答小结：可以画出如下度数的角：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°.8 [教学说明]学生自主探究，通过共同的补充，找出所有的结论.在画角时，如何画应是老师必须给予提示与讲解的，特别是如何放角的顶点与边.（4）我们也可以对角进行简单的加减运算，试计算：34°34′+21°51′=180°-52°31′=[教学说明]学生自主完成，注意进制.3.作一个角等于已知角在前面的学习中，我们已经知道如何作一条线段等于已知线段，同样，我们也可以利用圆规来作一个角等于已知角.[教学说明]教师示范画图，学生根据教师示范的步骤画图.作图应作为一个补充知识，重要的是让学生实际操作，掌握方法.4.角平分线（1）请同学们把一个角的两边对折，让两边互相重合.这时，我们将看到这个角的中间有一条射线，请你测量所分成的两个角的大小，你有什么发现？（2）小结：这条射线将这个角分成两个相等的角，这时，我们把这条射线称为这个角的角平分线.归纳：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.如图，已知ＯＣ平分∠AOB，则有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.[教学说明]角平分线的知识是一个几何中的重要知识点，在教学中，老师不能放松，要加强讲解.教师示范如何用几何语言来表示角平分线，然后举例让学生再做一次，加深印象.三、示例讲解，掌握新知例已知，如图，∠AOC=80°，∠BOC=50°，OD平分∠BOC，求∠AOD.[教学说明]例题的讲解是本题的重点，几何题的分析是一个几何学习的重点与难点，必须使学生在学习中有一个渐进的过程.另外在例题的讲解中，如何书写几何题的过程也是一个非常难的步骤.四、练习反馈，巩固提高1.如图1，∠AOB∠AOC,∠AOB∠BOC.(填“＞”,“=”或“＜”)2.如图2,∠AOC=+=-;∠BOC=-=-.3.如图3，所示：（1）∠DAB=∠DAC+；（2）∠ACB=∠DCB-.8 图3图44.如图4，若∠AOB=∠BOC=∠COD，则OB是的平分线，=∠AOC，∠BOC===5.如图，已知∠AOB=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.求∠EOD的度数.6.如图，将长方形纸片沿AC折痕对折，使点B落在B′，CF是∠B′CE平分线，求∠ACF的度数.[教学说明]第1、2、3题是角的和差计算，学生观察图形后进行解答，第4题是对角平分线的应用，第5、6题是解答题，要注意过程的规范性.[答案]1.>,>2.∠AOB,∠BOC,∠AOD,∠COD,∠AOC,∠AOB,∠BOD,∠COD3.(1)∠BAC(2)∠DCA4.∠AOC,∠AOB=∠BOC,∠AOC,∠BOD,∠AOD5.∠EOD=25°6.∠ACF=90°五、师生互动，课堂小结1.角的大小比较方法：①叠合法；②度量法.2.我们可以利用圆规来作一个角等于已知角.3.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.[教学说明]教师引导学生对所学内容进行总结，重点强调对角平分线的理解，对相关的方法进行总结，加强学生对本节课知识的理解.【课后作业】完成本课时对应的练习.3.余角和补角【教学目标】1.理解互为余角和补角的概念；2.掌握余角与补角的性质及其简单应用；【教学重点】正确求出一个角的余角和补角.【教学难点】余角和补角性质的应用.【教学过程】一、情境导入，激发兴趣1.如图1，已知∠1=149°，∠2=31°，那么∠1+∠2=.2.如图2，已知∠COD=90°,那么∠1+∠2=.8 [教学说明]与本节相关知识有联系的并不多，主要还只是角的和差，所以应简单对角的和、差计算进行适当的复习.二、合作探究，探索新知1.计算.（1）如图3，已知∠1=28°，∠2=62°，那么∠1+∠2＝.（2）如图4，已知∠1=62°,∠2=118°,那么∠1+∠2＝.（3）如图5，A、O、B在同一直线上，∠1+∠2=.2.通过上面的计算，你发现∠1与∠2的和各满足什么条件？小结：互为余角的定义：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余；互为补角的定义：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补；3.思考：问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？问题2：若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？[教学说明]两个问题环环相扣，让学生逐一回答，教师及时进行总结归纳，对于“互为”的含义要讲解清楚.另外有关余角、补角的学习就看成一个整体，运用类比的方法来对待而不能单纯分开来讲解.4.余角、补角的性质（1）如图∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？余角性质：同角或等角的相等.（2）如图∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？补角性质：同角或等角的相等.[教学说明]让学生通过计算得出结论，然后进行总结归纳.性质的学习是本节课的一个重点和难点内容，可适当补充例子讲解，使学生理解更深刻.三、示例讲解，掌握新知例1已知∠α=50°17′，求∠α的余角和补角.[教学说明]学生自主完成，要注意角度进制是60，教师予以强调.四、练习反馈，巩固提高1.已知∠1=20°,∠2=30°,∠3=60°,∠4=150°,则∠2是的余角,是∠4的补角.2.如果∠α=39°31′,∠α的余角∠β=,∠α的补角∠γ=,∠γ-∠β=.3.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=,依据是.4.一个角的补角比它少40°,求这个角的度数.[教学说明]学生独立完成，对于第4题，可提示学生结合方程来进行解答.8 [答案]1.∠3∠22.50°29′140°29′90°3.40°同角的余角相等4.设这个角为x°，则x-(180-x)=40，x=110.五、师生互动，课堂小结1.两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余；两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补；2.余角性质：同角或等角的余角相等.补角性质：同角或等角的补角相等.[教学说明]教师引导学生对所学内容进行总结，重点强调互为余角、互为补角的理解和性质的应用，对相关的方法进行总结，加强学生对本节课知识的理解.【课后作业】完成本课时对应的练习.8