八年级数学（第十七章 二次根式）17.5 一元二次方程的应用（沪科版 学习、上课资料）

17.5一元二次方程的应用第十七章一元二次方程 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤可化为一元二次方程的分式方程解法的应用 知1－讲感悟新知知识点建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤11.列一元二次方程解应用题的一般步骤归纳为 审、设、列、解、检、答.审——审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系设——设未知数 感悟新知知1－讲特别解读第一步“审”一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程. 感悟新知列——根据题目中的等量关系，列出方程解——解方程，求出未知数的值检——检验方程的解能否保证实际问题有意义答——写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则知1－讲 感悟新知知1－讲特别解读列方程，这是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. 感悟新知2.列一元二次方程解应用题注意事项(1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个量用含x的代数式表示出来.(2)设未知数时必须写清单位、用对单位.列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位.(3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义.知1－讲 知1－练感悟新知方法点拨增长率问题中的等量关系：(1)增长率=增量÷原来的量；(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则有a(1+m)n=b. 知1－练感悟新知[中考·眉山]建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．例1 知1－练感悟新知解题秘方：此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是紧扣增长率问题中的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 知1－练感悟新知(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； 知1－练感悟新知解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x.根据题意，得1000(1+x)2=1440．解这个方程，得x1=0.2=20%，x2=－2.2(不合题意，舍去)．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． 知1－练感悟新知(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 知1－练感悟新知解：设该市在2022年可以改造y个老旧小区.根据题意，得80×(1+15%)y≤1440×(1+20%)．解得y≤18．∵y为正整数，∴最多可以改造18个老旧小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 知1－练感悟新知[中考·南京]某地计划对长方形广场进行扩建改造．如图17.5-1，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的长方形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖．铺设地砖费用为每平方米100元．如果计划总费用为642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？例2 知1－练感悟新知方法点拨此类题除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法之外，关键是能用未知数表示相关的线段长，以及对方程的根进行取舍. 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣图形中的面积公式，建立一元二次方程的模型解决问题. 知1－练感悟新知解：设扩充后广场的长是3xm，则宽是2xm.根据题意，得3x·2x·100+30(3x·2x－50×40)=642000.解得x1=30，x2=-30（不合题意，舍去）．所以3x=90，2x=60.答：扩充后广场的长和宽应分别是90m和60m. 知1－练感悟新知[中考·毕节]2022年北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润=销售价－进货价)例3类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价(元/件)3025销售价(元/件)4537 知1－练感悟新知解题秘方：本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，利用一次函数的增减性求利润最大的问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 知1－练感悟新知解法提醒设未知数时，必须写清单位、正确使用单位.列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，答时必须写上单位. 知1－练感悟新知(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； 知1－练感悟新知解：设A、B两款钥匙扣分别购进x件和y件．根据题意，得解这个方程组，得答：A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件． 知1－练感悟新知(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 知1－练感悟新知解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80－m)件．根据题意，得30m+25(80－m)≤2200.解得m≤40．设销售利润为w元，则w=(45－30)m+(37－25)(80－m)=3m+960．∴w是关于m的一次函数． 知1－练感悟新知∵3＞0，∴w随着m的增大而增大．∴当m=40时，w取最大值，最大值为3×40+960=1080，此时80－m=80－40=40.答：购进A、B两款冰墩墩钥匙扣各40件时销售利润最大，最大为1080元． 知1－练感悟新知(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 知1－练感悟新知解：设B款钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的销售利润为37－25－a=12－a(元)．根据题意，得(4+2a)(12－a)=90．解得a1=3，a2=7．37－a1=37－3=34，37－a2=37－7=30.答：将销售价定为每件34元或每件30元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 知1－练感悟新知表格图例降价前降价后每件盈利(元)1212－a销售量(件)44+2a总盈利(元)48(12－a)(4+2a) 感悟新知知2－讲知识点可化为一元二次方程的分式方程解法的应用21.可化为一元二次方程的分式方程的解法步骤(1)去分母(两边同时乘最简公分母)，将分式方程化成整式方程；(2)解整式方程；(3)检验. 感悟新知知2－讲2.解可化为一元二次方程的分式方程应用题的一般步骤(1)分析——找出等量关系；(2)设元——用含字母的代数式表示相关的量；(3)列方程——列分式方程；(4)解方程；(5)检验并作答. 知2－讲感悟新知解分式方程验根时，只需把求得的整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则是增根，应舍去；若最简公分母不为0,则是原方程的根. 感悟新知知2－练解分式方程+=1.例4解题秘方：紧扣解分式方程的步骤，将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键. 知2－练感悟新知方法点拨解分式方程的基本思想是转化——把分式方程转化为整式方程，容易忽视的步骤是验根，若有两根，必须都检验. 知2－练感悟新知解：去分母得2x+(x－1)=(x+3)(x－1)，∴x2－x－2=0，解得x1=2，x2=－1.经检验x1=2，x2=－1是原分式方程的解. 知2－练感悟新知易错警示勿忘双重检验在解分式方程时，要注意检验，特别是分式方程的应用题，检验应包含两个方面，一是得到的未知数的值是不是分式方程的解，二是方程的解是否与实际意义相符合. 感悟新知知2－练A，B两地间的距离为15km，甲从A地出发步行前往B地，20min后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多行10km.乙到达A地后停留40min，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地.求甲从A地到B地步行所用的时间.例5 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣等量关系建立分式方程模型，解出分式方程的解及检验是解题的关键. 知2－练感悟新知解：设甲从A地到B地步行所用的时间为xh.由题意，得=+10，化简，得2x2－5x－3=0，解得x1=3，x2=－.经检验x1=3，x2=－都是原分式方程的解，但x=－不符合题意，舍去，故x=3.答：甲从A地到B地步行所用的时间为3h. 一元二次方程的应用建模步骤审一元二次方程的应用数字问题图形面积问题建模类型增长(降低)率问题商品经济问题设列解检答